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初中数学第二十一章 一元二次方程综合与测试同步达标检测题
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这是一份初中数学第二十一章 一元二次方程综合与测试同步达标检测题，共9页。
知识点一：因式分解法解一元二次方程
因式分解法
通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
用因式分解法解一元二次方程的理论依据
如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若ab＝0，则a＝0或b＝0.
【例1】用因式分解法解下列方程：
x2＋2x＝0；（2）(2x＋3)2－2x－3＝0；
（3）(2x－1)2－x2＝0；（4）y2－5y＋6＝0.
【例1】【解析】解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程能否转化为一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单.
【答案】解：（1）因式分解，得x(x＋2)＝0.
于是得x＝0，或x＋2＝0.
x1＝0，x2＝－2.
因式分解，得(2x＋3)(2x＋3－1)＝0.
于是得2x＋3＝0，或2x＋3－1＝0.
，.
因式分解，得(2x－1＋x)(2x－1－x)＝0.
于是得2x－1＋x＝0，或2x－1－x＝0.
，.
因式分解，得(y－2)(y－3)＝0.
于是得y－2＝0，或y－3＝0.
y1＝2，y2＝3.
【巩固】
1. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）
16B. 12C. 14D. 12或16
解下列方程：
；（2）2(x－3)＝3x(x－3)；
（3）16x2－9＝0；（4）y2－17y＋30＝0.
【巩固答案】
A
解：（1）因式分解，得.
于是得，或.
，.
移项，得2(x－3)－3x(x－3)＝0.
因式分解，得(x－3)(2－3x)＝0.
于是得x－3＝0，或2－3x＝0.
，.
因式分解，得(4x－3)(4x＋3)＝0.
于是得4x－3＝0，或4x＋3＝0.
，.
因式分解，得(y－2)(y－15)＝0.
于是得y－2＝0，或y－15＝0.
y1＝2，y2＝15.
知识点二：列一元二次方程解常见的实际问题
列一元二次方程解实际问题的一般步骤
审：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系；
设：设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法；
列：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程；
解：根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值；
验：检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义；
（6）答：写出实际问题的答案.
列一元二次方程解常见的实际问题
【例2】2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3 600元.
求该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
若年平均增长率保持不变，2021年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4 200元？
【例2】【解析】（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该贫困户2021年的家庭年人均纯收入＝该贫困户2020年的家庭年人均纯收入×（1＋增长率），可求出该贫困户2021年的家庭年人均纯收入，再将其与4 200元比较后即可得出结论.
【答案】解：（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
根据题意，得2 500(1＋x)2＝3 600，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（舍去）.
答：该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20％.
（2）3 600×（1＋20％）＝4 320（元），
∵4 320＞4 200，
∴2021年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元.
【巩固】
一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了21次手，则这次聚会的人数是（ ）
4B. 5C. 6D. 7
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气. ”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
求进馆人次的月平均增长率；
因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
【巩固答案】
D
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则
根据题意，得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，
化简，得4x2＋12x－7＝0，
解得x1＝0.5＝50％，x2＝－3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50％.
∵进馆人次的月平均增长率为50％，
∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50％)3＝432（人次）
∵432＜500，
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
【例3】某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件. 现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨1元，其销售量就会减少20件. 那么，将售价定为多少，才能使每天所赚利润为640元？
【例3】【解析】根据等量关系“总利润＝单件利润×销售量”列出每天的销售利润与销售单价提高量的方程求解即可.
【答案】解：设每件售价提高x元，则单件利润为（10＋x－8）元，即（x＋2）元，每天的销售量为（200－20x）件.
根据题意，得(x＋2)(200－20x)＝640，
化简，得x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6.
当x＝2时，售价为每件12元，每天的销售量为200－20×2＝160（件）；
当x＝6时，售价为每件16元，每天的销售量为200－20×6＝80（件）.
因为要减少进货量，所以售价应定为每件16元.
答：将售价定为每件16元，才能使每天所赚利润为640元.
