初中数学北师大版（2024）九年级上册1 菱形的性质与判定课后复习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 菱形的性质与判定课后复习题，共58页。试卷主要包含了单选题，利用菱形的性质求线段，利用菱形的性质求面积，利用菱形的性质证明，添加一个条件证明四边形是菱形，证明已知四边形是菱形，用菱形的性质与判定求角度，用菱形的性质与判定求面积等内容，欢迎下载使用。
类型一、利用菱形的性质求角
1．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为．连接，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（ ）
A．60B．70C．75D．80
类型二、利用菱形的性质求线段
3．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( )
A．4B．C．6D．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是（ ）
A．（6，8）B．（10，8）C．（8，6）D．（8，10）
类型三、利用菱形的性质求面积
5．图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（ ）
A．4B．4C．4D．4
6．如图，菱形 ABCD 中， 对角线 AC = 6，BD = 8，AE ⊥ BC 于点 E ，则 AE 的值为（ ）
A．4.8B．9.6C．19.2D．10
类型四、利用菱形的性质证明
7．如图，在菱形ABCD中，，E为AB中点，过点E作EF垂直于AB交AC于点F，连接DF，则等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
8．已知：如图1，四边形ABCD是菱形，在直线AC上找两点E、F，使四边形FBED是菱形，则甲乙两个方案（ ）
A．甲对，乙错B．乙对，甲错C．甲乙都对D．甲乙都错
类型五、添加一个条件证明四边形是菱形
9．如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（ ）
A．B．
C．D．AE是△ABC的角平分线
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝CDB．BA⊥BDC．AC⊥BDD．AC＝BD
类型六、证明已知四边形是菱形
11．如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①错误，②正确C．①②都错误D．①正确，②错误
12．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①；②：③；④当时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
类型七、用菱形的性质与判定求角度
13．如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（ ）
A．∠α＝2∠βB．2∠α＝3∠β
C．4∠α＋∠β＝180°D．3∠α＋2∠β＝180°
14．如图在平行四边形中，，于点，为中点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①②③④D．①②④
类型八 用菱形的性质与判定求线段
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，DE与AC交于点G、以DE为边作等边三角形DEF，连接AF交DE于点N，交DC于点M．下列结论：①；②∠EAN＝45°；③；④点M为AF的中点．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
16．如图，在□ABCD中，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，连接并延长交于点．若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
类型九、用菱形的性质与判定求面积
17．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（ ）
A．16B．16C．32D．32
18．如图，是菱形的对角线，的交点，，分别是，的中点．下列结论中正确是（ ）
①；②四边形是菱形；③四边形的面积为，④．
A．①②B．②④C．②③D．③④
二、填空题
类型一、利用菱形的性质求角
19．如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA的大小为_________．
20．如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为__________．
类型二、利用菱形的性质求线段
21．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PD的长是______．
22．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴上，则点是______．
类型三、利用菱形的性质求面积
23．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝5，则菱形的面积等于______．
24．如图四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，若∠A=120°，AB=a（），AB︰MB=3︰1，则四边形CFEG的面积是______________．（用含a的式子表示）
类型四、利用菱形的性质证明
25．如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足_______时（填写一个条件），PQ⊥MN．
26．如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______．
类型五、添加一个条件证明四边形是菱形
27．如图，在四边形ABCD中，，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是_________．
28．如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_____．（只填写序号）
类型六、证明已知四边形是菱形
29．如图，AD是△ABC的高，在AB上取一点E，在AC上取一点F，将△ABC沿过E、F的直线折叠，使点A与点D重合，给出以下判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若AB=AC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的是_________．
30．将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2．解决下列问题：（1）四边形AEDF的形状是______；（2）当∠BAC=60°时，______．
类型七、用菱形的性质与判定求角度
31．如图所示，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，∠ABC=_____．
32．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，AE∥BC，CE∥AD，EC的垂直平分线FG交AC点G，连接DG，若∠ADG＝24°，则∠B的度数为_____度．
类型八 用菱形的性质与判定求线段
33．如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得到，，分别为线段和线段上的动点，且，有以下结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④．其中正确结论有__________．（填序号）
34．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E为BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，分别连接PE、PC，则PE+PC的最小值＝_____________．
类型九、用菱形的性质与判定求面积
35．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．
36．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE=BF，连接AC、EF、AF、CE，若AC=5，AE＝AF，EF＝8，则四边形AECF的面积为___．
三、解答题
37．如图，在菱形中，，点E在的延长线上，对角线与交于点M，交于点F，且．
(1)求的度数．(2)求证：．
38．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
