人教版数学七下重难点培优训练专题11.2 期中复习填空压轴题专题（2份，原卷版+解析版）

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【思路点拨】
由图形可知，∠EOC+∠AOC+∠BOE＝180°，若与∠COE互补的角有且只有两个，则这个角等于∠DOE＝90°+∠BOD即可．
【解题过程】
解：∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠EOC+∠DOE＝180°，
∵与∠COE互补的角有且只有两个，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOF＝∠BOE+∠BOD＝180°﹣∠EOC，
即要求∠BOD＝∠AOF＝∠DOF＝60°．
此时∠COF＝∠AOC+∠AOF＝120°．
故答案为：120°．
2．（2022春•宿豫区校级月考）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝80°，若∠BCD＝n°，则∠BED的度数为 n°+40° ．
【思路点拨】
由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED＝∠BEF+∠CEF，即可求出∠BED的度数．
【解题过程】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝n°，∠ADC＝∠BAD＝80°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝40°．
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴∠BEF＝∠ABEn°，∠DEF＝∠CDE＝40°，
∴∠BED＝∠BEF+∠CEFn°+40°．
故答案为：n°+40°．
3．（2022春•虞城县月考）如图，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，点E、F在BC上，OE平分∠BOF，且∠FOC＝∠AOC．若∠OEB＝∠OCA，则∠OCA＝ 60 °．
【思路点拨】
通过平行线的性质和判定以及角平分线的定义相关知识证明出∠BOE＝∠EOF＝∠FOC＝∠AOC，再求角即可．
【解题过程】
解：∵BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，
∴∠AOB＝180°﹣∠B＝80°，
∴∠A+∠AOB＝180°，
∴OB∥AC．
∴∠ACO＝∠BOC．
∵BC∥OA，
∴∠OEB＝∠AOE，
又∵∠OEB＝∠OCA，
∴∠OEB＝∠OCA＝∠AOE＝∠BOC，
∴∠AOE﹣∠COE＝∠BOC﹣∠COE，
∴∠BOE＝∠AOC，
∵OE平分∠BOF，且∠FOC＝∠AOC，
∴∠BOE＝∠FOE＝∠AOC＝∠FOC．
∴∠OCA＝∠BOC＝3∠BOE＝60°．
故答案为：60°．
4．（2022春•黄石月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝ 61或119 °．
【思路点拨】
分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【解题过程】
解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝58°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF∠BEF＝29°，
∴∠FGE＝29°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．
则∠PGF的度数为61°或119°．
故答案为：61或119．
5．（2021秋•常宁市期末）如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ABC，其中结论正确的有 ①②③④ （填写序号）．
【思路点拨】
根据平行线的性质和判定、垂直定义、角平分线定义、三角形的内角和定理分别对各个结论进行判断即可．
【解题过程】
解：∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，
∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，
∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，
∴∠EDB＝∠DBE，
∵BC⊥BD，
∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，
∴BC平分∠ABE，故①正确；
∵∠EBC＝∠BCA，
∴AC∥BE，故②正确；
∴∠CBE+∠EDB＝90°，故③正确；
∵∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故④正确；
故答案为：①②③④．
6．（2021秋•镇平县校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135° ．
【思路点拨】
分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解题过程】
解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°．
7．（2021春•西乡塘区校级月考）如图1，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 900° ，以此类推，如图2，∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数为 180°（n﹣1） ．
【思路点拨】
过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【解题过程】
解：如图1，
过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，
∵CD∥AB，
∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，
∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，
同理，如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），
故答案为：900°，180°（n﹣1）．
8．（2022春•靖江市校级月考）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为 100 °．
【思路点拨】
∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，∠FAE＝2β﹣2α＝80°，AD∥BC，∠D＝∠ABC，得到AB∥CD，由平行线性质和邻补角的定义即可求解．
【解题过程】
解：设∠FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠D＝∠ABC，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，180°﹣2β+2α+∠FAE＝180°，
∴∠FAE＝2β﹣2α＝2（β﹣α）＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠CEH＝∠FAE＝80°，
∴∠DEH＝180°﹣∠CEH＝100°．
故答案为：100．
9．（2020秋•高州市期末）如图，点P、Q分别在一组平行直线AB、CD上，在两直线间取一点E使得∠BPE+∠DQE＝250°，点F、G分别在∠BPE、∠CQE的角平分线上，且点F、G均在平行直线AB、CD之间，则∠PFG﹣∠FGQ＝ 35° ．
【思路点拨】
