浙教版（2024）八年级下册第五章 特殊平行四边形5.2 菱形一课一练

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【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；
（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出v的值．
【思路点拨】
（1）分四种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，
∵AP∥BQ，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四 边形．
此时，t＝22﹣3t，t．
当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，
∵PD∥QC，
∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四 边形．
此时，16﹣t＝3t，t＝4，
∵线段PQ为平行四边形的一边，
故当t或4时，线段PQ为平行四边形的一边．
（2）当四边形PBQD能成为菱形时，设PA＝x，
在Rt△APB中，则有82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴PD＝16﹣6＝10．
∴BQ＝PD＝10，
∴QC＝BC﹣BQ＝22﹣10＝12，
∴v米/秒；
当四边形AQCP是菱形时，可得AP＝AQ＝CQ＝y．
在Rt△ABQ中，则有82+（22﹣y）2＝y2，
解得y，
∴AP．
∴QC＝AP，
∴v1米/秒；
综上所述，v的值为2或1时，满足条件．
1．（2021春•孝义市期中）如图，△ABC中，AC，BC＝4，AB，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（ ）
A．B．8
C．D．
2．（2021春•温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4B．3C．D．2
3．（2022春•新华区月考）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．
几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对D．甲、丙对，乙错
4．（2021秋•垦利区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OGAB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
5．（2021春•澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
6．（2022春•宜兴市校级月考）如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．
7．（2020•寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 ．
8．（2021•葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是
9．（2020春•永州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有 ．（填序号）
10．（2022•中山市一模）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
11．（2021秋•通川区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F．AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝9，∠ABC＝60°，求∠DCP的度数．
12．（2022•官渡区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．
13．（2022春•东台市月考）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DECE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
14．（2021春•白碱滩区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．
15．（2022•拱墅区模拟）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F．
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝8，△ACE的面积为64，求菱形ABCD的面积．
16．（2021春•株洲期末）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD、EF和AF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
（3）若BC＝2，求AF．
17．（2021•宽城区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接EF，若∠CEF＝30°，AE，直接写出四边形ABCD的周长．
18．（2021秋•南岗区期末）已知：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．
19．（2020秋•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
20．（2021春•昭通期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝CD＝AE＝6．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝18，F为AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，在直线AB上向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在直线CD上向左运动，设运动时间为t秒．当M，N运动时，是否存在以点M，F，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值和平行四边形的面积，若不存在，请说明理由．