39．在中，，分别是，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，则四边形的面积为__________．
40．如图，在菱形ABCD中，于点E，交AD的延长线于点G，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求DG的长．
41．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，E，F，分别为AC上的两点且，连接BE，BF，DE，DF．
(1)求证：．
(2)对添加一个条件______，使四边形BEDF是菱形，并说明理由．
42．如图，在中，过点A作于点E，于点F，且．
(1)求证：是菱形．
(2)若，求平行四边形的面积．
43．如图，在中，点N在BC上，，BM平分交AD于点M，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，过点A画出中BM边上的高AP，并证明你的结论；
(2)在图2中，过点C画出C到BM的垂线段CQ．
44．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于M、N．
(1)判断四边形BNDM的形状，并证明你的结论；
(2)若BD＝24，MN＝10，求四边形BNDM的周长．
45．如图，在四边形ABCD中，，，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．
(1)求证：四边形CDEF为菱形；
(2)连接DF交AC于点G，若，，求四边形CDEF的面积．
参考答案
1．C
【分析】
连接，由菱形的性质得，，，由线段垂直平分线的性质得，则，，由可得，得到，由三角形的外角性质求出，进而得到答案．
解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
，
，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴
∴．
∵在和中，
∴
∴
∴
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点；熟练掌握菱形的性质、证明三角形全等是解题的关键．
2．C
【分析】
由题干，可知四边形为菱形，又，所以，．连接BD，易知AE、BE、DE是的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案．
解：连接BD，并延长AE交BD于点O
∵，，
∴四边形BCDE是菱形，
∴AE、BE、DE是的角平分线．
∴A、E、O、C四点共线，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：
∴，
故选：
【点拨】本题考查了菱形的性质和判定及三角形的性质及角平分线的灵活运用，解题关键是熟练掌握三角形的性质，以及菱形的判定和性质．
3．B
【分析】
连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．
解：连接BP，如图，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=BC=20÷4=5，
又∵菱形ABCD的面积为24，
∴SABC=24÷2=12，
又SABC= SABP+SCBP
∴SABP+SCBP=12，
∴ ，
∵AB=BC，
∴
∵AB=5，
∴PE+PF=12×=．
故选：B．
【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值．
4．B
【分析】
首先根据菱形的性质，可得AD=AB=BC=10，再根据勾股定理可求出OA，据此即可解决问题．
解：∵B(−6,0)，C(4,0)，
∴BC=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=10，
在Rt△ABO中，，
∴A(0,8)，
∵，
∴D(10,8)，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握和运用菱形性质及勾股定理解决问题．
5．C
【分析】
根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．
解：∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，
∴，，
，
，
，
∴CF=EF，DE=DB，
，，
∴DF∥BC，，
，
，
，
，
，
即，
，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．
6．A
【分析】
根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，然后根据勾股定理可求出AB长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD=4，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴菱形ABCD的面积是，
∴，得，
解得，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的面积，勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
7．D
【分析】
连接BF，根据垂直平分线的性质得出∠AFB=70°，根据SAS证，根据全等三角形的性质得出∠AFD=∠AFB，进而得出答案．
解：连接BF，
E为AB中点， EF⊥AB，
∴AF=BF，
∴，
∴∠AFB=70°，
在菱形ABCD中，
∠BAF=∠DAF，AB=AD，
又AF=AF，
∴（SAS），
∴∠AFD=∠AFB=70°．
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
8．C
【分析】
对甲乙两种方案，分别通过证明三角形全等得到四条边相等或对角线互相垂直平分，即可得到答案．
解：甲：如图：连接BD，与AC相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，
∴∠BAF=∠DAF=∠BCE=∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF=DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE=DE，BF=BE，
∴BF=DF=BE=DE，
∴四边形FBED是菱形；故甲正确；
乙：由题意，连接BD，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵DF⊥AD，BE⊥BC，
∴∠ADF=∠CBE=90°，
∴△ADF≌△CBE；
∴DF=BE，∠AFD=∠CEB，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；故乙正确；
故选：C
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
9．C
【分析】
由条件可先判定四边形ADEF为平行四边形，再利用等腰三角形的判定即可求得答案．
解：D、E、 F分别为AB、BC、AC的中点，
DE、 EF分别为△ABC的中位线，
DE//AF， EF//AB，
四边形ADEF为平行四边形，
若AB=AC即可求得四边形ADEF为菱形，故B选项可以，
当时，则可求得AB=AC，可得AD=AF，故A选项可以，
当AE是△ABC的角平分线时，可证得求得四边形ADEF为菱形，故D选项可以，
当AE=BC时，无法确定AB=AC，故C选项不可以，
要使四边形AEDF是菱形还需要添加一个条件，这个条件不可能是C，
故选．C．
【点拨】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
10．C
【分析】
由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A.四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B.四边形ABCD是平行四边形，BA⊥BD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C.四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
平行四边形ABCD是菱形,选项C符合题意；
D.四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题关键．
11．B
【分析】
根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，再证明四边形ABCD是菱形，再进行判断即可．
解：根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
∴①错误，②正确
故选：B.
