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人教版七年级数学下册同步精讲精练专题相交线中分类讨论思想求角(基础题＆提升题＆压轴题)(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题相交线中分类讨论思想求角(基础题＆提升题＆压轴题)(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了°，则等内容，欢迎下载使用。
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2022春•东洲区期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则
x＝ ．
2．在同一平面上，若∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，则∠AOC的度数是 ．
3．（2021•饶平县校级模拟）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．90°
4．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是 ．
5．已知∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，射线OB⊥OA于O，部分图形如图所示，请补全图形，并求∠BOD的度数．
6．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，如果∠AOC＝30°，OE平分∠BOD，求∠COE（要求：将图形补充完整，写出求解过程）
7．（2022春•启东市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=2∠BOD+60°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度数．
提升题
8．（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
9．点C在∠AOB的边OA上，过点C作CD⊥OB，过点C作OA的垂线交射线OB于点E，若∠AOB＝66°，则∠DCE是 度．
10．已知，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC＝150°，OE垂直AB于O，OF平分∠DOE，则∠BOF的度数为 °．
11．直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，若OE⊥AB，OF平分∠DOE，则∠COF的度数为 ．
12．（2020秋•香坊区校级月考）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于点O，若∠AOD＝4∠BOC，则∠DOE＝ ．
13．（2022•南京模拟）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°时，α的度数是 ．
14.已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且
4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ ．
15．（2021春•绵阳期末）已知直线AB和CD相交于点O，射线OE将∠AOC分成两部分，射线OF使得∠EOF＝∠BOF．若|∠BOF﹣∠AOE|＝36°，则锐角∠BOF＝ ．
16．（2022秋•东营区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．
（1）求∠EOB的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数．
压轴题
17．已知：如图，OC是∠AOB的角平分线．
（1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，求∠AOE的度数；
（3）当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数．（用含α的式子表示）
18．（2021秋•望城区期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且
∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
19．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知O是直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠DOE＝α．
（1）如图1，∠AOC＝120°，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
（2）若α＝90°
①如图2，射线OC平分∠BOD，求∠AOD与∠COE的数量关系；
②∠AOC＝120°，射线OF在直线AB下方，∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝120°时，求∠BOF的度数．
20．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
21．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
22．（2021秋•成都期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．
（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；
（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：
①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；
②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
24．（2022春•临川区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
（1）∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
25．（2022秋•鼓楼区期末）已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，OF⊥AB，OE平分∠AOD，
（1）当x＝30°时，则∠FOC＝ 度，∠EOD＝ 度．
（2）当x＝70°时，射线OF、OE分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O逆时针转动，求当射线OF与射线OE重合时至少需要几秒？
（3）x＝70°时，射线OF以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OE以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OF转动一周时射线OE停止转动．射线OF在转动一周的过程中，当∠EOF＝90°时，求射线OF转动的时间．
26．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题 相交线中分类讨论思想求角
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2022春•东洲区期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则
x＝ ．
【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．
【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（2x﹣10）°=（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°=180°，
解得：x=40或x=80，
故答案为：40°或80°
【点评】此题考查对顶角、邻补角问题，解答此题的关键：应明确对顶角相等，邻补角互补，进而根据其含义进行分析、解答．
2．在同一平面上，若∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，则∠AOC的度数是 ．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．
【解答】解：如右图所示，
∵∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，
∴∠BOC1＝90°，∠BOC2＝90°，
∴∠AOC1＝∠BOC1﹣∠BOA＝20°，∠AOC2＝∠AOB+∠BOC2＝160°，
即∠AOC的度数是20°或160°．
故答案是20°或160°．
【点评】本题考查垂线，解题的关键是明确题意，画出相应的图形．
3．（2021•饶平县校级模拟）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．90°
【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB＝60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
②当在∠AOC外时，∠B′OC＝90°+60°＝150°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．
4．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是 ．
【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求∠COD度数．
【解答】解：①当射线OC在射线OA上方，射线OD在射线OB下方时，如图，
∵∠AOB＝22.5°，∠AOC＝∠AOB＝22.5°，∠BOD＝2∠AOB＝45°，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD
＝22.5°+22.5°+45°＝90°，
∴OC与OD的位置关系是垂直．
②当当射线OC在射线OA上方，射线OD在射线OB上方时，
由题意可知，∠BOC＝∠BOD＝45°，此时射线OC和射线OD重合．
故填垂直或重合．
【点评】先利用角的和差关系求得这个角是90°，再由垂线的定义可得，两直线垂直．
5．已知∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，射线OB⊥OA于O，部分图形如图所示，请补全图形，并求∠BOD的度数．
【分析】作出图形，根据角平分线的定义可得∠AOD=12∠AOC，再分OB在∠AOC内部时，∠BOD=∠AOB-∠AOD，OB在∠AOC外部时，∠BOD=∠AOD＋∠AOB分别计算即可得解．
【解答】解：∵OD为∠AOC的平分线，
∴∠AOD=12∠AOC=73°，
又∵OB⊥OA，∴∠AOB=90°，
①当射线OB在∠AOC的内部时，
∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=17°，
