北师大版（2024）1 菱形的性质与判定达标测试

这是一份北师大版（2024）1 菱形的性质与判定达标测试，共54页。试卷主要包含了单选题，折叠中的菱形问题，菱形的最值问题，菱形的旋转问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、平面直角坐标系中的菱形问题
1．如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（2，4）C．（2，6）D．（6，2）
2．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是点运动时，的面积随时间变化的函数关系图象，则菱形的周长为 （ ）
A．5B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，，以OB为边作菱形，使顶点在OC的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，按照此规律继续下去，则的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
类型二、折叠中的菱形问题
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
6．图，在中，，，，点是斜边上一动点，连结，将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，连结，则在点从点出发向点运动的整个过程中，线段长度的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
7．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，点E在边BC（包括点B、C）上，将△BDE沿着直线DE翻折得到△B′DE，设∠BDE为α，当α为（ ）度时，以点A、C、B′、D为顶点的四边形为菱形．
A．60°B．30°C．30°或120°D．45°或60°
8．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
类型三、菱形的最值问题
9．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP＋BP的最小值为（ ）
A．4B．C． D．8
10．如图，在平行四边形中，对角线平分，，，在对角线上有一动点P，边上有一动点Q，使的值最小，则这个最小值为（ ）
A．4B．C．D．8
11．如图，AC是菱形ABCD的对角线，．点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
12．如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．5B．10C．6D．8
类型四、菱形的旋转问题
13．如图，在中，，点、分别是边、的中点，将绕点旋转得，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．梯形
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
15．如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（ ）
A．∠α＝2∠βB．2∠α＝3∠β
C．4∠α＋∠β＝180°D．3∠α＋2∠β＝180°
16．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是( )
A．B．C．D．
二、填空题
类型一、坐标系下的菱形问题
17．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴上，则点是______．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点O、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转135°时，菱形的对角线交点D的坐标为_______．
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为________．
20．已知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点．四边形ABCD为菱形，连接AC，点P为△ACD内一点，且∠APB＝60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF＝AE，连接AF，EF，若∠AFE＝30°，则AF2+EF2的值为___．
类型二、折叠中的菱形问题
21．如图，AD是△ABC的高，在AB上取一点E，在AC上取一点F，将△ABC沿过E、F的直线折叠，使点A与点D重合，给出以下判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若AB=AC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的是_________．
22．如图，在菱形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，，则的长为______．
23．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．
（1）∠DEF＝________；
（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．
24．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为______．
类型三、菱形的最值问题
25．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．
26．如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________．
27．如在菱形中，，，E为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为__________．
28．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF﹣PE的最大值为 ___．
类型四、菱形的旋转问题
29．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，将菱形ABCD绕点A旋转45°，得到菱形，其中B、C、D的对应点分别是，那么点的距离为_____________．
30．如图，菱形ABCD，∠BAC=α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD上，若要使得PQ=QD，则α的范围为_______．
31．如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得到，，分别为线段和线段上的动点，且，有以下结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④．其中正确结论有__________．（填序号）
32．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．
三、解答题
33．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为，它与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线y=-x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，运动时间为t秒．
(1)求△AOC的面积；
(2)设△PAO的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线OC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
34．矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；
