人教版数学七下重难点培优训练专题5.1 相交线中利用方程思想求角（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【思路点拨】
设∠DOF＝2x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．
【解题过程】
解：设∠DOF＝2x，则∠AOD＝3x，
∴∠AOF＝5x，
∴∠BOF＝180°﹣5x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE∠BOF＝90°x，
∵∠DOE＝80°，
∴∠DOF+∠FOE＝80°，
即2x+90°x＝80°，
解得：x＝20°，
则∠AOD＝3x＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD＝60°，
故选：B．
1．（2021春•汝南县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC＝（ ）
A．30°B．40°
C．540°﹣5αD．540°﹣6α
【思路点拨】
设∠DOF＝2x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．
【解答过程】
解：设∠DOF＝2x，则∠AOD＝3x，
∴∠AOF＝5x，
∴∠BOF＝180°﹣5x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE∠BOF＝90°x，
∵∠DOE＝α，
∴∠DOF+∠FOE＝α，即2x+90°x＝α，
解得，x＝180°﹣2α，
则∠AOD＝3x＝540°﹣6α，
∴∠BOC＝∠AOD＝540°﹣6α，
故选：D．
2．（2020春•荔湾区期末）如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE＝4：1，则∠AOF等于（ ）
A．130°B．100°
C．110°D．120°
【思路点拨】
先设出∠BOE＝α，再表示出∠DOE＝α∠AOD＝4α，建立方程求出α，最用利用对顶角，角之间的和差即可．
【解答过程】
解：设∠BOE＝α，
∵∠AOD：∠BOE＝4：1，
∴∠AOD＝4α，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE＝α
∴∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，
∴4α+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠AOD＝4α＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
∵OF平分∠COB，
∴∠COF∠BOC＝60°，
∵∠AOC＝∠BOD＝2α＝60°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝120°，
故选：D．
3．（2021春•前郭县月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3．求∠AOE的度数．
【思路点拨】
根据对顶角相等，邻补角互补的性质作答．
【解答过程】
解：设∠BOE＝2x，∠EOD＝3x，则∠DOB＝5x，
∴∠DOB＝∠AOC＝5x＝70°，
解得x＝14°，∠DOE＝3x＝42°，
又∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝110°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝152°．
4．（2021•武昌区校级开学）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：∠2＝1：4，求∠EOF的度数．
【思路点拨】
先根据OE平分∠BOD，可得∠1＝∠BOE，再根据∠1：∠2＝1：4，计算出∠DOB和∠DOE的度数，然后计算出∠EOC的度数，再根据角平分线的定义可得∠EOF＝75°．
【解答过程】
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠1＝∠BOE，
∵∠1：∠2＝1：4，
∴设∠1＝x°，则∠EOB＝x°，∠AOD＝4x°，
∴x+x+4x＝180°，
解得：x＝30，
∴∠1＝30°，∠DOB＝60°，
∴∠COE＝150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF＝75°．
5．（2021春•江津区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE，求∠COF的度数．
【思路点拨】
根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；
【解答过程】
解：∵∠AOE：∠EOC＝2：3．
∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，
∴∠AOC＝5x，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，
∴5x＝75°，
解得：x＝15°，
则2x＝30°，3x＝45°，
∴∠AOE＝30°，∠EOC＝45°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF∠BOE＝75°，
∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝75°﹣45°＝30°．
6．（2020春•福清市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD：∠EOB＝2：3，求∠AOF的度数．
【思路点拨】
设∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；根据题意列出方程3x+3x+2x＝180°，得出x＝22.5°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，即可求出∠AOF＝90°﹣∠AOC＝45°．
【解答过程】
解：设∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠EOB＝3x，
则3x+3x+2x＝180°，
解得：x＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
∵FO⊥CD，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°．
7．（2020秋•郾城区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数．
（2）若∠EOC：∠EOD＝4：5，求∠BOD的度数．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等得到答案；
（2）设∠EOC＝4x，根据邻补角的概念列出方程，解方程求出∠EOC＝80°，根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案．
【解答过程】
解：（1）∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）设∠EOC＝4x，则∠EOD＝5x，
∴5x+4x＝180°，
解得x＝20°，
则∠EOC＝80°，
又∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．
8．（2021春•江西月考）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOC＝75°，ON将∠AOD分成两个角，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）求∠AON的度数．
（2）若OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？判断并说明理由．
【思路点拨】
（1）设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根据角的倍数关系可得答案；
（2）先计算∠BOM的度数，判断∠BOM、∠BOC是否相等，即可说明理由．
【解答过程】
解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，
设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，