②当射线OB在∠AOC的外部时，
∠BOD=∠AOB+∠AOD=163°
综上，∠BOD为17°或163°
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
6．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，如果∠AOC＝30°，OE平分∠BOD，求∠COE（要求：将图形补充完整，写出求解过程）
【分析】根据角的和差，可得∠BOD，根据角平分线的性质，可得∠DOE，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图，
由OC⊥OD，得
∠COD＝90°．
由角的和差，得∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°，
由OE平分∠BOD，得
∠DOE=12∠BOD＝30°，
由角的和差，得
∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+30°＝120°．
如图2，
由OC⊥OD，得
∠COD＝90°．
由角的和差，得∠AOD＝90°﹣∠AOC＝60°，
∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°
由OE平分∠BOD，得
∠DOE=12∠BOD＝60°，
由角的和差，得
∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+60°＝150°．
综上所述：∠COE是150°或120°．
【点评】本题考查了垂线，利用角的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
7．（2022春•启东市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=2∠BOD+60°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据邻补角，可得关于∠BOD的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得∠BOE的度数，根据角的和差，可得∠BOF的度数．
【解答】解：（1）由邻补角互补，得∠AOD+∠BOD=180°，
又∵∠AOD=2∠BOD＋60°，
∴2∠BOD＋60°＋∠BOD=180°，
解得∠BOD=40°；
（2）如图：
由射线OE平分∠BOD，得
∠BOE=12∠BOD=12×40°=20°，
由角的和差，得
∠BOF′=∠EOF′＋∠BOE=90°＋20°=110°，
∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=90°﹣20°=70°．
∴∠BOF的度数为110°或70°．
【点评】本题考查了邻补角与对顶角，利用邻补角得出关于∠BOD的方程是解题关键．
提升题
8．（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
x＝3x﹣20，
解得x＝10，
故∠A＝10°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣20＝180，
所以x＝50，
3×50°﹣20°＝130°
故∠A的度数为：10°或130°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
9．点C在∠AOB的边OA上，过点C作CD⊥OB，过点C作OA的垂线交射线OB于点E，若∠AOB＝66°，则∠DCE是 度．
【分析】根据题意画出图形，根据垂直和互余的意义，可求出结果．
【解答】解：如图1，∵CD⊥OB，∠AOB＝66°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣66°＝24°，
∵CE⊥OA，∴∠OCE＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠OCD＝90°﹣24°＝66°，
如图2，∵CD⊥OB，∠AOB＝66°，
∴∠OCF＝90°﹣∠AOB＝90°﹣66°
＝24°＝∠ACD，
∵CE⊥OA，∴∠OCE＝90°，
∴∠DCE＝90°+∠OCD＝90°+24°＝114°，
故答案为：66或114．
【点评】考查垂线的意义，根据题意画出图形，通过图形直观，利用互余进行计算．
10．已知，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC＝150°，OE垂直AB于O，OF平分∠DOE，则∠BOF的度数为 °．
【分析】由垂线的定义可得∠DOE＝90°，由邻补角的定义可得∠BOD的度数，进而可求解∠EOD的度数，结合角平分线的定义可得∠DOF的度数，进而可求解．
【解答】解：如图（1），
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOC＝150°，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠EOD＝90°﹣30°＝60°，
∵OF平分∠EOD，
∴∠FOD=12∠EOD＝30°，
∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝30°+30°＝60°；
如图（2）
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOC＝150°，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠EOD＝90°+30°＝120°，
∵OF平分∠EOD，
∴∠FOD=12∠EOD＝60°，
∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝60°﹣30°＝30°．
故答案为：60°或30°．
【点评】本题主要考查角平分线，邻补角，注意分类讨论，求解∠DOF的度数是解题的关键．
11．直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，若OE⊥AB，OF平分∠DOE，则∠COF的度数为 ．
【分析】根据题意画出图形，需要注意射线OE的位置不确定，需要分类讨论，再根据图形进行求解．
【解答】解：（1）当射线OE在直线AB上方时，如图1，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝120°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝60°，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝120°．
（2）当射线OE在直线AB下方时，如图2，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝60°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝30°，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝150°．
故答案为：150°或120°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，垂直，角的和差等知识，解决本题的关键是画出图形，对不确定的情况进行分类讨论．
12．（2021秋•香坊区校级月考）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于点O，若∠AOD＝4∠BOC，则∠DOE＝ ．
【分析】分E在OB的左侧和E在OB的右侧两种情况讨论，再根据角平分线的性质，角的和差，可得答案．
【解答】解：①当E在OB的左侧时，如下图，
设∠COD＝α，∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD＝α，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2α，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴∠AOD＝8α，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴8α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BOD＝20°，
∵OE⊥OB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE+∠BOD＝110°，
②当E在OB的右侧时，如下图，
设∠COD＝α，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD＝α，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2α，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴∠AOD＝8α，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴8α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BOD＝20°，
∵OE⊥OB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝70°．
故答案为：110° 或70°．
【点评】此题主要考查了邻补角和角平分线定义，关键是画出图形，进行分类讨论．
13．（2022•南京模拟）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°时，α的度数是 ．
【分析】OF在运动过程中由两个位置可以使∠AOF＝120°，分别作出对应的图像，根据∠AOC的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出两角的值，进而可求出角α的度数．
【解答】解：①当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵∠AOE=23∠EOC，
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°，
当∠AOF＝120°时，
∴α＝∠AOF﹣∠AOE＝120°﹣30°＝90°，
②如图所示，当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵∠AOE=23∠EOC，
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°，
当∠AOF＝120°时，
∴α＝360°﹣（∠AOF+∠AOE）＝360°﹣150°＝210°，
故答案为：90°或210°．
【点评】本题考查对顶角，根据比例求出角的度数，以及角的和与差，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
14.已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且
4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ ．