（2）当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（3）观察图3和图4，①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形；
②设BA′=x，当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形．
35．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G．
(1)若∠ACE＝α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；
(2)证明AE+AF＝CG；
(3)若AB＝4，点M为菱形ABCD对角线AC（不含A点）上的任意一点，则BM+AM的最小值为______．
36．综合与探究
问题情境：
数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形，把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点重合，且，连接，．
(1)操作发现：
如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系：
(2)探究发现：
如图2，将菱形绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)探究拓广：
如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系．
参考答案
1．D
【分析】
过点E作EF⊥ x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可．
解：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，
∴∠AOE=∠AOC=30°，OB⊥AC，∠FAE=60°，
∴∠AEF=30°
∵A(8,0)，
∴AO=8，
∴AE=AO=×8=4，
∴AF=AE=2，，
∴OF=AO−AF=8−2=6，
∴．
故选：D
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
2．B
【分析】
作CD⊥x轴，根据菱形的性质得到OC=OA= 2 ，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．
解：作轴于点D，
则，
∵四边形OABC是菱形，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OCD中，，，
∴，
∴，
∴，
则点C的坐标为，
故选：B．
【点拨】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出 OC=OD=是解决问题的关键．
3．D
【分析】
由图1可知点P在AD上运动时，的底和高不变，面积不变；在DB上运动时，面积在减小；故结合图2可知菱形的边长为a，高为3，BD=5，进而构建直角三角形，由勾股定理可得到答案．
解：由图可知菱形的边长为a，BD=5，菱形BC边上的高是3，如图
则有
∴
∴
∴由 有
解得
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质，解直角三角形；懂得从图中数据提炼图形的边长并构建直角三角形是解题的关键．
4．A
【分析】
连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB的长，进一步在菱形OBB1C1计算出OB1，过点B1作B1M⊥x轴于M，利用勾股定理计算出B1M，OM，从而得B1的坐标，同理可得B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11，B12，根据循环规律可得B2021的坐标．
解：如图所示，连接AC， 分别交OB，与D、，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴OC=OA=1，OB=2OD，∠COD=30°，∠CDO=90°，
∴，
∴，
∴，
∵∠AOC=60°，
∴∠B1OC1=90°-60°=30°，
∵四边形OBB1C1是菱形，
，
在Rt△OC1D1中，
∴，
∴OB1=2OD1=3，
过点B1作B1M⊥x轴于点M，
在Rt△OMB1中，
∴
∴，
同理可得，
，
，
，
由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的倍即，
∵2021÷12=168……5，
∴B2021的纵坐标符号与B5的相同，则B2021在y轴的负半轴上，
又
∴B2021的坐标为，
故选A
【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．
5．C
【分析】
连接BD，求证四边形BEDF是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可．
解：如图，连接BD，
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴BC=AB=1，∠ABC=90°-∠A=60°，
∵点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC =30°，
∵将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，
∴BE=DE，BF=DF，
∴∠EDB=∠CBD=30°，∠FDB=∠ABD=30°，
∴∠EBD=∠FDB=30°，∠EDB=∠FBD=30°，
∴BE∥DF，BF∥DE，四边形BEDF是平行四边形，∠ADF=∠C=90°，
又∵BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BE=BF=DF=DE，
在Rt△ADF中，
∵∠A=30°，
∵AF=2DF=2BF，
∴AB=AF+BF=2BF+BF=3BF，
∴BF=AB=，
又∵
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF=，
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点．
6．D
【分析】
由题意可知点在AC上时，线段长度最短，故可求解．
解：∵将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，AC、B′C长度不变，故当A、、C在三点共线时，符合题意，
即点在AC上时，线段长度最短，即=AC-，
∵在中，，，，
∴AB=2BC=2，
∴AC=,
∴线段长度最短为AC-=，
故选D．
【点拨】此题主要考查三角形的长度求解，解题的关键是熟知轴对称变换的特点及含30°的直角三角形的性质．
7．C
【分析】
分为菱形点对角线，菱形的边长两种情况讨论即可
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，
∴，
是等边三角形
折叠
①如图，当为菱形的边长时，
，则
②当为菱形的对角线时，此时与重合，如图
同理可得，则
故选C
【点拨】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，确定是等边三角形是解题的关键．
8．D
【分析】
由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB==5
∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点拨】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
9．C
【分析】
连接DE交AC于点P，连结BP，根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可．
解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，
∵AB＝4，
∴，
连接DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴BE=2
∴，