【点拨】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
12．D
【分析】
根据即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出②，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出③，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．
解：∵
故①正确．
∵AB∥CD
∴∠NAE=∠MCF
又∵∠DNA=∠BMC=90°
∴∠ANE=∠CMF=90°
在△ANE与△CMF中
∵
∴△ANE≌△CMF（ASA）
∴，NE=FM，AE=CF，故②正确．
在△NFM与△MEN中
∵
∴△NFM≌△MEN（SAS）
∴，故③正确．
∵AE=CF
∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB
又根据矩形性质可知DF∥EB
∴四边形DEBF为平行四边形
根据矩形性质可知OD=AO，
当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形
∴∠ADO=60°
又∵DN⊥AC
根据三线合一可知∠NDO=30°
又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°
故DE=EB
∴四边形DEBF为菱形，故④正确．
故①②③④正确
故选D．
【点拨】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．
13．C
【分析】
根据AC平分∠B′AC′，得到∠B'AC＝∠C'AC，根据旋转角为∠α，得到∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，根据AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，推出∠BAB'＝∠DAC'，推出∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，根据AD∥BC，得到∠B+∠BAD＝180°，推出4∠α+∠β＝180°．
解：∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴4∠α+∠β＝180°．
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形性质，旋转性质和角平分线，熟练掌握菱形的边、角、对角线性质，旋转图形全等性质，角平分线定义，是解决本题的关键．
14．C
【分析】
延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
在△DFE和△CFG中，
，
∴△DFE≌△FCG（ASA），
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．D
【分析】
根据菱形的性质、等边三角形的性质即可判定①；证明△DAE≌△DCF，故可判断②；连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，证明△AMH≌△FMC，故可判断③④．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E点是BC中点，
∴AE⊥BC，AB=2BE，
∴AE2=AB2-BE2=AB2-（AB）2=AB2，
∵DE=，
故①错误；
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，ADBC，∠BAE=∠CAE=30°，
设BE=CE=a，则AB=BC=AC=2a，
∴AE=，
∵△DEF、△ACD是等边三角形，
∴AD=CD，ED=FE，∠ADC=∠EDF=60°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
∴∠ADE-∠CDF，
又AD=CD，ED=FD，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴AE=CF，∠DAE=∠DCF=∠DAC+∠CAE=60°+30°=90°，
∴∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=150°，
∵AC≠AE，AE=CF，
∴AC≠CF，
∴∠CAF≠∠CFA=15°，
∴∠EAN=∠EAC+∠CAF≠45°，
故②错误；
连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，
∵AH⊥CD，AC=AD，
∴∠AHM=∠FCM=90°，CH=DH=a，AH=AE，
∵CF=AE，AH=AE，
∴AH=FC，
又∠AMH=∠FMC，
∴△AMH≌△FMC（AAS），
∴AM=FM，CM=HM，
∴点M为AF的中点，
故④正确；
∵AE=，CM==，
∴，
故③正确；
故选：D．
【点拨】此题主要考查菱形、等边三角形及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理．
16．C
【分析】
如图，设交于点，连接，证明四边形，由菱形的性质得出， ，，然后由勾股定理得出即可．
解：设交于点，连接，
由作图知：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形，
又∵，，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∴．
故选：C
【点拨】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，勾股定理等知识．证明四边形是菱形是解题的关键．
17．D
【分析】
证是等腰直角三角形，得，，再证是等腰直角三角形，得，，设，则，求出，则，，即可求解．
解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
设，则，
的周长为8，
，
解得：，
，，，
，
，
，
菱形的面积，
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明为等腰直角三角形．
18．A
【分析】
