初中数学北师大版（2024）九年级上册1 菱形的性质与判定达标测试

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 菱形的性质与判定达标测试，共45页。试卷主要包含了单选题，利用菱形的性质求线段，利用菱形的性质求面积，利用菱形的性质证明，添加一个条件证明四边形是菱形，证明已知四边形是菱形，用菱形的性质与判定求角度，用菱形的性质与判定求面积等内容，欢迎下载使用。
类型一、利用菱形的性质求角
1．如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
2．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（ ）
A．80°B．60°C．40°D．20°
类型二、利用菱形的性质求线段
3．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，菱形的周长为（ ）
A．8B．16C．12D．
4．如图，菱形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
类型三、利用菱形的性质求面积
5．图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（ ）
A．3B．4C．2D．1
6．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，，AB＝3，则菱形ABCD的面积等于（ ）．
A．20B．C．D．
类型四、利用菱形的性质证明
7．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，添加一个条件，不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．EC＝FCB．AE＝AFC．∠BAF＝∠DAED．BE＝DF
8．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
类型五、添加一个条件证明四边形是菱形
9．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ）
A．点D在∠BAC的平分线上B．
C．D．点D为BC的中点
10．如图，已知为任意四边形，，，，分别为，，，的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
类型六、证明已知四边形是菱形
11．如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．小红按如下操作步骤作图：
①作线段AB；
②分别以点A、B为圆心，以线段d(d>AB)的长为半径画弧，分别相交于点C、D两点；
③连接AC、BC、AD、BD．
则四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对
类型七、用菱形的性质与判定求角度
13．菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线一定相等B．对角线互相垂直
C．是轴对称图形D．是中心对称图形
14．尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线，已知：如图（1），直线及外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的做法如下：
①在直线上任取一点B，连接
②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点；
③分别以为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点；
④作直线，直线即为所求如图（2），小红的做题依据是（ ）
A．四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直
B．直径所对的圆周角是直角
C．直线外一点到这条直线上垂线段最短
D．同圆或等圆中半径相等
类型八 用菱形的性质与判定求线段
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）．
A．6.5B．7C．7.5D．8
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
类型九、用菱形的性质与判定求面积
17．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若，，则四边形的面积是（ ）
A．B．8C．4D．
18．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝4，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12B．6C．24D．3
二、填空题
类型一、利用菱形的性质求角
19．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______．
20．如图，菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接，若，则________．
类型二、利用菱形的性质求线段
21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，4，则AB长为__．
22．若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的边长是________．
类型三、利用菱形的性质求面积
23．在菱形中，，，则菱形的边长等于______，面积等于______．
24．如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若，则菱形ABCD的面积为________．
类型四、利用菱形的性质证明
25．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．
26．尺规作图：作一个角的平分线．
小涵是这样做的：
已知：，如图1所示
求作：射线，使它平分
图1 图2
作法：（1）如图2，以为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
（2）分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点；
（3）作射线．
所以射线就是所求作的射线．
小涵是个喜欢动脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接、和，发现与的位置关系是______，依据是______________________．
类型五、添加一个条件证明四边形是菱形
27．在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．
28．小明制作了张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④；⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率是________．
类型六、证明已知四边形是菱形
29．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x．
（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，x＝_____；
（2）如图2，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是 _____．
30．菱形的判定：
（1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形．
几何语言描述：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝____________，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）对角线互相____________的平行四边形是菱形
几何语言描述：
∵在平行四边形ABCD中，AC⊥____________，
∴ 平行四边形ABCD是菱形．
（3）四条边都____________的四边形是菱形．
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________，
∴ 平行四边形ABCD是菱形．
类型七、用菱形的性质与判定求角度
31．如图在菱形中，边的垂直平分线与对角线相交于点E，，那么__________度．