∴∠AOD＝5x，
∵∠BOC＝75°，
∴∠AOD＝5x＝75°，
∴x＝15°，
∴∠AON＝30°；
（2）OB是∠COM的平分线，理由如下：
∵∠AON＝30°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，
∵OM平分∠BON，
∴∠BOM＝75°，
∴∠BOM＝∠BOC，
∴OB是∠COM的角平分线．
9．（2020秋•姜堰区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．
（1）若∠BOE＝54°，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOE：∠BOC＝2：5，求∠AOE的度数．
【思路点拨】
（1）先根据余角的定义求得∠BOD的度数，再根据对顶角的性质可求∠AOC的度数；
（2）设∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，表示出∠BOC的度数进而求得x，求出∠BOE的度数，利用邻补角的性质求得∠AOE的度数．
【解答过程】
解：（1）∵∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵∠BOE＝54°，
∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°；
（2）设∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，则∠COE＝3x，
∵∠COE＝90°，
∴3x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠BOE＝2×30°＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．
10．（2020秋•九龙坡区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°．
（1）如图1，若OC平分∠AOE，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC＝4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度数．
【思路点拨】
（1）依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数，进而得出∠AOD的度数；
（2）设∠BOF＝α，则∠BOC＝4α，∠COF＝3α，依据∠BOE＝90°，即可得到α的值，进而得出∠EOF的度数．
【解答过程】
解：（1）∵∠AOE＝90°，OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝135°；
（2）设∠BOF＝α，则∠BOC＝4α，∠COF＝3α，
∵OE平分∠FOC，
∴∠EOF＝1.5α，
∵∠BOE＝90°，
∴1.5α+α＝90°，
∴α＝36°，
∴∠EOF＝54°．
11．（2020秋•平昌县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°．
（1）若∠AOF＝42°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝6：7，求∠AOF的度数．
【思路点拨】
（1）利用对顶角和角平分线的定义可得，∠AOD＝∠BOC＝132°，∠BOE∠BOC＝62°；
（2）设∠BOD＝6x，∠BOE＝7x，则有6x+7x+7x＝180°，求出x＝9°，再求∠AOF即可．
【解答过程】
解：（1）∵∠FOD＝90°，∠AOF＝42°，
∴∠AOD＝132°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠BOC＝132°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE∠BOC＝62°；
（2）∵∠BOD：∠BOE＝6：7，
设∠BOD＝6x，∠BOE＝7x，
∵∠BOE＝∠COE，
∴6x+7x+7x＝180°，
∴x＝9°，
∴∠BOD＝54°，
∴∠COA＝∠BOD＝54°，
∴∠AOF＝90°﹣54°＝36°．
12．（2021春•饶平县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．
（1）求∠AOE的度数；
（2）若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．
【思路点拨】
（1）根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可．
【解答过程】
解：（1）∵∠AOE：∠EOC＝2：3．
∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，
∴∠AOC＝5x，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，
∴5x＝75°，
解得：x＝15°，
则2x＝30°，
∴∠AOE＝30°；
（2）OB是∠DOF的平分线；理由如下：
∵∠AOE＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF＝75°，
∵∠BOD＝75°，
∴∠BOD＝∠BOF，
∴OB是∠COF的角平分线．
13．（2020秋•定州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠AOD＝105°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．
（1）求∠AOE的度数；
（2）若OF是∠BOE的平分线，那么OB是∠DOF的平分线吗？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据邻补角的定义求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可．
【解答过程】
解：（1）∵∠AOE：∠EOC＝2：3．
设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，∠AOC＝5x，
由∠AOD＝105°可得∠AOC＝75°，
即5x＝75°，
解得：x＝15°，
则2x＝30°，
即∠AOE＝30°；
（2）OB是∠DOF的平分线；
理由如下：
∵∠AOE＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
而OF平分∠BOE，
∴∠BOF∠BOE＝75°，
∵∠AOD＝105°，
∴∠BOD＝75°，
∴∠BOD＝∠BOF，
即OB是∠DOF的角平分线．
14．（2020秋•开州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠BOF∠AOE．求∠AOC和∠DOE的度数．
【思路点拨】
根据角平分线的概念得∠AOE与∠AOD的关系，根据余角性质得∠BOF与∠BOD的关系，然后根据补角定义可得答案．
【解答过程】
解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE∠AOD，
∴∠BOF∠AOE∠AOD（180°﹣∠BOD），
∵∠FOC＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣∠BOD，
∴（180°﹣∠BOD）＝90°﹣∠BOD，
∴∠BOD＝40°，
∴∠AOD＝140°，∠AOC＝∠BOD＝40°
∴∠DOE∠AOD＝70°．
15．（2021春•双辽市期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG∠AOE，求∠DOF的度数．
【思路点拨】
首先根据角平分线的性质可得∠EOG＝∠BOG，设∠EOG＝x°，进而得到∠EOGx°，再根据平角为180°可得x+x+3x＝180，解出x可得∠EOG，进而可得∠DOF的度数．
【解答过程】
解：∵OG平分∠BOE，
∴∠EOG＝∠BOG，
设∠EOG＝x°，
∵∠EOG，
∴∠AOE＝3x°，
∵x+x+3x＝180，
解得：x＝36，
∴∠AOE＝3×36°＝108°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝90°﹣72°＝18°．
所以∠DOF的度数18°．
16．（2020秋•东台市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