①先证，再根据三角形的面积公式可得到结论；②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确；③根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得；④根据已知无法求得．据此判断即可得到答案．
解：∵四边形是菱形
∴OA=OC,
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴，．
∴．
∵
∴，故①正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴，OB=OD
∴AC是BD的垂直平分线
∴BE=ED
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF．
∴BD是EF的垂直平分线
∴DE=DF，BE=BF．
∴DE=DF=BE=BF．
∴四边形BFDE是菱形．②正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴菱形ABCD的面积，故③不正确；
由已知无法求得，故④不正确
所以正确的结论有①②，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的判定、性质以及菱形面积的求法，垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
19．30°##30度
【分析】
根据菱形的性质得到，，求得，根据等边三角形的性质得到，，求得，，，，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论．
解：四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，，，
，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的性质．
20．36°
【分析】
由题意可得EA=EB，从而∠ABE=∠A，再根据菱形的性质可以得到∠ABD的大小，从而根据∠EBD=∠ABD-∠ABE即可解答 ．
解：由题意可知E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=36°，
∵ABCD为菱形，
∴AD=AB，
∴∠ABD=（180°-∠A）÷2=72°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=72°-36°=36°，
故答案为36°．
【点拨】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的画法和性质是解题关键．
21．##
【分析】
连接AC，CE，通过SAS证明△ABP≌△CBP，得AP=CP，则AP+PE=CP+PE，当C、E、P共线时，CP+PE最小，求DP'的长即可．
解：连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=AD，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=CP，
∴AP+PE=CP+PE，
∴当C、E、P共线时，CP+PE最小，
设CE与BD的交点为P'，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ACD是等边三角形，
∴点E是AD的中点，∠ADB=∠BDC=30°，
∴CE⊥AD，DE=AD=1，
在Rt△DEP'中，DP'=2EP'，
∴DP'2=EP'2+DE2，即DP'2=(DP')2+DE2，
∴DP'=，
∴当AP+PE的值最小时，PD的长是，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称-最短路线问题，将AP+PE转化为CP+PE是解题的关键．
22．10
【分析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而三角形的面积．
解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，AB∥CD，AD=CD=AB=5，
即CD∥x轴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：OD=
∴S=
故答案：10．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据勾股定理求出DO的长是解题的关键．
23．24
【分析】
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故答案为24．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是本题的关键．
24．
【分析】
先证四边形CFEG是菱形，由面积关系可求解．
解：如图，连接CE，AE，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=120°，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=BC=a，∠B=60°，
∵MG∥AD，NF∥AB，
∴AB∥FN∥CD，MG∥BC∥AD，∠B=∠EFC=60°，
∴四边形EFCG是平行四边形，四边形BMGC是平行四边形，四边形DNFC是平行四边形，
∴DN=FC，BM=CG，
∴CG=CF，
∴四边形CFEG是菱形，
∴EF=FC，
∴△EFC是等边三角形，
∵AB：MB=3：1，
∴EF=a，
∴四边形CFEG的面积=2S△EFC==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定，证明四边形CFEG是菱形是本题的关键．
25．AB=CD
【分析】
根三角形中位线的性质，菱形的性质即可解答；
解：∵P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴PN是△ACD的中位线，PN=CD， MQ是△BCD的中位线，MQ=CD，
∴MQ=PN=CD，
同理可得：NQ=PM=AB，
当AB=CD时，MQ=PN=NQ=PM，四边形MQNP是菱形，
∵菱形对角线垂直平分，
∴PQ⊥MN，
故答案为：AB=CD；