32．如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B=______°．
类型八 用菱形的性质与判定求线段
33．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连结EF，PD．若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，则DP＝___．
34．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEAC，CEBD．若AD＝2，AB＝3，则四边形CODE的周长是________．
类型九、用菱形的性质与判定求面积
35．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为_____，面积为_____．
36．如图，在中，使OA=OB，按以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OM，ON于点A，B；②分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；③连接AC、BC、AB、OC．若，四边形OACB的面积为．则OC的长为________cm．
三、解答题
37．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：BE＝DF．
(2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
38．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
39．如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°．
(1)求对角线AC，BD的长；(2)求菱形的面积．
40．如图，在菱形中，是对角线上的一点．连，，求证：．
41．如图，四边形的对角线与交于点，若，，
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件 ，使四边形是菱形
42．如图，在四边形中，与相交于点O．且，点E在上，满足．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是菱形．
43．如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求的度数．
44．图，点D为△ABC边AC上一点，过点D作DE∥AB，点O为BE的中点，连接AO并延长，交DE的延长线于点F，连接AE、BF．
(1)试判断四边形ABFE的形状，并说明理由；
(2)若AB＝BF，AC＝10，，求OC的长．
45．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
参考答案
1．C
【分析】
先根据菱形的性质求出∠BAC的度数，再证OE是△ABC的中位线即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，点O是AC的中点，，
∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，
∴∠BAC=55°，
∵E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∴∠COE=∠BAC=55°，
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
2．C
【分析】
折痕为AC与BD，∠BAD=，根据菱形的对角线平分对角可得∠ABD和∠BAC的度数，由此得出答案．
解：如下图，
∵四边形ABCD是菱形；
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC；
∵∠BAD=，
∴∠ABC=－∠BAD=，
∴∠ABD=，∠BAC=，
∴剪切线与折痕所成的角的大小应为．
故选：C．
【点拨】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，熟练掌握菱形对角线平分对角的性质是解题的关键．
3．B
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直，四边形相等，每条对角线平分每组对角，易得到，再根据含的直角三角形的性质求出菱边CD的长度，然后用菱形的周长公式求解．
解：∵菱形ABCD的两条对角线交于点O，，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴菱形ABCD的周长为，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质、含的直角三角形的性质，理解菱形的性质是解答关键．
4．D
【分析】
根据菱形的性质以及中点坐标公式即可求解．
解：设D点的坐标为(a,b)，
菱形的对角线的交点也是两条对角线的中点，
∴AC的中点与BD的中点坐标相同，
∴根据中点坐标公式有：，
则a=2，b=3，
即D点坐标为：(2,3)，
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质和中点坐标公式，掌握并运用中点坐标公式是解答本题的关键．
5．C
【分析】
边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个∠为60°，则该菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，所求即可解
解：下图所示，
由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，
边长为a的等边三角形的底边上的高也是底边的中线，
则利用勾股定理可得高为：，
边长为a的等边三角形的面积为：，
则可知正六边形的面积为：，空白菱形的面积为：，
则阴影部分的面积为：，
则有，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形的基本概念和正多边形的基本概念，通过特殊角以及菱形和正六边形的边长相等，得出正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形是解答本题的关键．
6．C
【分析】
利用勾股定理求出OB，再利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出AC和BD，最后利用菱形面积公式求解即可．
解：，
，
四边形ABCD为菱形，
，
，
，
，
菱形ABCD的面积，
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理、菱形的性质及面积公式，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直且平分”是解题的关键．
7．B
【分析】
根据菱形的性质结合全等三角形的判定条件逐项判断即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，．
A．由EC＝FC，可得出，即，
∴，故该选项不符合题意；
B．AE＝AF，结合已知不能证明△ABE≌△ADF（没有“SSA”或“ASS”），故该选项符合题意；
C. 由∠BAF＝∠DAE，可得出，即，
∴，故该选项不符合题意；
D. 由BE＝DF可直接证明，故该选项不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定．熟练掌握上述知识是解题关键．
8．D
【分析】
根据菱形的性质与平行四边形的性质逐项分析判断即可．
解：A．菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B．菱形和平行四边形的对角线都不相等，故B选项不符合题意；
C．菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；
D．菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不互相垂直，每一条对角线不平分一组对角，故D选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形和菱形的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
9．A
【分析】
根据平行四边形的判定和性质定理已经菱形的判定定理即可得到结论．
解：如图所示，连接AD
∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，