【巩固】
将进价为90元的某种商品按100元出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少10个，若想使利润达到9 000元，售价应是多少？设售价为x元，则可列方程（ ）
(x－100)(500－10x)＝9000B. (x－90)(500－10x)＝9000
C. (x－100)[500－10(x－100)]＝9000D. (x－90)[500－10(x－100)]＝9000
2. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？
【巩固答案】
D
解：（1）26
（2）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元.
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
解得x1＝10，x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10.
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元.
【例4】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2？
【例4】【解析】设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm. 根据长方体盒子的侧面积为200 cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论.
【答案】解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm.
根据题意，得2[x(30－2x)＋x(20－2x)]＝200，
化简，得2x2－25x＋50＝0，
解得x1＝2.5，x2＝10.
当x＝10时，宽为20－2×10＝0，不合题意，舍去.
答：当剪去正方形的边长为2.5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2.
【巩固】
如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为 .
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm ，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为x s.
几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由.
【巩固答案】
(12－x)(8－x)＝77
解：（1）根据题意，得AP＝x cm，PB＝（5－x）cm，BQ＝2x cm，
∴.
解得x1＝2，x2＝3.
答：2 s或3 s后，△PBQ的面积等于6 cm2.
（2）不能，理由：
根据题意，得，
化简，得x2－5x＋8＝0.
∵Δ＝25－32＝－7＜0，
∴△PQB的面积不能等于8 cm2.
常见问题
列方程的依据
行程问题
路程＝速度×时间
平均增长率（降低率）问题
a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数，
平均增长率公式：a(1＋x)n＝b（x为平均增长率），
平均降低率公式：a(1－x)n＝b（x为平均降低率）
传播问题
传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为a(1＋x)2
销售利润问题
利润＝售价－进价；
；
售价＝进价×（1＋利润率）；
总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量
几何图形问题
几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系
存款利息问题
本息和＝本金＋利息；利息＝本金×利率×期数
数字问题
两位整数＝十位数字×10＋个位数字；
三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字
知识点一：因式分解法解一元二次方程
因式分解法
通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
用因式分解法解一元二次方程的理论依据
如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若ab＝0，则a＝0或b＝0.
【例1】用因式分解法解下列方程：
x2＋2x＝0；（2）(2x＋3)2－2x－3＝0；
（3）(2x－1)2－x2＝0；（4）y2－5y＋6＝0.
【例1】【解析】解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程能否转化为一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单.
【答案】解：（1）因式分解，得x(x＋2)＝0.
于是得x＝0，或x＋2＝0.
x1＝0，x2＝－2.
因式分解，得(2x＋3)(2x＋3－1)＝0.
于是得2x＋3＝0，或2x＋3－1＝0.
，.
因式分解，得(2x－1＋x)(2x－1－x)＝0.
于是得2x－1＋x＝0，或2x－1－x＝0.
，.
因式分解，得(y－2)(y－3)＝0.
于是得y－2＝0，或y－3＝0.
y1＝2，y2＝3.
【巩固】
1. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）
16B. 12C. 14D. 12或16
解下列方程：
；（2）2(x－3)＝3x(x－3)；
（3）16x2－9＝0；（4）y2－17y＋30＝0.
【巩固答案】
A
解：（1）因式分解，得.
于是得，或.
，.
移项，得2(x－3)－3x(x－3)＝0.
因式分解，得(x－3)(2－3x)＝0.
于是得x－3＝0，或2－3x＝0.
，.
因式分解，得(4x－3)(4x＋3)＝0.
于是得4x－3＝0，或4x＋3＝0.
，.
因式分解，得(y－2)(y－15)＝0.
于是得y－2＝0，或y－15＝0.
y1＝2，y2＝15.
知识点二：列一元二次方程解常见的实际问题
列一元二次方程解实际问题的一般步骤
审：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系；
设：设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法；
列：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程；
解：根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值；
验：检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义；
（6）答：写出实际问题的答案.
列一元二次方程解常见的实际问题
【例2】2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3 600元.
