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最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题06 填空题中之分类讨论思想（重点突围）
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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题06 填空题中之分类讨论思想
【中考考向导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30989" 【直击中考】 PAGEREF _Tc30989 \h 1
\l "_Tc28203" 【考向一 与等腰三角形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc28203 \h 1
\l "_Tc24207" 【考向二 与直角三角形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc24207 \h 7
\l "_Tc12376" 【考向三 与矩形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc12376 \h 10
\l "_Tc23442" 【考向四 与菱形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc23442 \h 18
\l "_Tc7123" 【考向五 与正方形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc7123 \h 23
\l "_Tc27182" 【考向六 与圆的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc27182 \h 28
\l "_Tc4850" 【考向七 与相似有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc4850 \h 33
【直击中考】
【考向一 与等腰三角形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·四川广安·统考中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【变式训练】
1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为_____．
2．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
4．（2022·青海西宁·统考中考真题）矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________．
5．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．
【考向二 与直角三角形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在中，为边上的高，，，则是___________度．
【变式训练】
1．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是_____________
2．（2022·河南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【考向三 与矩形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折痕EF的长是 _____．
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
3．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．
4．（2022·黑龙江·统考中考真题）在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为________．
【考向四 与菱形有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，已知在菱形中，，，点是上的一个动点，过点作交于点，交于点，将沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为____．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知，抛物线上有两点，，将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为，点B的对应点为，且四边形刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 _____．
2．（2022·河南信阳·校考一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在矩形 中，，，点 ， 在直线 上，且四边形 为菱形，若线段 的中点为点 ，则线段 的长为____．
【考向五 与正方形有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）正方形中，E，F分别是，上的点，连结交对角线于点G，若恰好平分，，则的值为______．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·九年级校考期末）等腰，，，正方形的两个顶点在的一边上，另两个顶点在的另两边上，则正方形的边长为____________．
2．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，正方形的在轴正半轴上，边在第一象限，且，．将正方形绕点顺时针旋转，若点对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为___________．
3．（2021秋·北京东城·九年级校考期末）如图，正方形的面积为3，点是边上一点，，将线段绕点旋转，使点落在直线上，落点记为，则的长为______．
【考向六 与圆的分类讨论问题】
例题：（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，将一块三角板放置在中，点A、B在圆上，为直角，，点为上一点，则的度数是 _____．
【变式训练】
1．（2021秋·浙江湖州·九年级统考期末）在中，弦和弦（，都不是直径）构成的，M，N分别是和的中点，则的度数为_______．
2．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）已知 是的两条平行弦，，的半径为13，则弦与的距离为 _____．
3．（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期末）已知半径为1，是的一条弦，且，则弦所对的圆周角度数是______．
4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为___________．
【考向七 与相似有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当______时，与相似.
【变式训练】
1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知点P是直线上一点，且，若线段的长为2，则线段的长为______．
2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，与位似，位似中心是原点，且的面积等于面积的，则点对应点的坐标为______．
3．（2023秋·上海·九年级校考期末）在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，当平行的直角边时，的长为______．
4．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，中，，，点为中点．点在右侧，，且，射线交于点，若为等腰三角形，则线段的长为______．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题06 填空题中之分类讨论思想
【中考考向导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30989" 【直击中考】 PAGEREF _Tc30989 \h 1
\l "_Tc28203" 【考向一 与等腰三角形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc28203 \h 1
\l "_Tc24207" 【考向二 与直角三角形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc24207 \h 7
\l "_Tc12376" 【考向三 与矩形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc12376 \h 10
\l "_Tc23442" 【考向四 与菱形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc23442 \h 18
\l "_Tc7123" 【考向五 与正方形有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc7123 \h 23
\l "_Tc27182" 【考向六 与圆的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc27182 \h 28
\l "_Tc4850" 【考向七 与相似有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc4850 \h 33
【直击中考】
【考向一 与等腰三角形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·四川广安·统考中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【变式训练】
1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为_____．
2．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
4．（2022·青海西宁·统考中考真题）矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________．
5．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．
【考向二 与直角三角形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在中，为边上的高，，，则是___________度．
【变式训练】
1．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是_____________
2．（2022·河南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【考向三 与矩形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折痕EF的长是 _____．
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
3．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．
4．（2022·黑龙江·统考中考真题）在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为________．
【考向四 与菱形有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，已知在菱形中，，，点是上的一个动点，过点作交于点，交于点，将沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为____．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知，抛物线上有两点，，将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为，点B的对应点为，且四边形刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 _____．
2．（2022·河南信阳·校考一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在矩形 中，，，点 ， 在直线 上，且四边形 为菱形，若线段 的中点为点 ，则线段 的长为____．
【考向五 与正方形有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）正方形中，E，F分别是，上的点，连结交对角线于点G，若恰好平分，，则的值为______．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·九年级校考期末）等腰，，，正方形的两个顶点在的一边上，另两个顶点在的另两边上，则正方形的边长为____________．
2．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，正方形的在轴正半轴上，边在第一象限，且，．将正方形绕点顺时针旋转，若点对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为___________．
3．（2021秋·北京东城·九年级校考期末）如图，正方形的面积为3，点是边上一点，，将线段绕点旋转，使点落在直线上，落点记为，则的长为______．
【考向六 与圆的分类讨论问题】
例题：（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，将一块三角板放置在中，点A、B在圆上，为直角，，点为上一点，则的度数是 _____．
【变式训练】
1．（2021秋·浙江湖州·九年级统考期末）在中，弦和弦（，都不是直径）构成的，M，N分别是和的中点，则的度数为_______．
2．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）已知 是的两条平行弦，，的半径为13，则弦与的距离为 _____．
3．（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期末）已知半径为1，是的一条弦，且，则弦所对的圆周角度数是______．
4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为___________．
【考向七 与相似有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当______时，与相似.
【变式训练】
1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知点P是直线上一点，且，若线段的长为2，则线段的长为______．
2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，与位似，位似中心是原点，且的面积等于面积的，则点对应点的坐标为______．
3．（2023秋·上海·九年级校考期末）在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，当平行的直角边时，的长为______．
4．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，中，，，点为中点．点在右侧，，且，射线交于点，若为等腰三角形，则线段的长为______．
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