当点D在∠BAC的平分线上时，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；
当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故选项B不符合题意；
当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故选项C不符合题意；
当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
10．D
【分析】
根据题意连接BD，AC，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可．
解：如图连接BD，AC，
因为E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线定理，故，,，，故四边形EFGH是平行四边形．
A选项： ，邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意．
B选项： ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意．
C选项： ，根据三角形中位线定理 ，，故，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意．
D选项： 不能证明四边形EFGH是菱形，符合题意．
故选：D
【点拨】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是连接BD，AC，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可．
11．D
【分析】
利用平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质逐项判断即可．
解：∵平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，
∴，
∴四边形ABEC是平行四边形，
故①正确；
∵平移△ABC到△BDE的位置，
∴AB=BD=CE，BC=DE，
∵AB=BC，
∴AB=BD=CE=BC=DE，
∴四边形BDEC是菱形，
故②正确；
∵四边形BDEC是菱形，
∴，
∵，
，
故③正确；
∵四边形BDEC是菱形，
∴DC平分∠BDE，
故④正确；
∴正确的有4个．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质．
12．B
【分析】
根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
13．A
【分析】
根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线，即可判断．
解：根据菱形的性质可知：
菱形的对角线互相垂直平分，故B正确；
菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C，D正确；
菱形不具备对角线一定相等，故A错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
14．A
【分析】
根据作法和菱形的判定方法可证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质判断AC与BD垂直．
解：由作法得AB＝AD＝BC＝DC，则四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD．
即四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直．
故选A．
【点拨】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
15．D
【分析】
首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形ABEF是菱形，然后利用菱形的性质求解即可．
解：设AE与BF交于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
． ∠FAE=∠BEA，
∵BF平分，
，
，
，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴，
，
∵AD//BC，即AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
，
∵，
，
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，角分线定义，勾股定理，掌握平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，角分线定义，勾股定理是解题关键．
16．C
【分析】
连接BD，求证四边形BEDF是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可．
解：如图，连接BD，
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴BC=AB=1，∠ABC=90°-∠A=60°，
∵点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC =30°，
∵将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，
∴BE=DE，BF=DF，
∴∠EDB=∠CBD=30°，∠FDB=∠ABD=30°，
∴∠EBD=∠FDB=30°，∠EDB=∠FBD=30°，
∴BE∥DF，BF∥DE，四边形BEDF是平行四边形，∠ADF=∠C=90°，
又∵BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BE=BF=DF=DE，
在Rt△ADF中，
∵∠A=30°，
∵AF=2DF=2BF，
∴AB=AF+BF=2BF+BF=3BF，
∴BF=AB=，
又∵
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF=，
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点．
17．C
【分析】
根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．
解：根据作图，，
∵，
∴，
∴四边形OACB是菱形，
∵，，
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
18．A
【分析】
连接AC，BD，FH，EG，得出平行四边形ABFH，推出HF＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，求出四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积等于×GH×HF，代入求出即可．
解：连接AC，BD，FH，EG，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴AH＝AD，BF＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴AH＝BF，AHBF，
∴四边形AHFB是平行四边形，
∴FH＝AB＝2，
同理EG＝AD＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HGAC，HG＝AC，EFAC，EF＝AC，EH＝BD，
∴EH＝HG，GH＝EF，GHEF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴FH⊥EG，
∴阴影部分EFGH的面积是×HF×EG＝×6×4＝12，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，关键是求出四边形EFGH是菱形．
19．20°
【分析】
由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题．
解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，
∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝35°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠FAB＝55°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20°．