求该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
若年平均增长率保持不变，2021年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4 200元？
【例2】【解析】（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该贫困户2021年的家庭年人均纯收入＝该贫困户2020年的家庭年人均纯收入×（1＋增长率），可求出该贫困户2021年的家庭年人均纯收入，再将其与4 200元比较后即可得出结论.
【答案】解：（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
根据题意，得2 500(1＋x)2＝3 600，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（舍去）.
答：该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20％.
（2）3 600×（1＋20％）＝4 320（元），
∵4 320＞4 200，
∴2021年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元.
【巩固】
一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了21次手，则这次聚会的人数是（ ）
4B. 5C. 6D. 7
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气. ”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
求进馆人次的月平均增长率；
因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
【巩固答案】
D
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则
根据题意，得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，
化简，得4x2＋12x－7＝0，
解得x1＝0.5＝50％，x2＝－3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50％.
∵进馆人次的月平均增长率为50％，
∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50％)3＝432（人次）
∵432＜500，
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
【例3】某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件. 现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨1元，其销售量就会减少20件. 那么，将售价定为多少，才能使每天所赚利润为640元？
【例3】【解析】根据等量关系“总利润＝单件利润×销售量”列出每天的销售利润与销售单价提高量的方程求解即可.
【答案】解：设每件售价提高x元，则单件利润为（10＋x－8）元，即（x＋2）元，每天的销售量为（200－20x）件.
根据题意，得(x＋2)(200－20x)＝640，
化简，得x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6.
当x＝2时，售价为每件12元，每天的销售量为200－20×2＝160（件）；
当x＝6时，售价为每件16元，每天的销售量为200－20×6＝80（件）.
因为要减少进货量，所以售价应定为每件16元.
答：将售价定为每件16元，才能使每天所赚利润为640元.
【巩固】
将进价为90元的某种商品按100元出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少10个，若想使利润达到9 000元，售价应是多少？设售价为x元，则可列方程（ ）
(x－100)(500－10x)＝9000B. (x－90)(500－10x)＝9000
C. (x－100)[500－10(x－100)]＝9000D. (x－90)[500－10(x－100)]＝9000
2. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？
【巩固答案】
D
解：（1）26
（2）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元.
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
解得x1＝10，x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10.
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元.
【例4】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2？
【例4】【解析】设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm. 根据长方体盒子的侧面积为200 cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论.
【答案】解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm.
根据题意，得2[x(30－2x)＋x(20－2x)]＝200，
化简，得2x2－25x＋50＝0，
解得x1＝2.5，x2＝10.
当x＝10时，宽为20－2×10＝0，不合题意，舍去.
答：当剪去正方形的边长为2.5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2.
【巩固】
如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为 .
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm ，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为x s.
几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由.
【巩固答案】
(12－x)(8－x)＝77
解：（1）根据题意，得AP＝x cm，PB＝（5－x）cm，BQ＝2x cm，
∴.
解得x1＝2，x2＝3.
答：2 s或3 s后，△PBQ的面积等于6 cm2.
（2）不能，理由：
根据题意，得，
化简，得x2－5x＋8＝0.
∵Δ＝25－32＝－7＜0，
∴△PQB的面积不能等于8 cm2.
常见问题
列方程的依据
行程问题
路程＝速度×时间
平均增长率（降低率）问题
a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数，
平均增长率公式：a(1＋x)n＝b（x为平均增长率），
平均降低率公式：a(1－x)n＝b（x为平均降低率）
传播问题
传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为a(1＋x)2
销售利润问题
利润＝售价－进价；
；
售价＝进价×（1＋利润率）；
总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量
几何图形问题
几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系
存款利息问题
本息和＝本金＋利息；利息＝本金×利率×期数
数字问题
两位整数＝十位数字×10＋个位数字；
三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字
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2023年一轮复习第二部分方程与不等式第2讲-一元二次方程题型精讲精练（29页很详细含答案）： 这是一份2023年一轮复习第二部分方程与不等式第2讲-一元二次方程题型精讲精练（29页很详细含答案），共29页。