【点拨】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题关键．
26．
【分析】
连接AC交BD于H，证明DCH≌DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC=35，∠DCE=70，
又∵∠MCE=15，
∴∠DCF=55，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF=35，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=35，
在CDH和CDF中，
∴CDH≌CDF（AAS），
∴，
∴DB=，
故答案为．
【点拨】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．
27．##．
【分析】
若四边形EFGH是菱形，则，利用三角形中位线定理可知：，，，， 所以四边形ABCD还应满足时，四边形EFGH是菱形．
解：若四边形EFGH是菱形，则，
∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
∴，，，，
∴当时，利用可判定四边形EFGH是菱形，
故答案为：．
【点拨】本题考查菱形的判定及性质，三角形中位线定理．解题的关键是依据三角形中位线定理得到，，，，利用菱形四边形各边相等的性质得到．
28．①③
【分析】
根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB=AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE=AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
【点拨】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．
29．①②③
【分析】
由折叠的性质及垂直的条件可得点E、F分别是AB、AC的中点，从而可判定①正确； 由中位线定理即可判定②正确；由AB=AC及E、F分别为中点可得AE=AF，由折叠的性质即可判定③正确；当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定④错误．
解：由折叠性质得：AE=DE，AF=DF，且EF⊥AD
∴∠EAD=∠EDA
∵AD⊥BC
∴∠EDA+∠EDB=90゜，∠EAD+∠B=90゜
∴∠EDB=∠B
∴DE=BE
∴DE=AE
即点E是AB的中点
同理：点F是AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
故①正确
∵EF是△ABC的中位线
∴
∵，
∴△AEF的周长为
而△ABC的周长为AB+BC+AC
∴△AEF的周长等于△ABC周长的一半
故②正确v
∵AB=AC，E、F分别是AB、AC的中点
∴AE=AF
∵AE=DE，AF=DF
∴AE=DE=DF=AF
即四边形AEDF是菱形
故③正确
当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形
故④错误
故答案为：①②③
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到E、F分别是中点是解题的关键．
30． 菱形
【分析】
（1）根据折叠的性质判断四边形的形状即可；（2）根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质求解线段的比值即可．
解：（1）由折叠的性质可知，，，
∴∠FAD=∠FDA，∠EAD=∠EDA，
∴∠FDA=∠EAD=∠EDA=∠FAD，
∴AE//DF，DE//AF，
∴四边形AEDF是平行四边形
∵
∴四边形AEDF是菱形
故答案为：菱形．
（2）如图，设EF与AD交于点O，
∵，四边形AEDF是菱形
∴，，AE=AF，
∴是等边三角形
∴，OE=，AD=2OA，
∴OA=，
∴
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
31．120°
【分析】
由角平分线的作法得平分，据角平分线的定义、等腰三角形判定、平行四边形的性质及判定证得四边形ABEF为平行四边形；再据AF=AB最终证得四边形ABEF为菱形，结合其周长为40从而得到AB=AF=10；最后据BF=10得到是等边三角形，从而得到，再据算得∠ABC的度数．
解：由题意得，，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形，
∵四边形的周长为40，
∴．
∵，
∴AB=BF=AF
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：120°．
【点拨】此题考查了角平分线尺规作图、等腰三角形判定、菱形判定性质、正三角形的判定和性质等，熟悉相关知识并能综合应用是关键．
32．38
【分析】
连接GE，证明四边形ADCE为菱形，得到∠DAC＝∠EAC，根据△AGD≌△AGE得到∠AEG＝∠ADG＝24°，根据线段垂直平分线的性质得到GC＝GE，根据等腰三角形的性质得到∠GEC＝∠ECA，根据平行线的性质列式计算即可．
解：连接GE，
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，
∴AD＝BC＝DC，
∴平行四边形ADCE为菱形，
∴∠DAC＝∠EAC，
在△AGD和△AGE中，
，
∴△AGD≌△AGE（SAS）
∴∠AEG＝∠ADG＝24°，
∵四边形ADCE为菱形，
∴∠DCA＝∠ECA，
∵GF是EC的垂直平分线，
∴GC＝GE，
∴∠GEC＝∠ECA，
∵AE∥BC，
∴∠AEC+∠BCE＝180°，
∴3∠ACB+24°＝180°，
解得，∠ACB＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38．
【点拨】本题考查的是菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握菱形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理．
33．①②③④
【分析】
