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集合与常用逻辑用语、不等式-2025届高三数学二轮专题训练
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这是一份集合与常用逻辑用语、不等式-2025届高三数学二轮专题训练,共13页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·武昌模拟]若集合A={x∈N*|x是4与10的公倍数},B={x∈R|x2≤1 000},则A∩B=( )
A.∅ B.{-20,20}C.{20} D.{20,30}
2.[2024·浙江名校联考]设命题p:∀n∈N,n2<3n+4,则p的否定为( )
A.∀n∈N,n2>3n+4 B.∀n∈N,n2≤3n+4
C.∃n∈N,n2≥3n+4 D.∃n∈N,n2>3n+4
3.[2024·成都诊断]设集合A={2,3,a2-2a-3},B={0,3},C={2,a}.若B⊆A,A∩C={2},则a=( )
A.-3 B.-1C.1 D.3
4.[2024·广州调研]已知p:(x+2)(x-3)<0,q:|x-1|<2,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.[2024·济南质检]“x>y”的一个充分条件可以是( )
A.2x-y>eq \f(1,2) B.x2>y2C.eq \f(x,y)>1 D.xt2>yt2
6.[2023·无锡模拟]已知实数a,b满足如下两个条件:(1)关于x的方程3x2-2x-ab=0有两个异号的实根;(2)eq \f(2,a)+eq \f(1,b)=1.若对于上述的一切实数a,b,不等式a+2b>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-4,2) B.(-2,4)
C.(-∞,-4]∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[4,+∞)
7.[2024·泰安模拟]在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品. 实验一:小明将5克的砝码放在天平左盘,取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳将20克的砝码放在右盘,取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品( )
A.大于20克 B.小于20克
C.大于等于20克 D.小于等于20克
8.[2024·武汉质检]阅读下面文字:“已知eq \r(2)为无理数,若(eq \r(2))eq \r(2)为有理数,则存在无理数a=b=eq \r(2),使得ab为有理数;若(eq \r(2))eq \r(2)为无理数,则存在无理数a=(eq \r(2))eq \r(2),b=eq \r(2),此时ab=[(eq \r(2))eq \r(2)]eq \r(2)=(eq \r(2))eq \r(2)×eq \r(2)=(eq \r(2))2=2,为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是( )
A.(eq \r(2))eq \r(2)是有理数
B.(eq \r(2))eq \r(2)是无理数
C.存在无理数a,b,使得ab为有理数
D.对任意无理数a,b,都有ab为无理数
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2023·南京质检]设p=a+eq \f(2,a),a∈R,则下列说法正确的是( )
A.p≥2eq \r(2)
B.“a>1”是“p≥2eq \r(2)”的充分不必要条件
C.“p>3”是“a>2”的必要不充分条件
D.∃a∈(3,+∞),使得p<3
10.[2024·太原质检]已知x,y均为正实数,且x+2y=4,则下列结论正确的是 ( )
A.xy≥2 B.eq \f(2,x)+eq \f(1,y)≥2C.2x+4y≥8 D.x2+4y2≤8
11.[2023·武昌模拟]早在公元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算术中项,几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中算术中项,几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称eq \f(a+b,2)为正数a,b的算术平均数,eq \r(ab)为正数a,b的几何平均数,并把这两者结合的不等式eq \r(ab)≤eq \f(a+b,2)(a>0,b>0)叫做基本不等式.已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=2,则下列结论正确的有( )
A.eq \f(3,a)+eq \f(4,b)的最小值是eq \f(7+4\r(3),2) B.3a2+b2的最小值为3
C.2eq \r(a)+eq \r(b)的最大值为3 D.eq \f(b2,a)+eq \f(a2,b)的最小值是2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·上海闵行质检]已知集合A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2<1)),B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(|x|-a,x2+2)<0)),若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
13.[2024·浙江镇海中学模拟]能够说明“若0<a<b<c,则a<bc”是假命题的一组实数a,b,c的值依次为________.
14.[2023·福州模拟]若a克不饱和糖水中含有b克糖,则糖的质量分数为eq \f(b,a),这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式eq \f(b+m,a+m)>eq \f(b,a)(a>b>0,m>0),数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出lg32________lg1510(用“<”或“>”填空),并写出上述结论所对应的一个糖水不等式________________.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·天一大联考]已知关于x的不等式x2-ax-x+b<0.
(1)若此不等式的解集为{x|-1<x<1},求a,b的值;
(2)若a=b,求不等式的解集.
16.(15分)[2023·青岛质检]已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.
(1)若m=2,求A∩(∁RB);
(2)x∈A是x∈B的________条件,若实数m的值存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.(请在①充分不必要;②必要不充分;③充要中任选一个,补充到空白处)
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
17.(15分)[2024·达州诊断]设函数f(x)=2|x-1|.
(1)若f(x)>f(x+m)的解集为{x|x<0},求实数m的值;
(2)若0<a<b,且f(a)=f(b),求eq \f(4,a)+eq \f(1,b-1)的最小值.