【分析】分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度数．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．
【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得∠BOE的度数是解决问题的关键．
15．（2021春•绵阳期末）已知直线AB和CD相交于点O，射线OE将∠AOC分成两部分，射线OF使得∠EOF＝∠BOF．若|∠BOF﹣∠AOE|＝36°，则锐角∠BOF＝ ．
【分析】画出相应的图形，结合图形中各个角之间的关系，分两种情况进行解答，即当∠BOF﹣∠AOE＝36°时和当∠AOE﹣∠BOF＝36°时，根据平角的定义列方程求解即可．
【解答】解：如图1，
当∠BOF﹣∠AOE＝36°时，
设∠BOF＝x，则∠EOF＝x，∠AOE＝x﹣36°，
由平角的定义可知，
x+x+x﹣36°＝180°，
解得x＝72°，
如图2，当∠AOE﹣∠BOF＝36°时，
设∠BOF＝x，则∠EOF＝x，∠AOE＝x+36°，
由平角的定义可知，
x+x+x+36°＝180°，
解得x＝48°，
故答案为：48°或72°．
【点评】本题考查邻补角，对顶角以及一元一次方程的应用，根据图形中各个角之间的关系分两种情况进行计算是解决问题的关键．
16．（2022秋•东营区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．
（1）求∠EOB的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝80°，然后根据比例求解即可；
（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的内部时，∠BOF＝∠EOF+∠BOE，OF在∠BOC的内部时，∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°，∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝80°，
∵∠BOE：∠EOD＝3：5，
∴∠EOB＝80°×33+5=30°；
（2）如图：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
当OF在∠AOD的内部时，
∠BOF＝∠EOF+∠BOE
＝90°+30°
＝120°，
当OF在∠BOC的内部时，
∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE
＝90°﹣30°
＝60°，
综上所述∠BOF＝60°或120°．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．
压轴题
17．已知：如图，OC是∠AOB的角平分线．
（1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，求∠AOE的度数；
（3）当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根据角平分线的定义求解即可．
（2）分两种情形，求出∠AOE的度数即可．
（3）分两种情形，求出∠AOE的度数即可．
【解答】解：（1）因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°
所以∠AOC=12∠AOB＝30°．
（2）如图，因为OE⊥OC，
所以∠EOC＝90°，
又∠AOC＝30°，
所以∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝120°，
当OE′在OA的下方时，∠AOE′＝180°﹣120°＝60°，
综上所述，∠AOE的度数为120°或60°．
（3）因为OE⊥OC，所以∠EOC＝90°
同法可得∠AOE＝90°+12α或∠AOE＝90°−12α．
【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2021秋•望城区期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且
∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；
（2）分两种情况：当OG在EF下方时；当OG在EF上方时，计算即可；
（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，再结合角平分线的性质可用α表达出∠COH∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
（2）当OG在EF下方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE=12∠AOD=50°，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE=12∠AOD=50°，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
（3）设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，
∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，
∴∠BOC＝275°﹣15α，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，
∴∠AOE＝10α﹣105°，
∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．
【点评】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键．
19．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知O是直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠DOE＝α．
（1）如图1，∠AOC＝120°，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
（2）若α＝90°
①如图2，射线OC平分∠BOD，求∠AOD与∠COE的数量关系；
②∠AOC＝120°，射线OF在直线AB下方，∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝120°时，求∠BOF的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义可知∠COD=12∠AOC=60°，又可求∠BOC＝60°，即得出∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝10°，从而由∠EOB＝∠BOC﹣∠COE求解即可；
（2）①由题意可求出∠EOB＝90°﹣∠AOD．再根据角平分线的定义可知∠BOC=12∠BOD．根据∠EOB＝∠BOC﹣∠COE，可求出∠EOB=12∠BOD−∠COE．根据∠BOD＝180°﹣∠AOD，可求出∠EOB=90°−12∠AOD−∠COE，即可列出等式，即得出∠AOD＝2∠COE；②分类讨论：ⅰ当OE在OD和OC之间时，明显∠FOA＞2∠AOD，故此时不成立；ⅱ当OC在OD和OE之间时，设∠AOD＝x，则∠FOA＝2x，又可求出∠BOF＝180°﹣2x，∠COD＝120°﹣x，即得出∠BOH＝∠FOH﹣∠BOF＝2x﹣60°．结合∠DOE＝90°，可求出∠COE＝90°﹣∠COD＝x﹣30°．根据角平分线的性质可得∠EOH=∠COH=12∠COE=12x−15°．最后由∠COH+∠BOH＝60°，列出关于x的等式，解出x，即可求出结果．
【解答】（1）解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC＝120°，
∴∠COD=12∠AOC=60°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝10°，
∴∠EOB＝∠BOC﹣∠COE＝50°；
（2）①∵α＝90°，
∴∠EOB＝90°﹣∠AOD．
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=12∠BOD．
∵∠EOB＝∠BOC﹣∠COE，
∴∠EOB=12∠BOD−∠COE．
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠EOB=12(180°−∠AOD)−∠COE=90°−12∠AOD−∠COE，
∴90°−∠AOD=90°−12∠AOD−∠COE，
∴∠AOD＝2∠COE；
②分类讨论：ⅰ当OE在OD和OC之间时，如图，
明显∠FOA＞2∠AOD，故此时不成立；
ⅱ当OC在OD和OE之间时，如图，
设∠AOD＝x，则∠FOA＝2x，
∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣2x，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝120°﹣x，
∴∠BOH＝∠FOH﹣∠BOF＝120°﹣（180°﹣2x）＝2x﹣60°．
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣（120°﹣x）＝x﹣30°．
∵OH平分∠EOC，
∴∠EOH=∠COH=12∠COE=12x−15°．
又∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°＝∠COH+∠BOH，
∴12x−15°+2x−60°=60°，
解得：x＝54°．
∴∠BOF＝180°﹣2×54°＝72°．
【点评】本题考查角平分线的性质，角的和与差，一元一次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键．
20．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，
∴OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF＝45°．
故答案为：45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
21．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【分析】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；
（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；
（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°−12∠AOC．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90−12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90−12x）°=12x°，