∴
∴DM＝BD-BM＝BO＝3，
∴DE＝，
故选C．
【点拨】此题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等等，关键是根据题意确定P点位置从而确定PE+PB的最小值的情形．
10．B
【分析】
根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，得到平行四边形ABCD是菱形，推出点A，C关于BD对称，过A作AQ⊥BC于Q交BD于P，则PQ＋PC最小值＝AQ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴点A，C关于BD对称，
过A作AQ⊥BC于Q交BD于P，
则PQ＋PC最小值＝AQ，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝8，
∴AQ＝AB＝，
∴这个最小值为，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，准确的找到P与Q的位置是解题的关键．
11．D
【分析】
如图，作出辅助线，当点G，F，B共线时，有最小值，利用题目中的条件，在中，求出，的长度，即可求出的长度，即为的最小值．
解：如图，过点，过点F作，DG与FG交于点G，
则四边形DEFG是平行四边形，
∴，，
当点G，F，B共线时，有最小值．
连接BD，由菱形的性质可知，
，
∴，，，，，
又∵，
∴．
当G，F，B共线时，，
故的最小值为，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点几何问题中的最短线段问题，正确作出辅助线，得到点G，F，B共线时，有最小值，并利用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键．
12．A
【分析】
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴PQ∥AD，
而点Q是AB的中点，
故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，
同理可得，PM是△ABC的中位线，
故点P是AC的中点，
即点P是菱形ABCD对角线的交点，
∵四边形ABCD是菱形，
则△BPC为直角三角形，
,
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
13．A
【分析】
根据旋转的性质确定，，进而确定四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质确定，进而确定四边形是矩形．
解：∵绕点旋转得，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，点是边的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
故选：A．
【点拨】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题关键．
14．D
【分析】
根据60°的菱形的性质得到OB长，再根据旋转的性质和解直角三角形得到OP，P，OP长，结合图形从而得到点的坐标；
解：如图1，连接OA，∵，点O为菱形ABCD中BC边的中点，∴，，∴，∴，由旋转的性质可知，，在中，，，∴，∴点的坐标为，故选D．
【点拨】本题考查了菱形的性质，坐标由图形的性质，旋转的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键
15．C
【分析】
根据AC平分∠B′AC′，得到∠B'AC＝∠C'AC，根据旋转角为∠α，得到∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，根据AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，推出∠BAB'＝∠DAC'，推出∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，根据AD∥BC，得到∠B+∠BAD＝180°，推出4∠α+∠β＝180°．
解：∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴4∠α+∠β＝180°．
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形性质，旋转性质和角平分线，熟练掌握菱形的边、角、对角线性质，旋转图形全等性质，角平分线定义，是解决本题的关键．
16．A
【分析】
连接BD交AC于O，根据四边形ABCD是菱形，得到AD=CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=，∠ACD=∠BAC=∠BAD=，OA=OC，AC⊥BD，求出AC=2，由旋转得AE=AB=2，∠EAG=∠BAC=，求出CE=AC-AE=2-2，再证得∠CPE=，求出PC=PE=3-，根据DP=CD-PC求出数值即可．
解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=，∠ACD=∠BAC=∠BAD=，OA=OC，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴OB=AB=1，
∴OA=，
∴AC=2，
由旋转得AE=AB=2，∠EAG=∠BAC=，
∴CE=AC-AE=2-2，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP=∠EAG=
∵∠CEP+∠ACD=，
∴∠CPE=，
∴PE=CE=-1，PC=PE=3-，
∴DP=CD-PC=2-(3-)=-1，
故选：A．
．
【点拨】此题考查旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记菱形的性质是解题的关键．
17．10
【分析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而三角形的面积．
解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，AB∥CD，AD=CD=AB=5，
即CD∥x轴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：OD=
∴S=
故答案：10．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据勾股定理求出DO的长是解题的关键．
18．
【分析】
根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．
解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得D点坐标为（1，1）．
∴，OB与y轴的正半轴的夹角为45°，
而y轴的正半轴与x轴的负半轴夹角为90°，
∴菱形绕点O逆时针旋转135°时，即线段OD绕点O逆时针旋转135°时，此时OD在x 轴的负半轴上，
∴菱形的对角线交点D的坐标为（-，0），
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．
19．
【分析】
连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，则当点Q在线段CD上时CQ+CP最短，从而周长最小，则易得PA⊥OA，从而可求得点P的坐标．
解：连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，如图
∴四边形ADQP是平行四边形
∴DQ=AP，AD=PQ=2
由菱形的对称性知：AP=CP
∴DQ=CP
当点Q在线段CD上时，CQ+DQ= CQ+CP最短，从而周长=CQ+CP+2最小
∵四边形OABC是菱形
∴OC=OA=，CE=AE，AC⊥BD
∵∠AOC=60°
∴△OAC是等边三角形
∴
∵AD∥PQ
∴AC⊥AD
由勾股定理得
∴∠ACD=30°
∵AP∥CD
∴∠PAC=∠ACD=30°
∴∠PAO=∠CAO+∠PAC=90°
即PA⊥OA
∵∠AOE=30°
∴OP=2AP
在Rt△PAO中，由勾股定理得：