过点F作FK∥AB，过点G作GH∥CD，由角平分线的定义可得∠BPF＝∠EPF＝x，∠CQG＝∠EQG＝y，则可求得x﹣y＝35°，再由平行线的性质得AB∥FK∥GH∥CD，则有∠PFK＝∠BPF＝x，∠HGQ＝∠CQG＝y，KFG＝∠HGQ，从而可求解．
【解题过程】
解：过点F作FK∥AB，过点G作GH∥CD，如图，
∵PF平分∠BPE，QG平分∠CQE，
设∠BPF＝∠EPF＝x，∠CQG＝∠EQG＝y，
∵∠BPE+∠DQE＝250°，
∴∠BPE+∠DQE＝2x+180°﹣2y＝250°，
∴x﹣y＝35°，
∵FK∥AB，GH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥FK∥GH∥CD，
∴∠PFK＝∠BPF＝x，∠HGQ＝∠CQG＝y，KFG＝∠HGQ，
∴∠PFG﹣∠FGQ＝∠PFK+∠KFG﹣（∠HGF+∠HGQ）＝x+∠KFG﹣∠HGF﹣y＝x﹣y＝35°
故∠PFG﹣∠FGQ＝35°．
故答案为：35°．
10．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ①④⑤ ．（填序号）
【思路点拨】
根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【解题过程】
解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55°30′，∠ABC＝30°，
∴∠ABC+∠1＝55.5°＝55°30′＝∠2，
∴m∥n，故①符合题意；
∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CE∥m，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5，
∴∠1＝∠5，
∴EC∥n，
∴m∥n，故④符合题意；
∵∠ABC＝∠2﹣∠1，
∴∠2＝∠ABC+∠1，
∴m∥n，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
11．（2022春•如皋市校级月考）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若点C在移动过程中，存在某时刻使得∠ACB＝45°，∠DAC＝23°，则∠EBC的度数为 22°或68° ．
【思路点拨】
分两种情况讨论：当点C在AD、BE之间时，当点C在AD、BE外部时，分别过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠EBC的度数．
【解题过程】
解：如图所示，当点C在AD、BE之间时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC＝23°，
∴∠ACH＝23°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCH＝22°，
∴∠EBC＝22°；
如图，当点C在AD、BE外部时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC＝23°，
∴∠ACH＝23°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCH＝∠ACH+∠ACB＝68°，
∴∠EBC＝∠BCH＝68°；
故答案为：22°或68°．
12．（2022春•邗江区校级月考）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 2秒或38秒 时，CD与AB平行．
【思路点拨】
分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解题过程】
解：存在．分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此时t＞50，
∵38＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．
故答案为：2秒或38秒．
13．（2020秋•下城区期末）若|a﹣2021|2，其中a，b均为整数，则符合题意的有序数对（a，b）的组数是 5 ．
【思路点拨】
先根据绝对值和算术平方根的非负性得：|a﹣2021|≥0，0，所以分情况进行计算即可．
【解题过程】
解：∵|a﹣2021|2，其中a，b均为整数，
又∵|a﹣2021|≥0，0，
∴可分以下三种情况：
①|a﹣2021|＝0，2，
解得：a＝2021，b＝﹣2017；
②|a﹣2021|＝1，1，
解得：a＝2020或2022，b＝﹣2020；
③|a﹣2021|＝2，0，
解得：a＝2023或2019，b＝﹣2021；
∴符合题意的有序数对（a，b）的组数是5．
故答案为：5．
14．（2021•威远县一模）若|5﹣2m|5＝2m﹣（m﹣4）2，则m+2n＝ ﹣2 ．
【思路点拨】
先变形为|5﹣2m|（m﹣4）2＝2m﹣5，根据非负数的性质可得2m﹣5≥0，计算绝对值可得（m﹣4）2＝0，再根据非负数的性质得到m，n的值，再代入计算即可求解．
【解题过程】
解：|5﹣2m|5＝2m﹣（m﹣4）2，
|5﹣2m|（m﹣4）2＝2m﹣5，
则2m﹣5≥0，
|5﹣2m|5＝2m﹣（m﹣4）2，
2m﹣5（m﹣4）2＝2m﹣5，
（m﹣4）2＝0，
则m﹣4＝0，n+3＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3，
所以m+2n＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：﹣2
15．（2021秋•拱墅区期中）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2和，则M，N间的距离为 2 ，MN中点表示的数是 1 ．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c||d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 3.5或0.5 ．
【思路点拨】
（1）根据M，N间的距离为|2（）|＝2，得中点到M的距离为21，即可得出答案；
（2）先由|a﹣c|＝|b﹣c||d﹣a|＝1（a≠b），推得点C在点A和点B之间，且C与A，C与B之间的距离均为1，D与A之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知原点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解．
【解题过程】
解：（1）∵数轴上的点M，N分别对应的数为2和，
∴M，N间的距离为|2（）|＝2，
∴中点到M的距离为21，
∴MN中点表示的数为21＝1，
故答案为：2；1；
（2）∵|a﹣c|＝|b﹣c|＝1
∴点C在点A和点B之间，且AC＝BC＝1，
∵|d﹣a|＝1，
∴|d﹣a|＝1.5，
∴AD＝1.5，
不妨设点A在点B左侧，
如图（1，点D在点A的左侧时，
线段BD的长为3.5；
如图（2），点D在A的右侧时，
线段BD的长为0.5，
故答案为：3.5或0.5．
16．（2021春•江岸区期末）如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 （0，3）或（﹣4，0） ．
【思路点拨】
设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
【解题过程】
解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，
∴n﹣n+3＝3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．
故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．