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90−12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90−12x）°＝（180−12x）°，
综上所述：∠EOF=12x°或∠EOF＝180°−12x°；
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12BOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互补．
【点评】本题主要考查垂线，角平分线的定义，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的关键．
22．（2021秋•成都期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．
（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；
（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：
①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；
②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．
【分析】（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，所以∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，则∠AOE＝∠DOF；
（2）①因为∠BOD＝90°，所以∠BOF+∠DOF＝90°，由折叠可知，∠BOF＝∠GOD，所以∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，因为COB＝90°，所以∠COB＝∠GOF，则∠BOG＝∠COF；
②因为∠BOF＝50°，所以∠DOF＝40°，由折叠可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH＝∠FOH＝20°，因为∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，所以∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．
【解答】解：（1）∠AOE＝∠DOF，理由如下：
∵∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，
∴∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，
∴∠AOE＝∠DOF；
（2）①∠BOG＝∠COF，理由如下：
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOF+∠DOF＝90°，
∵∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，
∴∠BOF＝∠GOD，
∴∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，
∵∠COB＝90°，
∴∠COB＝∠GOF，
∴∠COB+∠BOF＝∠GOF+∠BOF，
∴∠BOG＝∠COF；
②∵∠BOF＝50°，
∴∠DOF＝40°
∵沿射线OH折叠，OF与OD重合，
∴OH平分∠DOF，
∴∠DOH＝∠FOH＝20°，
∵∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，
∴∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．
【点评】本题考查了垂线、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握角平分线定义．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
【分析】（1）首先根据垂直定义可得∠AOE＝∠DOF＝90°，然后再证明∠EOD＝∠AOF，根据补角定义可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）根据角平分线定义可得∠POC＝∠POB，再根据条件∠POC：∠EOC＝2：5，可得∠COP的度数，然后即可算出∠BOF的度数；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，分两种情况：①当OM在AB的上方时，如图1，②当OM在AB的下方时，如图2，根据∠COM，∠AOC和∠AOM的关系列方程可解答．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴∠EOA+∠AOD＝∠DOF+∠AOD，
即：∠EOD＝∠AOF，
∵∠EOC+∠EOD＝180°，
∴∠AOF+∠EOC＝180°，
∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠POC＝∠POB，
∵∠POC：∠EOC＝2：5，
∴∠POC＝90°×22+2+5=20°，
∴∠POB＝20°，
∵∠COF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣20°﹣20°＝50°；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，
分两种情况：
①当OM在AB的上方时，如图1，
∵∠AOC＝∠AOM+∠COM，
∴x+6x＝180﹣40，
x＝20°，
∴∠AOM＝20°，
②当OM在AB的下方时，如图2，
∠COM﹣∠AOM＝∠AOC，
∴6x﹣x＝180﹣40，
x＝28°，
∴∠AOM＝20°，
综上，∠AOM的度数为20°或28°．
【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．
24．（2022春•临川区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
（1）∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
【分析】（1）对于求解∠AOE与∠DOE的度数，首先从∠BOD＝75°分析，它们之间有什么关系．根据对顶角相等，以及给出的角关系比例即可求出2个角的度数；
（2）要想得出OB是否平分∠DOF的结论，需要求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可得出结论；
要求α的度数，此时需要考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置附近与OF在上方位置．
【解答】（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°
∵∠AOE=23∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE=53∠COE＝75°，
∴∠COE＝45°，
∴∠AOE＝30°，
∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，
∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，
（2）①当OF平分∠BOE时
∵∠BOF=12∠BOE=12（∠COE+∠BOC）=12×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠BOD＝75°，
∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF．
②当OA⊥OF时，且OF在下方时，
∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，
∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，
当OA⊥OF时，且OF在上方时，OF相当于比在下方时多旋转了180°，
∴α＝60°+180°＝240°．
综上所述：当OA⊥OF时，α的度数为60°或者240°．
【点评】只要考查角的计算，根据题意给出的方向分析即可求解．
25．（2022秋•鼓楼区期末）已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，OF⊥AB，OE平分∠AOD，
（1）当x＝30°时，则∠FOC＝ 度，∠EOD＝ 度．
（2）当x＝70°时，射线OF、OE分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O逆时针转动，求当射线OF与射线OE重合时至少需要几秒？
（3）x＝70°时，射线OF以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OE以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OF转动一周时射线OE停止转动．射线OF在转动一周的过程中，当∠EOF＝90°时，求射线OF转动的时间．
【分析】（1）先根据垂线的定义得到∠AOF＝90°，再根据几何中角度的关系求出∠FOC＝60°，∠AOD＝150°，再根据角平分线的定义求出∠EOD的度数即可；
（2）先根据x＝70°，求∠EOF＝145°，则射线OE、OF第一次重合时，则OE运动的度数﹣OF运动的度数＝145°，列式解出即可；
（3）分OE与OF未相遇时，当OE与OF相遇后，但OF在OB的下方时，当OE与OF相遇后，OF在OB的上方时，三种情况分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠FOC＝∠AOF﹣∠AOC＝60°，∠AOD＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=12∠AOD=75°，
故答案为：60，75；
（2）设当射线OF与射线OE重合时至少需要t秒，
当x＝70°时，同（1）可得∠AOE＝55°，
∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝145°，
∴10t﹣4t＝145，
解得t=1456，
∴当射线OF与射线OE重合时至少需要1456秒；
（3）设射线OF转动的时间为t秒，
分三种情况：①OE与OF未相遇时，得10t+90+4t＝360﹣145，
解得，t=12514；
②当OE与OF相遇后，但OF在OB的下方时，得10t﹣（360﹣145）+4t＝90，
解得，t=30514；
③当OE与OF相遇后，OF在OB的上方时，得：360﹣10t+（360﹣145）﹣4t＝90，
解得，t=48514．
∴射线OF转动的时间为12514或30514或48514．
【点评】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
26．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【分析】（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；
②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t=12（60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD，
