高中数学人教A版选修第二册《4.2.2 等差数列的前n项和第1课时》教案

第四章 数列4.2.2 等差数列的前n项和第1课时 一、教学目标1.掌握等差数列前n项和公式及其推导过程.2.能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法. 二、教学重难点重点：掌握等差数列前n项和公式及其推导过程难点：能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 三、教学过程（一）创设情境前面的学习，我们了解了等差数列的概念，以及等差数列的通项公式.找两位同学说说看.答：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母?表示.答：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d在掌握了等差数列的概念及通项公式后，我们来看这样一个问题：思考：如何求1+2+3+…+100=?学生讨论、思考.答：高斯的计算方法是用1+100=101，2+ 99=101，3+ 98=101，···，50+ 51=101，这样(100+1) × 1002=5050计算出来.思考：为什么1+100=2+99=…=50+51呢？尝试从数列的角度给出解释.师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.设计意图：教师以回顾旧知，帮助学生建立与新知的联系，通过高斯问题引发学生思考，高斯的算法的核心，设疑激发学生主动学习，以此顺利揭示本节课题.（二）探究新知任务1：探究高斯算法中蕴含的数学思想.思考：说说高斯在求和的过程中采用了什么方法？利用了数列的什么性质呢？师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.分析：采用了首尾配对相加的方法.高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，⋯前100项的和的问题.答：设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为a1+a100+a2+a99+⋯+a50+a51=101×50=5050可以发现，高斯在计算中利用了a1+a100=a2+a99=⋯=a50+a51在等差数列{an}中，若p+q=s+t (p，q，s，t∈N∗)，则ap+aq=as+at.思考：说说高斯求和过程的本质.总结：高斯算法的本质:通过配对凑成相同的数（即101），变“多步求和”为“一步相乘”.思考：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？师生活动:1.先独立思考计算; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.分析：可以采用不同的方法进行配对.答：方法1：先取出中间项，再首、尾项;次首、尾项依次相加.原式=1+101+2+100+⋯+50+52+51方法2：先取出未项，再首、尾项;次首、尾项依次相加.原式=(1+2+3+⋯100)+101方法3：先凑成偶数项，再进行首、尾项相加.原式=1+2+3+⋯101+102−102方法4：先凑成偶数项，再进行进行首、尾项相加.原式=0+1+2+…+100+101任务2：探究高斯算法思想的进一步推广.思考：尝试计算1+2+…+n.师生活动：1.先独立思考计算; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.分析：可以对项数n的奇偶性进行讨论.答：当?是偶数时，有a1+an=a2+an−1=⋯=an2+an2+1所以 Sn=1+2+3+…+n=1+n+2+n−1+⋯+[n2+(n2+1)]=1+n+1+n+⋯1+n=n(1+n)2 当?是奇数时，有所以 Sn=1+2+3+…+n=1+n+2+n−1+⋯+n+12−1+n+12+1+n+12 =1+n+1+n+⋯1+n+n+12=n−12⋅1+n+n+12 =n(1+n)2 综上，对任意正整数n，都有 Sn=1+2+3+…+n=n(1+n)2.思考：如果不对项数n的奇偶性进行讨论，能否计算得出自然数列的前n项和呢？答：采用倒序相加法，Sn=1+2+ 3+…+n，Sn=n+n−1+n−2+…+1，将上述两式相加，可得2Sn=n+1+n−1+2+[n−2+3]+…+(1+n=1+n+1+n+⋯1+n =n(n+1)所以 Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2思考：如何理解倒序相加法呢，它的妙处在哪里呢？分析：在一堆木棒中，第一层有1根木棒，下面的每一层都比上一层多一根，第n层有n根，如何快速求出这堆木棒有多少根？Sn=1+2+…+n，∵ 2Sn=n(n+1)，∴ Sn=nn+12.任务3：探究用倒序相加法推导等差数列{an}的前?项和.思考：能够利用倒序相加法求等差数列{an}的前n项和吗？分析：由Sn=1+2+⋅⋅⋅+n−1+n Sn=n+(n−1)+⋅⋅⋅+2+1，两式相加得,2Sn=(1+n)⋅n，∴Sn=(1+n)⋅n2.推导出：Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an−1+an，Sn=an+an−1+⋅⋅⋅+a2+a1两式相加得,2Sn=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)2思考：如果将Sn=n(a1+an)2稍作变形，你能发现等差数列的什么特性呢？分析：Sn=na1+an2，变形为Snn=a1+an2=a1+  a2  +…+ann，等差数列前n项的平均数等于 a1+an2.