【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
20．20°
【分析】
根据菱形的性质得到BC=CD=CE，求出∠DCE的度数，利用菱形的性质求出∠OBC即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∵，
∴CE=CD，
∴∠CDE=，
∴∠DCE=（180°-2∠E）=40°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE=40°，
∴∠OBC=∠ABC=20°，
故答案为：20°．
【点拨】此题考查了菱形的性质，等边对等角求角度，熟记菱形的性质是解题的关键．
21．
【分析】
根据菱形的性质求得，的长，然后在中利用勾股定理即可求解．
解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，4，
∴，，，
∴中，，
故答案为：
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
22．13
【分析】
根据菱形的性质对角线互相垂直且互相平分，再利用勾股定理AB＝即可得到菱形的边长．
解：如图，BD＝10，AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13．
故答案为：13．
【点拨】本题考查了菱形的性质和勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键．
23．
【分析】
由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长；由菱形面积公式即可求得面积．
解：根据题意，设对角线、相交于，
在菱形中，，，且，
，
菱形对角线相互垂直，
菱形面积是．
故答案为：，．
【点拨】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，注意菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．
24．80
【分析】
根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：连接AP
四边形ABCD是菱形
菱形ABCD的周长为40
菱形ABCD的面积
菱形ABCD的面积
故答案为：80．
【点拨】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．AB=CD
【分析】
当AB=CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理可得EG=GF=FH=EH，则四边形EFGH是菱形，最后利用菱形的性质即可．
解：当AB=CD时，有EF⊥GH，理由如下：
如图所示，连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG是△ABD是中位线
∴EG=AB，
同理HF=AB，FG=CD，BH=CD．
又∵AB=CD
∴EG=GF=FH=EH．
∴四边形EFGH是菱形
∴EF⊥GH．
故答案为：AB=CD．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，找到证明EFGH是菱形的条件是解答本题的关键．
26． （与互相垂直） 菱形的对角线互相垂直
【分析】
作∠BAC的平分线，就是要证明这条射线是角平分线，把这条射线分得的两个角置于两个三角形中，为构造两个三角形，以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C，满足AB=AC，然后分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；由有BD=CD，由AD=AD，△ABD≌△ACD，则∠BAD=∠CAD,
脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接BD、CD和BC则AB=BD=CD=AC，四边形ABDC为菱形，BC与AD是菱形的对角线，BC⊥AD，．
解：以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C；则AB=AC，
分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；则BD=CD,
∵AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD是∠BAC的平分线
由作图知AB=BD=CD=AC，
∴四边形ABDC为菱形，
∴BC⊥AD．
故答案为：①BC⊥AD，②菱形的对角线互相垂直．
【点拨】本题考查尺规作图中角平分线的拓展问题，关键是掌握角平分线的作法依据全等三角形，由于作图的半径相同，由要掌握菱形的判定与性质．
27．AB＝AD（答案不唯一）
【分析】
根据平行四边形的判定证出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定证出即可.
解：添加的条件是AB＝AD.
理由如下：∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
若AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形.
【点拨】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定等，能根据菱形的判定定理正确地添加条件是解此题的关键.
28．
【分析】
根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算．
解：根据菱形的判断，可得①；④能判定平行四边形ABCD是菱形，
∴能判定是菱形的概率是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
29． 2
【分析】
（1）根据折叠的性质知EC=BC-BE=6-4=2；
（2）当B'落在DE上时，作AH⊥DE于H，由折叠的性质可证AD=DE，再利用△AB'H是含30°的直角三角形，从而求出DB'的长，即可解决问题．
解：（1）∵将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，
∴AB=AB’， ∠B=∠AB'E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠AB’E=∠ADC，
∴B’E∥CD，
∴B’E∥AB，
∴四边形ABEB’是平行四边形，
∵AB=AB’，
四边形ABEB'是菱形，
∴EC=BC-BE=6-4=2，
故答案为：2；
（2）如图，当B'落在DE上时，作AH⊥DE于H，
在Rt△AHB'中，
∵∠AB'H=60°，AB'=4，
∴HB'=AB′＝2，AH＝HB′＝，
在Rt△ADH中，
，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=∠AED，
∴DA=DE=6，
∴，
∴，
∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，含30°角的直角三角形的性质等知识，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
30． 相等 AD 垂直 BD 相等 AD
略
31．40
【分析】
由菱形性质解得，进而证明，再由全等三角形对应角相等的性质，解得，结合线段垂直平分线的性质解题即可．
解：连接BE，
四边形ABCD是菱形，
在和中
在菱形中ABCD中，
边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E，
故答案为：40．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
32．75
【分析】
根据菱形的性质先求出∠BAC，再由折叠知AD'=AB，从而求出∠AD'B的度数.
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，CD∥AB，
∵∠D=120°，
∴∠DAB=60°，
∵AC为菱形ABCD的对角线，
∴∠BAC=30°，
∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，
∴AD'=AD，
∴AD'=AB，
∴∠AD'B=，
故答案为：75.
【点拨】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键.