即9°t﹣300°=12（3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2022春•东洲区期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则
x＝ ．
2．在同一平面上，若∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，则∠AOC的度数是 ．
3．（2021•饶平县校级模拟）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．90°
4．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是 ．
5．已知∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，射线OB⊥OA于O，部分图形如图所示，请补全图形，并求∠BOD的度数．
6．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，如果∠AOC＝30°，OE平分∠BOD，求∠COE（要求：将图形补充完整，写出求解过程）
7．（2022春•启东市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=2∠BOD+60°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度数．
提升题
8．（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
9．点C在∠AOB的边OA上，过点C作CD⊥OB，过点C作OA的垂线交射线OB于点E，若∠AOB＝66°，则∠DCE是 度．
10．已知，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC＝150°，OE垂直AB于O，OF平分∠DOE，则∠BOF的度数为 °．
11．直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，若OE⊥AB，OF平分∠DOE，则∠COF的度数为 ．
12．（2020秋•香坊区校级月考）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于点O，若∠AOD＝4∠BOC，则∠DOE＝ ．
13．（2022•南京模拟）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°时，α的度数是 ．
14.已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且
4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ ．
15．（2021春•绵阳期末）已知直线AB和CD相交于点O，射线OE将∠AOC分成两部分，射线OF使得∠EOF＝∠BOF．若|∠BOF﹣∠AOE|＝36°，则锐角∠BOF＝ ．
16．（2022秋•东营区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．
（1）求∠EOB的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数．
压轴题
17．已知：如图，OC是∠AOB的角平分线．
（1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，求∠AOE的度数；
（3）当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数．（用含α的式子表示）
18．（2021秋•望城区期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且
∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
19．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知O是直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠DOE＝α．
（1）如图1，∠AOC＝120°，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
（2）若α＝90°
①如图2，射线OC平分∠BOD，求∠AOD与∠COE的数量关系；
②∠AOC＝120°，射线OF在直线AB下方，∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝120°时，求∠BOF的度数．
20．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
21．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
22．（2021秋•成都期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．
（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；
（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：
①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；
②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
24．（2022春•临川区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
（1）∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
25．（2022秋•鼓楼区期末）已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，OF⊥AB，OE平分∠AOD，
（1）当x＝30°时，则∠FOC＝ 度，∠EOD＝ 度．
（2）当x＝70°时，射线OF、OE分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O逆时针转动，求当射线OF与射线OE重合时至少需要几秒？
（3）x＝70°时，射线OF以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OE以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OF转动一周时射线OE停止转动．射线OF在转动一周的过程中，当∠EOF＝90°时，求射线OF转动的时间．
26．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题 相交线中分类讨论思想求角
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2022春•东洲区期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则
x＝ ．
【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．
【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（2x﹣10）°=（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°=180°，
解得：x=40或x=80，
故答案为：40°或80°
【点评】此题考查对顶角、邻补角问题，解答此题的关键：应明确对顶角相等，邻补角互补，进而根据其含义进行分析、解答．
2．在同一平面上，若∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，则∠AOC的度数是 ．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．
【解答】解：如右图所示，
∵∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，
∴∠BOC1＝90°，∠BOC2＝90°，
∴∠AOC1＝∠BOC1﹣∠BOA＝20°，∠AOC2＝∠AOB+∠BOC2＝160°，
即∠AOC的度数是20°或160°．
故答案是20°或160°．
【点评】本题考查垂线，解题的关键是明确题意，画出相应的图形．
3．（2021•饶平县校级模拟）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．90°
【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB＝60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
②当在∠AOC外时，∠B′OC＝90°+60°＝150°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．
4．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是 ．
【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求∠COD度数．
【解答】解：①当射线OC在射线OA上方，射线OD在射线OB下方时，如图，
∵∠AOB＝22.5°，∠AOC＝∠AOB＝22.5°，∠BOD＝2∠AOB＝45°，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD
＝22.5°+22.5°+45°＝90°，
∴OC与OD的位置关系是垂直．
②当当射线OC在射线OA上方，射线OD在射线OB上方时，
由题意可知，∠BOC＝∠BOD＝45°，此时射线OC和射线OD重合．
故填垂直或重合．
【点评】先利用角的和差关系求得这个角是90°，再由垂线的定义可得，两直线垂直．
5．已知∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，射线OB⊥OA于O，部分图形如图所示，请补全图形，并求∠BOD的度数．
【分析】作出图形，根据角平分线的定义可得∠AOD=12∠AOC，再分OB在∠AOC内部时，∠BOD=∠AOB-∠AOD，OB在∠AOC外部时，∠BOD=∠AOD＋∠AOB分别计算即可得解．
【解答】解：∵OD为∠AOC的平分线，
∴∠AOD=12∠AOC=73°，
又∵OB⊥OA，∴∠AOB=90°，
①当射线OB在∠AOC的内部时，
∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=17°，
②当射线OB在∠AOC的外部时，
∠BOD=∠AOB+∠AOD=163°
综上，∠BOD为17°或163°
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
6．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，如果∠AOC＝30°，OE平分∠BOD，求∠COE（要求：将图形补充完整，写出求解过程）
