人教版数学七下重难点培优训练专题5.2 利用分类讨论思想求角（压轴题）（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．

（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOD的度数；
（2）分两种情况：当OG在EF下方时；当OG在EF上方时，计算即可；
（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，再结合角平分线的定义，可用α表达出∠COH与∠BOC的度数，从而求出∠AOE与∠DOE的数量关系．
【解题过程】
解：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
（2）当OG在EF下方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
（3）设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，
∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，
∴∠BOC＝275°﹣15α，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，
∴∠AOE＝10α﹣105°，
∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．
1．（2021•饶平县校级模拟）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．90°
2．（2020春•营山县期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
3．（2021秋•南岗区校级期末）已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ ．
4．（2021春•木兰县期末）点O在直线AB上，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，若∠AOC＝30°，则∠BOD的度数是 ．
5．（2021春•浦东新区校级期中）如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1＝35°时，则∠2＝ ．
6．（2020秋•姜堰区期末）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，若OE⊥AB，OF平分∠DOE，则∠COF的度数为 ．
7．（2020秋•南岗区校级月考）已知，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC＝150°，OE垂直AB于O，OF平分∠DOE，则∠BOF的度数为 °．
8．（2021春•绵阳期末）已知直线AB和CD相交于点O，射线OE将∠AOC分成两部分，射线OF使得∠EOF＝∠BOF．若|∠BOF﹣∠AOE|＝36°，则锐角∠BOF＝ ．
9．（2020秋•香坊区校级月考）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于点O，若∠AOD＝4∠BOC，则∠DOE＝ ．
10．（2021春•恩施市月考）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．
（1）求∠EOB的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数．
11．（2020秋•奉化区校级期末）已知，直线AB与直线CD相交于点O，OB平分∠DOF．
（1）如图，若∠BOF＝40°，求∠AOC的度数；
（2）作射线OE，使得∠COE＝60°，若∠BOF＝x°（0＜x＜90），求∠AOE的度数．（用含x的代数式表示）
12．（2021春•饶平县校级期末）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；
（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．
13．（2020秋•南京期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD为锐角，OE⊥CD，OF平分∠BOD．
（1）图中与∠AOE互余的角为 ；
（2）若∠EOB＝∠DOB，求∠AOE的度数；
（3）图中与锐角∠AOE互补角的个数随∠AOE的度数变化而变化，直接写出与∠AOE互补的角的个数及对应的∠AOE的度数．
14．（2021春•永城市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
15．（2020秋•邗江区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF＝38°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE＝∠BOF，求∠FOG的度数．
16．（2020秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
17．（2020秋•门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．
（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，
①依题意补全图1；
②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；
（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）
18．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
19．（2020秋•金湖县期末）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
【变式拓展】小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．