17．（2021春•潢川县月考）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为P1，第2次碰到长方形的边时的点为P2，…，第n次碰到长方形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是 （8，3） ；点P2021的坐标是 （1，4） ．
【思路点拨】
根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解题过程】
解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
∴点P3的坐标是（8，3），
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2021÷6＝336…5，
当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4），
故答案为：（8，3），（1，4）．
18．（2021春•龙岩期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排行，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3），…根据这个规律探索可得，第40个点的坐标为 （1，9） ．
【思路点拨】
观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第40个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．
【解题过程】
解：（0，1），共1个，
（0，2），（1，2），共2个，
（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，
…，
依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，
1+2+3+…+n，
当n＝9时，45，
所以，第40个点的纵坐标为9，
45﹣40﹣（9﹣1）÷2＝1，
∴第40个点的坐标为（1，9）．
故答案为：（1，9）．
19．（2021春•武汉期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）…，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标是 （64，4） ．
【思路点拨】
横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数．
【解题过程】
解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为1+2+3+…+63＝2016，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第4个数．
因而第2021个点的坐标是（64，4）．
故答案为：（64，4）．
20．（2021春•崂山区期中）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2020次后，点P的坐标为 （6061，2） ．
【思路点拨】
首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【解题过程】
解：第一次P1（5，2），
第二次P2（8，1），
第三次P3（10，1），
第四次P4（13，2），
第五次P5（17，2），
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2020÷4＝505，
P2020的纵坐标与P4相同为2，横坐标为1+12×505＝6061，
∴P2020（6061，2），
故答案为（6061，2）．
21．（2021春•绥滨县期末）如图，点A1（1，1），点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到A4，…，按这个规律平移得到点A2021；则点A2021的横坐标为 22021﹣1 ．
【思路点拨】
先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
【解题过程】
解：∵点A1的横坐标为1＝21﹣1，
点A2的横坐为标3＝22﹣1，
点A3的横坐标为7＝23﹣1，
点A4的横坐标为15＝24﹣1，
…
按这个规律平移得到点An的横坐标为为2n﹣1，
∴点A2021的横坐标为22021﹣1，
故答案为：22021﹣1．
22．（2021秋•即墨区期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 （44，2） ．
【思路点拨】
找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【解题过程】
解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
（1，1）表示粒子运动了2＝1×2（分钟），将向左运动，
（2，2）表示粒子运动了6＝2×3（分钟），将向下运动，
（3，3）表示粒子运动了12＝3×4（分钟），将向左运动，
…，
于是会出现：
（44，44）点粒子运动了44×45＝1980（分钟），此时粒子将会向下运动，
∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022﹣1980＝42个单位长度，
∴粒子的位置为（44，2），
23．（2021春•虎林市期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是 （﹣1，﹣1） ．
【思路点拨】
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【解题过程】
解：长方形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为124，物体乙行的路程为128，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×28，物体乙行的路程为82×216，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×312，物体乙行的路程为12×324，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2021÷3＝673…2，
故两个物体运动后的第2021次相遇地点的是：第2次相遇地点，
即物体甲行的路程为824，物体乙行的路程为128，在DE边相遇；
此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
24．（2021秋•锡山区期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为n（n为正整数），记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．
当n＝12时，m的值为 15 ；当n＝2022时，m的值为 3031 ．
【思路点拨】
根据题意，分别找出n＝1、2、3时的整点的个数，即可发现n增加1，整点的个数增加6，然后写出横坐标为2n时的表达式，从而计算求解．
【解题过程】
解：当点B的横坐标为2n时，在4×2n的网格图内（不包括边界），一共有3（2n﹣1）个网格点，
而当n为奇数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有1个交点，
当n为偶数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有3个交点，
∴在△OAB内部（不包括边界）的网格点个数m，
当n为奇数时，m[3（2n﹣1）﹣1]，
整理，得：m＝3n﹣2，
当n为偶数时，m[3（2n﹣1）﹣3]，
整理，得：m＝3n﹣3，
∴当2n＝12，即n＝6时，
m＝3×6﹣3＝15；
当2n＝2022，即n＝1011时，
m＝3×1011﹣2＝3031，
故答案为：15；3031．