【分析】根据角的和差，可得∠BOD，根据角平分线的性质，可得∠DOE，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图，
由OC⊥OD，得
∠COD＝90°．
由角的和差，得∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°，
由OE平分∠BOD，得
∠DOE=12∠BOD＝30°，
由角的和差，得
∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+30°＝120°．
如图2，
由OC⊥OD，得
∠COD＝90°．
由角的和差，得∠AOD＝90°﹣∠AOC＝60°，
∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°
由OE平分∠BOD，得
∠DOE=12∠BOD＝60°，
由角的和差，得
∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+60°＝150°．
综上所述：∠COE是150°或120°．
【点评】本题考查了垂线，利用角的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
7．（2022春•启东市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=2∠BOD+60°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据邻补角，可得关于∠BOD的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得∠BOE的度数，根据角的和差，可得∠BOF的度数．
【解答】解：（1）由邻补角互补，得∠AOD+∠BOD=180°，
又∵∠AOD=2∠BOD＋60°，
∴2∠BOD＋60°＋∠BOD=180°，
解得∠BOD=40°；
（2）如图：
由射线OE平分∠BOD，得
∠BOE=12∠BOD=12×40°=20°，
由角的和差，得
∠BOF′=∠EOF′＋∠BOE=90°＋20°=110°，
∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=90°﹣20°=70°．
∴∠BOF的度数为110°或70°．
【点评】本题考查了邻补角与对顶角，利用邻补角得出关于∠BOD的方程是解题关键．
提升题
8．（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
x＝3x﹣20，
解得x＝10，
故∠A＝10°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣20＝180，
所以x＝50，
3×50°﹣20°＝130°
故∠A的度数为：10°或130°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
9．点C在∠AOB的边OA上，过点C作CD⊥OB，过点C作OA的垂线交射线OB于点E，若∠AOB＝66°，则∠DCE是 度．
【分析】根据题意画出图形，根据垂直和互余的意义，可求出结果．
【解答】解：如图1，∵CD⊥OB，∠AOB＝66°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣66°＝24°，
∵CE⊥OA，∴∠OCE＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠OCD＝90°﹣24°＝66°，
如图2，∵CD⊥OB，∠AOB＝66°，
∴∠OCF＝90°﹣∠AOB＝90°﹣66°
＝24°＝∠ACD，
∵CE⊥OA，∴∠OCE＝90°，
∴∠DCE＝90°+∠OCD＝90°+24°＝114°，
故答案为：66或114．
【点评】考查垂线的意义，根据题意画出图形，通过图形直观，利用互余进行计算．
10．已知，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC＝150°，OE垂直AB于O，OF平分∠DOE，则∠BOF的度数为 °．
【分析】由垂线的定义可得∠DOE＝90°，由邻补角的定义可得∠BOD的度数，进而可求解∠EOD的度数，结合角平分线的定义可得∠DOF的度数，进而可求解．
【解答】解：如图（1），
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOC＝150°，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠EOD＝90°﹣30°＝60°，
∵OF平分∠EOD，
∴∠FOD=12∠EOD＝30°，
∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝30°+30°＝60°；
如图（2）
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOC＝150°，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠EOD＝90°+30°＝120°，
∵OF平分∠EOD，
∴∠FOD=12∠EOD＝60°，
∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝60°﹣30°＝30°．
故答案为：60°或30°．
【点评】本题主要考查角平分线，邻补角，注意分类讨论，求解∠DOF的度数是解题的关键．
11．直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，若OE⊥AB，OF平分∠DOE，则∠COF的度数为 ．
【分析】根据题意画出图形，需要注意射线OE的位置不确定，需要分类讨论，再根据图形进行求解．
【解答】解：（1）当射线OE在直线AB上方时，如图1，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝120°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝60°，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝120°．
（2）当射线OE在直线AB下方时，如图2，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝60°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝30°，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝150°．
故答案为：150°或120°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，垂直，角的和差等知识，解决本题的关键是画出图形，对不确定的情况进行分类讨论．
12．（2021秋•香坊区校级月考）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于点O，若∠AOD＝4∠BOC，则∠DOE＝ ．
【分析】分E在OB的左侧和E在OB的右侧两种情况讨论，再根据角平分线的性质，角的和差，可得答案．
【解答】解：①当E在OB的左侧时，如下图，
设∠COD＝α，∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD＝α，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2α，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴∠AOD＝8α，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴8α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BOD＝20°，
∵OE⊥OB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE+∠BOD＝110°，
②当E在OB的右侧时，如下图，
设∠COD＝α，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD＝α，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2α，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴∠AOD＝8α，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴8α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BOD＝20°，
∵OE⊥OB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝70°．
故答案为：110° 或70°．
【点评】此题主要考查了邻补角和角平分线定义，关键是画出图形，进行分类讨论．
13．（2022•南京模拟）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°时，α的度数是 ．
【分析】OF在运动过程中由两个位置可以使∠AOF＝120°，分别作出对应的图像，根据∠AOC的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出两角的值，进而可求出角α的度数．
【解答】解：①当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵∠AOE=23∠EOC，
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°，
当∠AOF＝120°时，
∴α＝∠AOF﹣∠AOE＝120°﹣30°＝90°，
②如图所示，当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵∠AOE=23∠EOC，
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°，
当∠AOF＝120°时，
∴α＝360°﹣（∠AOF+∠AOE）＝360°﹣150°＝210°，
故答案为：90°或210°．
【点评】本题考查对顶角，根据比例求出角的度数，以及角的和与差，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
14.已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且
4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ ．
【分析】分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度数．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．
【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得∠BOE的度数是解决问题的关键．