（1）若∠BOE＝65°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义，得出∠EOC＝∠BOE＝65°，利用邻补角定义求出∠DOE即可；
（2）根据角平分线的定义，∠BOD：∠BOE＝2：3，求出∠BOD，再根据对顶角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．
【解答过程】
（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°，
∴∠EOC＝∠BOE＝65°，
∴∠DOE＝180°﹣65°＝115°．
（2）∵∠BOD：∠BOE＝2：3，
设∠BOD＝x，则，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD＝180°，
∴xxx＝180°，
∴x＝45°．即∠BOD＝45°，
∵OF⊥CD，∠AOC＝∠BOD＝45°，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣45°＝45°．
17．（2021春•阳新县月考）如图，直线AB、EF交于点O，∠DOB＝90°，∠COE＝90°
（1）如果∠COD＝∠EOD﹣40°，求∠BOE的度数；
（2）如果5∠FOD＝4∠BOF，求∠COA的度数．
【思路点拨】
（1）先根据∠COE＝90°＝∠COD+∠EOD，由∠COD＝∠EOD﹣40°，相当于解二元一次方程组可得∠EOD＝65°，最后根据两个角互余可得结论；
（2）设∠AOF＝α，根据5∠FOD＝4∠BOF，列方程可得α的值，根据两个角互余可得结论．
【解答过程】
解：（1）∵∠COE＝90°，
∴∠COD+∠EOD＝90°，
∵∠COD＝∠EOD﹣40°，
∴∠EOD＝65°，
∵∠DOB＝90°，
∴∠DOE+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣65°＝25°，
（2）设∠AOF＝α，
∵5∠FOD＝4∠BOF，
∴5（α+90°）＝4（180°﹣α），
α＝30°，
∵∠COE＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC+∠AOF＝90°，
∴∠AOC＝60°．
18．（2021春•武汉期中）如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4：5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
【思路点拨】
根据邻补角，可得∠AOC，根据对顶角的性质，可得∠BOD，根据垂直的定义，可得∠BOE，根据角的和差，可得∠DOE，根据角平分线的定义，可得∠DOF，根据角的和差，可得答案．
【解答过程】
解：设∠AOC＝4x，则∠AOD＝5x，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠AOC＝4x＝80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝10°，
又∵OF平分∠DOB，
∴∠DOF∠BOD＝40°，
∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝10°+40°＝50°．
19．（2021春•武昌区期中）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．
（1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度数；
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
【思路点拨】
（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD∠COD可得∠BOD的度数，然后根据邻补角互补可得答案；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数．
【解答过程】
解：（1）∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD∠COD，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
20．（2020秋•砚山县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°．
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义求出∠AOC＝45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM＝∠MON∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【解答过程】
解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC∠AOM90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC＝4∠NOB
∴设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，
∴∠CON＝∠COB﹣∠BON＝4x°﹣x°＝3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM＝∠MON∠CONx°，
∵∠BOMx+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠MONx°36°＝54°，
即∠MON的度数为54°．
21．（2021春•营口期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD．求证：OE平分∠AOF；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．
【思路点拨】
（1）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；
（2）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．
【解答过程】
（1）证明：∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠FOD＝90°，
∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，
∵∠BOD＝∠FOD，
∴∠FOB＝2∠FOD，
∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
（2）解：∵∠FOG：∠AOE＝2：3，
∴设∠FOG＝2α，则∠AOE＝3α，
∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，
∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOD＝α，
∴∠FOD＝∠BOD＝α，
∵A，O，B三点在一条直线上，
∴3α+3α+α+α＝180°，
解得α＝22.5°，
∴∠COG＝112.5°．
22．（2021•雨花区校级开学）如图，射线OC、OD把∠AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD．
（1）若∠AOB＝144°，求∠COM的度数；
（2）若OM⊥ON，求∠COD的度数．
【思路点拨】
（1）根据题意设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则9x＝144°，求出x，进而求出∠AOC的度数，再根据角平分线求解；
（2）根据题意设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，再根据角平分线的定义以及∠MON＝90°，即可求出∠COD的度数．
【解答过程】
解：（1）设∠AOC＝2x，
则∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵∠AOB＝144°，
∴2x+3x+4x＝144°，
∴x＝16°，
∴∠AOC＝2x＝32°，∠COD＝3x＝48°，∠DOB＝4x＝64°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM∠AOC＝16°．
（2）设∠AOC＝2x，
则∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
∴6x＝90°，
∴x＝15°，
∴∠COD＝45°．