33．
【分析】
先证明四边形ABEF是菱形，可得AE⊥BF，再由∠ABC=60°，可得∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，从而得到AP==2，再过点P作PM⊥AD于M，可得AM==1，，再由勾股定理，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，
∵AB=4，
∴AP==2，
如图，过点P作PM⊥AD于M，
∴∠APM=30°，
∴AM==1，
∴，AM=1,
∵AD=6，
∴DM=5，
∴．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质和菱形的判定，特殊三角形的性质，通过等量代换推出角相等推出等腰三角形是解决问题的关键．
34．2
【分析】
首先由CEBD，DEAC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解：∵CEBD，DEAC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC，
∴四边形CODE是菱形，
∵AD＝2，AB＝3，
∴AC＝，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝2AC＝2．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
35． 20 24
【分析】
首先由AC与BD互相垂直且平分，可证得四边形ABCD是菱形，又由BD＝6，AC＝8，即可求得答案．
解：∵AC与BD互相垂直且平分，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵BD＝6，AC＝8，
∴OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3，
∴ ，
∴四边形周长为：，面积为： ×6×8＝24．
故答案为：20，24．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键．
36．4
【分析】
由作法知四边形OACB为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求OC．
解：由作图可知：，
四边形OACB为菱形，
∴AB⊥OC，
，
又，
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．
37．(1)证明见解析
(2)∠EAF =70°
【分析】
(1)根据菱形的性质可得AB = AD，∠B=∠D，然后利用AAS证明△ABE≌△ADF即可得结论；
(2)根据菱形的性质和∠BAD= 110°，即可求∠EAF的度数．
(1)
解：∵ AE⊥BC， AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，
∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB= AD
∴△ABE≌△ADF (AAS)，
∴BE= DF；
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD// BC，
∴∠BAD+∠B= 180° ，
∴∠BAD= 110°，
∴∠B= 70°
∵AE⊥BC，
∴∠AEB= 90°，
∴∠BAE= 20°，
∴∠DAF= 20° ，
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF= 110°- 20°- 20°= 70°
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABE和△ADF全等是解题的关键．
38．(1)见解析
(2)△ADE的周长为18
【分析】
（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，AC⊥BD，再由DE⊥BD，可得DE∥AC，即可求证；
（2）根据平行四边形的性质可得DE=AC=8，AE=CD，再由菱形的性质可得AC⊥BD，，，CD=AE，从而得到AD=5，从而得到AE=CD=AD=5，即可求解．
(1)
证明：在菱形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，
∴CD∥AE，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)
解：∵四边形ACDE是平行四边形，AC＝8，BD＝6，
∴DE=AC=8，AE=CD，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，，，CD=AE，
∴∠AOD=90°，
∴，
∴AE=CD=AD=5，
∴△ADE的周长为．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
39．(1)BD＝10cm，AC＝cm (2)菱形的面积为cm2
【分析】
（1）利用已知条件易求BD的长，再由勾股定理可求出AO的长，进而可求对角线AC的长；
（2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
(1)
解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝10cm．
由菱形的性质知AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，
∴BO＝BD＝5cm，
在Rt△AOB中，AO＝＝cm，
∴AC＝2AO＝（cm）．
(2)
解：菱形的面积为×10×＝（cm2）．
【点拨】本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，还考查了勾股定理的应用．
40．见解析
【分析】
根据菱形的性质可得到，∠，已知公共边，所以利用判定△，从而得到．
解：∵四边形是菱形
∴
∵是菱形的对角线
∵∠
∵
∴△
∴
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
41．(1)证明见解析
(2)（答案不唯一）
【分析】
（1）根据平行线的性质得出，，进而利用证明与全等，再利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据菱形的判定解答即可．
(1)
解：∵
∴，，
在与中，
，
∴（）
∴
∴四边形是平行四边形．
(2)
解：添加：（答案不唯一）．
证明：∵，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
42．(1)见解析 (2)见解析
【分析】
（1）根据题意结合对顶角相等，直接证明即可；
（2）由（1）可得，根据，证明四边形是平行四边形，由，，证明，即可证明四边形是菱形．
(1)
解：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（），
(2)
证明：△AOE≌△COD
四边形是平行四边形
，
四边形是菱形
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
43．（1）证明见解析；（2）∠BDE=35°．
【分析】
（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）先根据三角形的内角和定理得出，再由菱形的性质可求解．
解：（1）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
（2），，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
44．(1)平行四边形，理由见解析
(2)
【分析】
（1）根据点O是BE的中点，有OB＝OE，由得到，则有，即可证得，则有，又有，即四边形ABFE是平行四边形；
（2）在平行四边形ABFE中，AB＝BF，即可判断平行四边形ABFE是菱形，即有，，在直角三角形AOC中，，，则，利用勾股定理即可求出OC．
(1)
四边形ABFE是平行四边形，理由如下：
∵点O是BE的中点，
∴OB＝OE，
∵，
∴，
∴，
在△ABO和△FEO中，
有：
∴，
∴，
又∵，
∴四边形ABFE是平行四边形．
(2)
解：在平行四边形ABFE中，AB＝BF，
∴平行四边形ABFE是菱形，
∴，
∴，
在直角三角形AOC中，
，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形等知识，证得是解答本题的关键．
45．(1)见解析 (2)120
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；
（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)
解： 如图所示：连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【点拨】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．