15．（2021春•绵阳期末）已知直线AB和CD相交于点O，射线OE将∠AOC分成两部分，射线OF使得∠EOF＝∠BOF．若|∠BOF﹣∠AOE|＝36°，则锐角∠BOF＝ ．
【分析】画出相应的图形，结合图形中各个角之间的关系，分两种情况进行解答，即当∠BOF﹣∠AOE＝36°时和当∠AOE﹣∠BOF＝36°时，根据平角的定义列方程求解即可．
【解答】解：如图1，
当∠BOF﹣∠AOE＝36°时，
设∠BOF＝x，则∠EOF＝x，∠AOE＝x﹣36°，
由平角的定义可知，
x+x+x﹣36°＝180°，
解得x＝72°，
如图2，当∠AOE﹣∠BOF＝36°时，
设∠BOF＝x，则∠EOF＝x，∠AOE＝x+36°，
由平角的定义可知，
x+x+x+36°＝180°，
解得x＝48°，
故答案为：48°或72°．
【点评】本题考查邻补角，对顶角以及一元一次方程的应用，根据图形中各个角之间的关系分两种情况进行计算是解决问题的关键．
16．（2022秋•东营区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．
（1）求∠EOB的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝80°，然后根据比例求解即可；
（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的内部时，∠BOF＝∠EOF+∠BOE，OF在∠BOC的内部时，∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°，∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝80°，
∵∠BOE：∠EOD＝3：5，
∴∠EOB＝80°×33+5=30°；
（2）如图：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
当OF在∠AOD的内部时，
∠BOF＝∠EOF+∠BOE
＝90°+30°
＝120°，
当OF在∠BOC的内部时，
∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE
＝90°﹣30°
＝60°，
综上所述∠BOF＝60°或120°．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．
压轴题
17．已知：如图，OC是∠AOB的角平分线．
（1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，求∠AOE的度数；
（3）当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根据角平分线的定义求解即可．
（2）分两种情形，求出∠AOE的度数即可．
（3）分两种情形，求出∠AOE的度数即可．
【解答】解：（1）因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°
所以∠AOC=12∠AOB＝30°．
（2）如图，因为OE⊥OC，
所以∠EOC＝90°，
又∠AOC＝30°，
所以∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝120°，
当OE′在OA的下方时，∠AOE′＝180°﹣120°＝60°，
综上所述，∠AOE的度数为120°或60°．
（3）因为OE⊥OC，所以∠EOC＝90°
同法可得∠AOE＝90°+12α或∠AOE＝90°−12α．
【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2021秋•望城区期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且
∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；
（2）分两种情况：当OG在EF下方时；当OG在EF上方时，计算即可；
（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，再结合角平分线的性质可用α表达出∠COH∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
（2）当OG在EF下方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE=12∠AOD=50°，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE=12∠AOD=50°，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
（3）设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，
∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，
∴∠BOC＝275°﹣15α，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，
∴∠AOE＝10α﹣105°，
∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．
【点评】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键．
19．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知O是直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠DOE＝α．
（1）如图1，∠AOC＝120°，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
（2）若α＝90°
①如图2，射线OC平分∠BOD，求∠AOD与∠COE的数量关系；
②∠AOC＝120°，射线OF在直线AB下方，∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝120°时，求∠BOF的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义可知∠COD=12∠AOC=60°，又可求∠BOC＝60°，即得出∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝10°，从而由∠EOB＝∠BOC﹣∠COE求解即可；
（2）①由题意可求出∠EOB＝90°﹣∠AOD．再根据角平分线的定义可知∠BOC=12∠BOD．根据∠EOB＝∠BOC﹣∠COE，可求出∠EOB=12∠BOD−∠COE．根据∠BOD＝180°﹣∠AOD，可求出∠EOB=90°−12∠AOD−∠COE，即可列出等式，即得出∠AOD＝2∠COE；②分类讨论：ⅰ当OE在OD和OC之间时，明显∠FOA＞2∠AOD，故此时不成立；ⅱ当OC在OD和OE之间时，设∠AOD＝x，则∠FOA＝2x，又可求出∠BOF＝180°﹣2x，∠COD＝120°﹣x，即得出∠BOH＝∠FOH﹣∠BOF＝2x﹣60°．结合∠DOE＝90°，可求出∠COE＝90°﹣∠COD＝x﹣30°．根据角平分线的性质可得∠EOH=∠COH=12∠COE=12x−15°．最后由∠COH+∠BOH＝60°，列出关于x的等式，解出x，即可求出结果．
【解答】（1）解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC＝120°，
∴∠COD=12∠AOC=60°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝10°，
∴∠EOB＝∠BOC﹣∠COE＝50°；
（2）①∵α＝90°，
∴∠EOB＝90°﹣∠AOD．
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=12∠BOD．
∵∠EOB＝∠BOC﹣∠COE，
∴∠EOB=12∠BOD−∠COE．
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠EOB=12(180°−∠AOD)−∠COE=90°−12∠AOD−∠COE，
∴90°−∠AOD=90°−12∠AOD−∠COE，
∴∠AOD＝2∠COE；
②分类讨论：ⅰ当OE在OD和OC之间时，如图，
明显∠FOA＞2∠AOD，故此时不成立；
ⅱ当OC在OD和OE之间时，如图，
设∠AOD＝x，则∠FOA＝2x，
∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣2x，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝120°﹣x，
∴∠BOH＝∠FOH﹣∠BOF＝120°﹣（180°﹣2x）＝2x﹣60°．
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣（120°﹣x）＝x﹣30°．
∵OH平分∠EOC，
∴∠EOH=∠COH=12∠COE=12x−15°．
又∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°＝∠COH+∠BOH，
∴12x−15°+2x−60°=60°，
解得：x＝54°．
∴∠BOF＝180°﹣2×54°＝72°．
【点评】本题考查角平分线的性质，角的和与差，一元一次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键．
20．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，
∴OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF＝45°．
故答案为：45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
21．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【分析】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；
（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；
（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°−12∠AOC．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90−12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90−12x）°=12x°，
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90−12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90−12x）°＝（180−12x）°，
综上所述：∠EOF=12x°或∠EOF＝180°−12x°；
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12BOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互补．
