中考数学二轮复习压轴题培优专练专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习压轴题培优专练专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮复习压轴题培优专练专题20分类讨论思想在压轴题中的应用原卷版doc、中考数学二轮复习压轴题培优专练专题20分类讨论思想在压轴题中的应用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况；
2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论；
3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论；
4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论；
5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位长度的速度沿线段 SKIPIF 1 < 0 向点 SKIPIF 1 < 0 运动，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位长度的速度沿线段 SKIPIF 1 < 0 向点 SKIPIF 1 < 0 运动，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时出发．设运动时间为 SKIPIF 1 < 0 秒（ SKIPIF 1 < 0 ）．当 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一点，在直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 SKIPIF 1 < 0 坐标；若不存在，请说明理由．
（1）用待定系数法可求得二次函数的表达式为；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，由二次函数性质可得当 SKIPIF 1 < 0 秒时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，求得其最大面积；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分三种情况进行讨论求解．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大面积是 SKIPIF 1 < 0
(3)存在， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解这个方程组得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 二次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图：

设 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大面积是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是对角线，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 舍去 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
（2022·湖南湘潭·统考中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图①，若抛物线图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一动点（与点 SKIPIF 1 < 0 不重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，同时与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以线段 SKIPIF 1 < 0 为边作菱形 SKIPIF 1 < 0 ，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，②存在，点P坐标为(2，-3)或（ SKIPIF 1 < 0 ，- SKIPIF 1 < 0 ），理由见解析
(2)b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）①解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：m=2或m= SKIPIF 1 < 0 或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m= SKIPIF 1 < 0
∴点P坐标为(2，-3)或（ SKIPIF 1 < 0 ，- SKIPIF 1 < 0 ）
（2）解：把点D（-3，0）代入直线 SKIPIF 1 < 0 ，解得n=4，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD= SKIPIF 1 < 0 =5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）
∵点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9<4
解得：b< SKIPIF 1 < 0
当CE在抛物线右侧时，
3b-9>4
解得：b> SKIPIF 1 < 0
综上所述，b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．
1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别落在x轴和y轴上，将 SKIPIF 1 < 0 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点F，交 SKIPIF 1 < 0 于点G．
(1)求k的值．
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，则图中是否存在与 SKIPIF 1 < 0 相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．
(3)点M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，N是平面内一点，当四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形时，请直接写出点N的坐标．
2．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，连 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 ，并且使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 = ______ ．
3．（2022·吉林长春·模拟）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点P从点B出发，沿 SKIPIF 1 < 0 以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线 SKIPIF 1 < 0 以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．设点P的运动时间为t秒．
(1)求点A与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求t的值；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形时，求t的取值范围；
(4)点P关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点是点D，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的某条边平行时，直接写出t的值．
4．（2022·浙江金华·一模）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点D从原点O出发沿 SKIPIF 1 < 0 匀速运动，到达点B时停止，点E从点A出发沿 SKIPIF 1 < 0 随D运动，且始终保持 SKIPIF 1 < 0 ．设运动时间为t．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若点E在BC边上，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，求BE的长．
(3)若点D的运动速度为每秒1个单位，是否存在这样的t，使得以点C，D，E为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似?若存在，直接写出所有符合条件的t；若不存在，请说明理由．
5．（2022·重庆·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点A， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左侧），交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点A的坐标；
(2)若经过点A的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
②当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 为抛物线对称轴上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上的动点，那么以A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不能，请说明理由．
7．（2022·广东江门·校考一模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 有唯一交点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若点拋物线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的对称轴上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
(3)直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上一动点，请你写出使 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形的所有点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标．
8．（2022·广东佛山·校考三模）如图1， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的平分线，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，如果 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如果 SKIPIF 1 < 0 是锐角，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似，求 SKIPIF 1 < 0 的度数，并直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．