①由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；②利用SAS即可判定△ABE≌△CBF；③由全等三角形的性质可知BE=BF，∠ABE=∠CBF，再结合∠ABC=∠ABE+EBC=60°，即可求出∠EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形；④由∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG即可判断．
解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故①正确．
∵在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
故②正确；
∵△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，
∴△BEF为等边三角形，故③正确；
∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG，∠FCG=∠BFG=60°，
∴∠CFB=∠CGE，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键．
34．
【分析】
取AB的中点F，连接PE，EF，通过菱形的性质证明△BPF≌△BPE，得出PE＝PF，再根据两点之间线段最短，当C，P，F在同一条之线上时，PF+PC最小，即PE+PC最小．
解：如图：
取AB的中点F，连接PF，CP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠FBP＝∠EBP，
又∵E，F分别是BC，BA的中点，
∴BF＝BA，BE＝BC，
∴BE＝BF，
在△BPF和△BPE中，
，
∴△BPF≌△BPE（SAS），
∴PE＝PF，
∴PE+PC＝PF+PC，
C，F是两定点，
连接CF交BD于，
又∵两点之间线段最短，
∴此时F+C＝CF最短，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，BC＝BA，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵CF平分BA，
∴CF⊥BA，
∵AB＝2，
∴BF＝1，BC＝2，
在Rt△BFC中，
CF＝＝＝，
∴PE+PC的最小值为，
故答案为：．
【点拨】此题考查了轴对称—最短路径问题，内容涉及菱形的性质、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强．
35．
【分析】
先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．
解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
36．20
【分析】
首先判定四边形AFCE是菱形，然后利用对角线乘积的一半求得菱形的面积即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵AE＝AF
∴四边形AFCE是菱形，
∵AC=5，EF=8，
∴S菱形AFCE=AC•EF=×5×8=20，
故答案为：20．
【点拨】考查了平行四边形的性质、菱形的判定及面积公式，解题的关键是判定四边形AFCE是菱形．
37．(1) (2)见分析
【分析】
（1）利用菱形的性质和三角形外角的性质即可；
（2）利用菱形的性质和角平分线的定义证得即可求解．
(1)
解：∵四边形是菱形
∴
∴
∴；
(2)
证明：∵四边形是菱形
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
38．(1)见分析 (2)菱形BNDM的周长为52
【分析】
（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=2，由勾股定理得BM的长，即可得出答案．
解：(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB=OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
(2)
解：∵四边形BNDM是菱形，BD=24，MN=10，
∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5，
在Rt△BOM中，
∴在Rt△BOM中，
由勾股定理得：，
∴四边形BNDM的周长为：4×13=52．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
39．(1)见分析 (2)96
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出BE∥DF，AB=DC，结合中点的定义，得出BE=DF，
则可证明四边形BEDF为平行四边形；
（2）连接AN，EF和MN，取EF和MN的交点为O,利用（1）的结论，再证明四边形EMFN是平行四边形，结合连接AN，，得出四边形EMFN是菱形，根据三角形中位线定理和平行线的公理推出F、N、A三点共线，利用ASA证明△AEN≌△EBM，推出S△AEN=S△AND=S△EBM，同理得到S△FCB=2S△BEM=2S△DFN ，再证明四边形EBMN为平行四边形，求出MN的长，则可得出OM长，根据勾股定理求出OE的长，然后求出菱形EMFN的面积，最后根据面积的和差关系求出四边形ABCD的面积即可．
解：(1)
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥DF，AB=DC，
又∵E、F分别为AB和CD的中点，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
(2)
解：如图，连接AN，EF和MN，取EF和MN的交点为O,
由（1）得四边形BEDF为平行四边形，
∴BF∥DE，BF=DE，
即MF∥DN，
由M、N分别是BF和DE的中点，
∴MF=EN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∵，
∴四边形EMFN是菱形，
∵E为AB的中点，
在△BAF中，EM为中位线，
∴EM∥AF，
又EM∥NF，
∴F、N、A三点共线，
又EN=ND，
∴S△AEN=S△AND，
∵ME∥AF，
∠BEM=∠EAM，