总结：等差数列{an}首项为a1，第n项为an,等差数列前n项和公式: Sn=na1+an2 ①因为an=a1 +(n−1) d，代入①得: Sn =na1+nn−12d ②思考：如果不从公式①变形推导，能得到公式②吗？分析：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+d+⋯+[a1+n−1d]=na1+[1+2+3+⋯+(n−1]d=na1+(n−1)(n−1+1)2d=na1+n(n−1)2d总结：等差数列前n项和公式.已知首项a1、末项an与项数n，求出Sn=na1+an2 ①已知首项a1、公差d与项数n，求出Sn =na1+nn−12d ②注意： ① ②运用方程思想在a1，n，d，an，Sn  五个量中知三求二.思考：类比推导，说说等差数列{an}的前n项和公式与梯形的面积公式间的联系.如图，上底为a1，下底为an，高为n，梯形的面积即为数列之和， Sn=na1+an2.如图，梯形由一个三角形和一个平行四边形组成，Sn=na1+nn−12d.设计意图：通过情境中高斯算法继续深入，探究高斯算法蕴含的数学思想、探究高斯算法进一步推广、进而探究等差数列{an}的前n项和公式，层层递进、由浅入深，加深对等差数列{an}的前n项和公式推导的理解与应用，在思考和启发中渗透新知的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工，以此突破本节课的重难点.（三）应用举例例1 已知数列{an}是等差数列.（1）若a1=7，a50=101，求S50；（2）若a1=2，a2=52，求S10；（3）若a1=12，d=−16，Sn=−5，求n.分析：（1）已知首项a1、末项an与项数n，可以直接利用公式Sn=na1+an2求和.（2）可以先利用a1和a2的值求出d ，再利用公式Sn=na1+nn−12d求和.（3）已知公式Sn=na1+nn−12d中的a1、d和Sn，解方程即可求得n.解：（1）因为a1=7，a50=101，根据公式 Sn=na1+an2，可得S50=50×7+1012=2700 （2）因为a1=2，a2=52，所以d=12. 根据公式Sn=na1+nn−12d，得S10=10×2+10×10−12×12=852（3）把a1=12，d=−16，Sn=−5代入Sn=na1+nn−12d，得−5=12n+nn−12×(−16)整理，得 n2−7n−60=0解得， n=12，或n=−5（舍去）.所以， n=12.例2 若等差数列{an}的前10项和为310,前20项和为1220,求该数列的前n项和Sn.分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式Sn=na1+nn−12d后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解方程即可求得a1与d.解：方法一 S10=10a1+10×92d=10a1+45d=310S20=20a1+20×192d=20a1+190d=1220联立①②解得a1=4,d=6.∴前n项和Sn=4n+n(n−1)⋅62=3n2+n方法二 :S10=(a1+a10)×102=310 ∴a1+a10=62①S20=(a1+a20)×202=1220 ∴a1+a20=122 ②由②-①解得a20−a10=10d=60∴d=6.∴a1+a10=2a1+9d=2a1+54=62,∴a1=4.∴前n项和Sn=4n+n(n−1)2×6=3n2+n例3 我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时,张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题.今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末日织一尺，共织三十日，问共织几何？答：由题意得：在等差数列中a1=5，an=1,n=30则S30=n×(a1+an) 2 =30×(1+5) 2=9设计意图：通过例题讲解，引导学生思考能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题，更好的理解等差数列前n项和公式及其推导过程.（四）课堂练习1.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织(     )尺布．A. 12 B. 815 C. 1629 D. 1631解：设此等差数列{an}的公差为d，则30×5+30×292d=390，解得d=1629，故选C．2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=12，则S12=(    )A. 18 B. 36 C. 54 D. 60解：设数列的公差为d，则由题意，得a1+a2+a3=3a2=6，a2=2，a4+a5+a6=3a5=12，a5=4，则d=a5−a23=23，a1=a2−d=43，所以S12=12×43+12×112×23=60．故选D．3.已知等差数列an的前n项和为Sn，且点a2000,a20在直线x+y−2=0上，则S2019=(    )A. 2019 B. 2020 C. 4038 D. 4040解：因为点 a2000,a20 在直线 x+y−2=0 上，所以 a2000+a20=2，因为等差数列 an 满足 a2000+a20=a1+a2019 ，所以 S2019=a1+a20192×2019=2019 ．故选：A．4.公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11>0，S12