【点评】本题主要考查垂线，角平分线的定义，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的关键．
22．（2021秋•成都期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．
（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；
（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：
①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；
②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．
【分析】（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，所以∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，则∠AOE＝∠DOF；
（2）①因为∠BOD＝90°，所以∠BOF+∠DOF＝90°，由折叠可知，∠BOF＝∠GOD，所以∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，因为COB＝90°，所以∠COB＝∠GOF，则∠BOG＝∠COF；
②因为∠BOF＝50°，所以∠DOF＝40°，由折叠可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH＝∠FOH＝20°，因为∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，所以∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．
【解答】解：（1）∠AOE＝∠DOF，理由如下：
∵∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，
∴∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，
∴∠AOE＝∠DOF；
（2）①∠BOG＝∠COF，理由如下：
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOF+∠DOF＝90°，
∵∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，
∴∠BOF＝∠GOD，
∴∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，
∵∠COB＝90°，
∴∠COB＝∠GOF，
∴∠COB+∠BOF＝∠GOF+∠BOF，
∴∠BOG＝∠COF；
②∵∠BOF＝50°，
∴∠DOF＝40°
∵沿射线OH折叠，OF与OD重合，
∴OH平分∠DOF，
∴∠DOH＝∠FOH＝20°，
∵∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，
∴∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．
【点评】本题考查了垂线、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握角平分线定义．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
【分析】（1）首先根据垂直定义可得∠AOE＝∠DOF＝90°，然后再证明∠EOD＝∠AOF，根据补角定义可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）根据角平分线定义可得∠POC＝∠POB，再根据条件∠POC：∠EOC＝2：5，可得∠COP的度数，然后即可算出∠BOF的度数；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，分两种情况：①当OM在AB的上方时，如图1，②当OM在AB的下方时，如图2，根据∠COM，∠AOC和∠AOM的关系列方程可解答．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴∠EOA+∠AOD＝∠DOF+∠AOD，
即：∠EOD＝∠AOF，
∵∠EOC+∠EOD＝180°，
∴∠AOF+∠EOC＝180°，
∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠POC＝∠POB，
∵∠POC：∠EOC＝2：5，
∴∠POC＝90°×22+2+5=20°，
∴∠POB＝20°，
∵∠COF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣20°﹣20°＝50°；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，
分两种情况：
①当OM在AB的上方时，如图1，
∵∠AOC＝∠AOM+∠COM，
∴x+6x＝180﹣40，
x＝20°，
∴∠AOM＝20°，
②当OM在AB的下方时，如图2，
∠COM﹣∠AOM＝∠AOC，
∴6x﹣x＝180﹣40，
x＝28°，
∴∠AOM＝20°，
综上，∠AOM的度数为20°或28°．
【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．
24．（2022春•临川区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
（1）∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
【分析】（1）对于求解∠AOE与∠DOE的度数，首先从∠BOD＝75°分析，它们之间有什么关系．根据对顶角相等，以及给出的角关系比例即可求出2个角的度数；
（2）要想得出OB是否平分∠DOF的结论，需要求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可得出结论；
要求α的度数，此时需要考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置附近与OF在上方位置．
【解答】（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°
∵∠AOE=23∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE=53∠COE＝75°，
∴∠COE＝45°，
∴∠AOE＝30°，
∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，
∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，
（2）①当OF平分∠BOE时
∵∠BOF=12∠BOE=12（∠COE+∠BOC）=12×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠BOD＝75°，
∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF．
②当OA⊥OF时，且OF在下方时，
∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，
∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，
当OA⊥OF时，且OF在上方时，OF相当于比在下方时多旋转了180°，
∴α＝60°+180°＝240°．
综上所述：当OA⊥OF时，α的度数为60°或者240°．
【点评】只要考查角的计算，根据题意给出的方向分析即可求解．
25．（2022秋•鼓楼区期末）已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，OF⊥AB，OE平分∠AOD，
（1）当x＝30°时，则∠FOC＝ 度，∠EOD＝ 度．
（2）当x＝70°时，射线OF、OE分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O逆时针转动，求当射线OF与射线OE重合时至少需要几秒？
（3）x＝70°时，射线OF以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OE以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OF转动一周时射线OE停止转动．射线OF在转动一周的过程中，当∠EOF＝90°时，求射线OF转动的时间．
【分析】（1）先根据垂线的定义得到∠AOF＝90°，再根据几何中角度的关系求出∠FOC＝60°，∠AOD＝150°，再根据角平分线的定义求出∠EOD的度数即可；
（2）先根据x＝70°，求∠EOF＝145°，则射线OE、OF第一次重合时，则OE运动的度数﹣OF运动的度数＝145°，列式解出即可；
（3）分OE与OF未相遇时，当OE与OF相遇后，但OF在OB的下方时，当OE与OF相遇后，OF在OB的上方时，三种情况分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠FOC＝∠AOF﹣∠AOC＝60°，∠AOD＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=12∠AOD=75°，
故答案为：60，75；
（2）设当射线OF与射线OE重合时至少需要t秒，
当x＝70°时，同（1）可得∠AOE＝55°，
∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝145°，
∴10t﹣4t＝145，
解得t=1456，
∴当射线OF与射线OE重合时至少需要1456秒；
（3）设射线OF转动的时间为t秒，
分三种情况：①OE与OF未相遇时，得10t+90+4t＝360﹣145，
解得，t=12514；
②当OE与OF相遇后，但OF在OB的下方时，得10t﹣（360﹣145）+4t＝90，
解得，t=30514；
③当OE与OF相遇后，OF在OB的上方时，得：360﹣10t+（360﹣145）﹣4t＝90，
解得，t=48514．
∴射线OF转动的时间为12514或30514或48514．
【点评】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
26．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【分析】（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；
②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t=12（60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD，
即9°t﹣300°=12（3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．
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