∵EN∥BF，
∴∠AEN=∠EBM，
又AE=BE，
∴△AEN≌△EBM（ASA），
∴S△AEN=S△AND=S△EBM，
同理S△FCB=2S△BEM=2S△DFN ，
∵菱形EMFN与△BEM等底同高，
∴S菱形EMFN=2S△BEM，
∵AB=12,
∴BE=AB=6，
连接MN，
∵EN∥BM，
∴EN=BM，
∴四边形EBMN为平行四边形，
∴EB∥MN，
且EB=MN=6，
连接EF，
∵MN=6，
∴ ，
又EN=5，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，以及面积的和差关系和转换，解题的关键根据题意作出辅助线，借助等底同高的性质找出三角形和平行四边形的关系．
40．(1)见分析． (2)
【分析】
（1）根据菱形的性质得到，证明和全等即可．
（2）由平行四边形的性质可以得到，再根据等腰三角形的性质即可求解．
解：(1)
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴
∵于点E，于点F
∴
在和中
∴（AAS）
∴
；
(2)
解：∵四边形ABCD是菱形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解决问题的关键．
41．(1)见分析 (2)
【分析】
（1）根据SAS证明△即可得到结论；
（2）由（1）可证四边形DEBF是平行四边形，添加可证明△得，从而可得四边形DEBF是菱形．
解：(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠
在△和△中
∴△
∴
(2)
添加的条件是：，使四边形BEDF是菱形，
理由如下：由（1）知△
∴
∴BE//DF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵
∴∠
∵
∴
∴
在△和△中
∴△
∴
∴四边形BEDF是菱形
故答案为．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，证明全等三角形是解答本题的关键．
42．(1)见分析 (2)
【分析】
（1）根据题意证明△ABE≌△ADF（AAS）可得，根据菱形的判定定理即可得证；
（2）根据题意求得∠DAF=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理逇的长，进而根据菱形的面积公式即可求解．
解：(1)
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D
∵AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形．
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC ，
∴∠AEB=∠EAD=90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△AFD中，DF=2，
∴AD=4，
∴AF= ，
∵AD=CD=4，
∴菱形ABCD面积=
【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
43．(1)见分析 (2)见分析
【分析】
（1）连接AN即可，根据菱形的性质与判定证明即可；
（2）连接，交于点，过点作，交于点，连接交于点，则线段即为所求．
(1)
如图1，AP即为所求中BM边上的高；
解：∵BM平分，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
即AP为中BM边上的高；
(2)
如图2，连接，交于点，过点作，交于点，连接交于点，则线段即为所求．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AE∥CN，
∴∠AEO=∠CNO，
∵∠AOE=∠CON，
∴△AOE≌△CON（AAS），
∴OE=ON，
∴四边形ANCE是平行四边形，
∴AN∥CE，
∵AN⊥BM，
∴CE⊥BM，即CQ⊥BM．
【点拨】本题考查了无刻度直尺作图，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
44．(1)菱形，见分析； (2)52
【分析】
（1）由题意可得△MDO≌△NBO，从而可证四边形BNDM是平行四边形，再由垂直平分线的性质可得四边形为菱形；
（2）由菱形的性质可求得菱形BNDM的边长，从而可求得其周长．
解：(1)
四边形BNDM是菱形，证明如下：
∵MN⊥BD，OB=OD，
∴MB=MD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠NBO，
∵∠BOD=∠NOB，
∴△MDO≌△NBO，
∴MD=NB，
∵MD∥NB，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MB=MD，
∴四边形BNDM是菱形.
(2)
∵四边形BNDM是菱形，
∴，，MB=MD=ND=NB，
∴在Rt△BOM中，由勾股定理得：，
∴四边形BNDM的周长为：4×13=52.
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明两个三角形全等是解题的关键．
45．(1)见分析 (2)
【分析】
由三角形中位线定理可得EF= AB，EF∥AB，CF= BC，可得AB∥CD∥EF，EF=CF=CD，由菱形的判定可得结论；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
解：(1)
∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF= AB，EF∥AB，CF= BC，AE=CE
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF，
∵AB=BC=2CD
∴EF=CF=CD，且AB∥CD∥EF，
∴四边形DEFC是平行四边形，且EF=CF
∴四边形CDEF为菱形；
(2)
如图，DF与EC交于点G
∵四边形CDEF为菱形，DF=2，
∴DG=1，DF⊥CE，EG=GC，
∵
∴
∴
【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．