解得：AP=2
则点P的坐标为
故答案为：
【点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，解题的关键是掌握过A点作AD∥PQ，且AD=PQ．
20．25
【分析】
连接CE、CF．证明△CEF是等边三角形以及AF⊥CF，然后利用勾股定理得出答案．
解：如图，连接、．
，
，，，
，，
在中，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
．
故答案为：25．
【点拨】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
21．①②③
【分析】
由折叠的性质及垂直的条件可得点E、F分别是AB、AC的中点，从而可判定①正确； 由中位线定理即可判定②正确；由AB=AC及E、F分别为中点可得AE=AF，由折叠的性质即可判定③正确；当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定④错误．
解：由折叠性质得：AE=DE，AF=DF，且EF⊥AD
∴∠EAD=∠EDA
∵AD⊥BC
∴∠EDA+∠EDB=90゜，∠EAD+∠B=90゜
∴∠EDB=∠B
∴DE=BE
∴DE=AE
即点E是AB的中点
同理：点F是AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
故①正确
∵EF是△ABC的中位线
∴
∵，
∴△AEF的周长为
而△ABC的周长为AB+BC+AC
∴△AEF的周长等于△ABC周长的一半
故②正确v
∵AB=AC，E、F分别是AB、AC的中点
∴AE=AF
∵AE=DE，AF=DF
∴AE=DE=DF=AF
即四边形AEDF是菱形
故③正确
当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形
故④错误
故答案为：①②③
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到E、F分别是中点是解题的关键．
22．
【分析】
根据折叠的性质得CF=EF，DF⊥BC，代入相关数据可得CF=5，BC=7，由菱形的性质得DC=7，最后根据勾股定理可得DF的长．
解：由折叠得，CF=EF，DF⊥BC，
∵BE=3，BF=2
∴EF=BE+BF=3+2=5
∴CF=5
∴BC=BF+FC=2+5=7
∵四边形ABCD是菱形
∴DC=BC=7
在Rt△DFC中，
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，根据折叠的性质得到CF=EF，DF⊥BC是解答本题的关键．
23． 90° 2.8
【分析】
（1）由折叠得∠，再根据平角的定义可得结论；
（2）首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．
解：解由折叠得，∠
∴∠
∵∠
∴∠
即∠
故答案为：90°；
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，DCAB，
∴
∵∠A=120°
∴
∵点E为AB的中点，且AB=2
∴
∵点A与点G重合，
∴
∵点B与点H重合
∴
又
∴
∴点G与点H重合
∵∠
∴三点在同一条直线上
过点D作，交BC的延长线于点O，如图，
∵DCAB
∴∠
∴∠
∴
在中，
由折叠得，，
设，则
∴，
在中，
∴
解得，
∴
故答案为2.8
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
24．##
【分析】
根据菱形性质和，可得，，，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解决问题．
解：在菱形中，，，，
，
如图，过点作于点，于点，过点于点，
得矩形，如图所示：
，，
，，
，，
由翻折可知：，，
，
，
，
，
解得，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
解得，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
25．##
【分析】
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．因为EF+DE=EF′+DE，推出当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小．
解：∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，
∴AO=OC=2，BO=OD=1，
∴AD=AB=，
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．
∵S△ABD=•AO•BD=•AB•DH，
∴DH=，
∵EF+DE=EF′+DE，
∴当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的是菱形的性质，轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称解决最短问题．
26．
【分析】
连接BD交AC于点O，根据菱形的性质和勾股定理可得DO=3，当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，再证明得DN=BM，由勾股定理求出DN的长即可．
解：连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8
∴
又
在Rt△AOB中，
∴
∴DO=5
当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，
∵MN=1
∴
在Rt△DON中，
∴
在Rt△DON和Rt△BOM中，

∴
∴DN=BM
∴
∴的最小值为
故答案为
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用菱形的性质和勾股定理求出BN=是解答本题的关键．
27．
【分析】
连接AC，CE，则CE的长即为AP+PE的最小值，再根据菱形ABCD中，得出∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等边三角形，故△BCE是直角三角形，根据勾股定理即可得出CE的长．
解：连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴CE的长即为AP+PE的最小值，
∵，
∴，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．
28．1
【分析】
取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．
解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．
则PE＝PE'，
∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，
当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，
PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴AB＝BD＝AD＝4．
∴OD＝OB＝2．
∵点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，
∴BFAB＝1，
∵∠ABD＝60°，
∴△BE'F为等边三角形，
∴E'F＝FB＝1．
故PF﹣PE的最大值为1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．
29．
【分析】
首先由菱形的性质可知，由旋转的性质可知：，从而可证明为直角三角形，然后由勾股定理即可求得的长度．
解：如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，，
∴．
由旋转的性质可知：，，
∴．
在中，
故答案为：
【点拨】本题主要考查的是旋转的性质和菱形的性质以及勾股定理的应用，证得为直角三角形是解题的关键．
30．45°90°-α，α>45°，根据∠APM