第22章 二次函 小结与复习 人教版数学九年级上册课件

这是一份第22章 二次函 小结与复习 人教版数学九年级上册课件，共28页。
第二十二章 二次函数小结与复习实际问题归纳抽象二次函数y = ax2 + bx + c实际问题的答案利用二次函数的图象和性质求解目标性质 一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca ≠ 0【注意】(1) 等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是 2；(3)当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．1. 二次函数的概念2. 二次函数的图象与性质：a＞0 时开口向上a＜0 时开口向下x = h(h，k)y最小 = ky最大 = k在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘ 在对称轴左边 x↗y↘，在对称轴右边 x↗y↗3. 二次函数图象的平移y＝ax2左、右平移，自变量左加右减上、下平移，常数项上加下减y＝-ax2写成一般形式沿 x 轴对称4. 二次函数解析式的求法(1) 一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 ) (2) 顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 )(3) 交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 )5. 二次函数与一元二次方程的关系有两个公共点有两个不同的实数根b2 - 4ac ＞ 0只有一个公共点有两个相等的实数根b2 - 4ac = 0没有公共点没有实数根b2 - 4ac ＜ 06. 二次函数的应用 (1) 二次函数的应用包括以下两个方面： ① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； ② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．(2) 一般步骤： ① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义．例1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是关于 x 的二次函数，那么 m 的值为 (　　)A．−2 B．2 C．±2 D．0B分析：根据二次函数定义可知 m + 2≠0 且 | m | = 2，则 m = 2.考点一 二次函数的概念、图象与性质1. 已知函数：① y = 2x − 1；② y = −2x2 − 1；③ y = 3x3 − 2x2；④ y = 2x2 − x − 1；⑤ y = ax2 + bx + c. 其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4B例2 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( )A．顶点坐标为 (－3，2) B．对称轴为 y＝3C．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小C分析：可画出草图来判断. (3，2) x＝3 x＝3 2. 关于抛物线 y = −x2 + 2x − 3 的判断，下列说法正确的是 (　　)A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线 x = -1C．抛物线对称轴左侧部分从左往右是下降的D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2D例3 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　)A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2B分析：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( ) A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1D例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3【分析】①化为顶点式：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，② 根据平移性质：向上平移 2 个单位长度→常数项＋2向右平移 1 个单位长度后→自变量－1 ③ 写解析式：y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2.B4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ）A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位B例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2．求二次函数的解析式．解：∵ 当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2.∴ 顶点为 (1，2).设二次函数解析式为 y = a(x − 1)2 + 2，把 (−2，−16) 代入得 −16 = 9a + 2，解得 a = −2.∴ y = −2(x − 1)2 + 2.∴ 二次函数解析式为 y = −2x2 + 4x.5. 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 A (−1，0)、B (3，0) 两点，与 y 轴交于点 C(0，−3)．(1) 求二次函数的解析式；解：设二次函数解析式为 y = a(x + 1)(x − 3)，将点(0，−3)代入，得−3 = a(0 + 1)(0 − 3).解得 a = 1.∴二次函数的解析式为 y = (x + 1)(x − 3) = x2 − 2x − 3.(2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标．解：设 Q (x，y)，∴ y = ±4．② 当 y = -4 时，即 x2 − 2x − 3 = −4.解得 x3 = x4 = 1.则 Q 点的坐标为(1，−4).① 当 y = 4 时，即 x2 − 2x − 3 = 4.考点二 二次函数与一元二次方程例6 已知二次函数 y = x2 − 2mx + m2 − 1( m 为常数).求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.分析：函数的图象与 x 轴总有两个公共点，即方程 x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可.证明：(−2m)2 − 4(m2 − 1) = 4＞0，故不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.6. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c − 2 = 0 的根的情况是(　　)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．以上都不正确B 例7 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 ) C方法归纳：①建立合适的平面直角坐标系，② 抽象出函数模型，求解析式→ y＝-0.5x2③ 解决相关问题.→ 当 y＝-10，x＝考点三 二次函数的应用例8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.(1) 求一次函数的解析式；故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.解得 k = -1，b = 120.(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大.而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87.∴当 x = 87 时，W 有最大值，此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891. 7. 张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的菜园，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的菜园.(1)请你求出张大伯矩形菜园的面积；解：(1) 由题意得菜园的长为 25 m，宽为(40 - 25)÷2 = 7.5 (m).故菜园的面积为 25×7.5 = 187.5 ( m2 )(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.(2) 设菜园与墙垂直的一边为 x m，则与墙相对的一边长为(40 - 2x)m，菜园的面积 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x = -2(x -10)2 + 200 (7.5≤x＜20).∵7.5≤10＜20，所以当 x = 10 时，S 有最大值，此时 S = 200. 故张大伯的设计不合理.菜园与墙垂直的两边长为 10 m，而与墙相对的一边长为 (40 - 2x) m = 20 m.解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为 y = ax2 + bx，由图象的点的含义，得故所求二次函数的解析式为 y = −x2 + 14x.解得 a = −1，b = 14.(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.(2) y = −x2 + 14x = −(x − 7)2 + 49. 即当 x = 7 时，利润最大，y = 49.(3) 没有利润，即 y = −x2 +14x = 0. 解得 x1 = 0 (舍去)，或 x2 = 14，而这时利润为滑坡状态，所以第 15 个月，公司亏损.