18.(17分)[2024·南通质检]为了控制某种病毒的传播,某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒,已知在一定范围内,每喷洒1个单位的消毒剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:小时)变化的关系如下:当0≤x≤4时,y=eq \f(16,8-x)-1;当4<x≤10时,y=5-eq \f(1,2)x.若多次喷洒,则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂,则有效杀灭时间可达几小时?
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂,6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂,要使接下来的4小时中能够持续有效消毒,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:eq \r(2)≈1.4)
19.(17分)[2023·长沙质检]已知函数f(x)=eq \r(x-1)+eq \r(3-x)-eq \f(1,2)的定义域为集合D,最大值为m,记g(a,b,c)=eq \f(a,b+c)+eq \f(b,c+a)+eq \f(c,a+b),其中a,b,c是正实数.
(1)求m;
(2)∀x∈D,求证:f(x)≤g(a,b,c).
集合与常用逻辑用语、不等式
1.C [因为A={x∈N*|x是4与10的公倍数}={x∈N*|x=20k,k∈N*}={20,40,60,…},B={x∈R|x2≤1 000},202=400≤1 000,402=1 600>1 000,所以A∩B={20},故选C.]
2.C [由题意可得,命题p:∀n∈N,n2<3n+4的否定为:∃n∈N,n2≥3n+4.故选C.]
3.B [因为B⊆A,所以a2-2a-3=0,
解得a=-1或a=3.
若a=-1,则A={2,3,0},C={2,-1},此时A∩C={2},符合题意;若a=3,则A={2,3,0},C={2,3},此时A∩C={2,3},不符合题意.故选B.]
4.B [由题意知p:-2<x<3,q:-1<x<3.
因为(-1,3)(-2,3),所以p是q的必要不充分条件.故选B.]
5.D [由2x-y>eq \f(1,2)=2-1,
得x-y>-1,
若x=1,y=eq \f(3,2),则x<y成立,
所以由2x-y>eq \f(1,2)不能推出x>y;
由x2>y2可得|x|>|y|,不一定能推出x>y,例如当x=-3,y=2时,x2>y2成立,但x>y不成立;
若eq \f(x,y)>1,当y<0时,可得x<y.
因此,选项A,B,C均不符合题意;
因为由xt2>yt2可得x>y,但由x>y不一定能推出xt2>yt2,所以xt2>yt2是x>y的充分条件,所以选项D符合题意.
故选D.]
6.A [设方程3x2-2x-ab=0的两个异号的实根分别为x1,x2,则x1x2=-eq \f(ab,3)<0,
∴ab>0.
又eq \f(2,a)+eq \f(1,b)=1,∴a>0,b>0,
则a+2b=(a+2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)+\f(1,b)))=4+eq \f(a,b)+eq \f(4b,a)≥4+2eq \r(\f(a,b)·\f(4b,a))=8(当且仅当a=4,b=2时取“=”),由不等式a+2b>m2+2m恒成立,得m2+2m<8,解得-4<m<2.
∴实数m的取值范围是(-4,2).故选A.]
7.C [设天平左、右两边臂长分别为a,b,小明、小芳放入的药品的克数分别为x,y,则由杠杆原理得:5a=bx,ay=20b,于是x=eq \f(5a,b),y=eq \f(20b,a),故x+y=eq \f(5a,b)+eq \f(20b,a)≥2eq \r(\f(5a,b)·\f(20b,a))=20,当且仅当a=2b时取等号.故选C.]
8.C [题中文字并没有明确说明(eq \r(2))eq \r(2)是有理数还是无理数,故A,B错误;由题意可知,无论(eq \r(2))eq \r(2)是无理数,还是有理数,总存在无理数a,b,使得ab为有理数,故C正确,D错误.故选C.]
9.BC [对于A项,当a<0时,显然有p小于0,A错误;
对于B项,a>1时,p=a+eq \f(2,a)≥2eq \r(a·\f(2,a))=2eq \r(2)(a=eq \r(2)时取等号),故充分性成立,
而p≥2eq \r(2)只需a>0即可,故B正确;
对于C项,p=a+eq \f(2,a)>3可得0<a<1或a>2,当a>2时p>3成立,故C正确;
对于D项,由a>3有a+eq \f(2,a)>3+eq \f(2,3)>3,
故D错误.故选BC.]
10.BC [A选项:4=x+2y≥2eq \r(2xy),
所以xy≤2,当且仅当x=2y,
即x=2,y=1时取等号,故A错误;
B选项:eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=eq \f(x+2y,xy)=eq \f(4,xy),
由A知xy≤2,则eq \f(2,x)+eq \f(1,y)≥2,故B正确;
C选项:2x+4y≥2eq \r(2x·4y)=2eq \r(2x+2y)=
2eq \r(24)=8,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时取等号,故C正确;
D选项:由x+2y=4,得16=x2+4y2+2·x·2y≤x2+4y2+2×eq \f(x2+(2y)2,2),
即x2+4y2≥8,当且仅当x=2y,
即x=2,y=1时取等号,故D错误.]
11.ABD [对于A,eq \f(3,a)+eq \f(4,b)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)+\f(4,b)))·
(a+b)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7+\f(3b,a)+\f(4a,b)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7+2\r(\f(3b,a)·\f(4a,b))))=eq \f(7+4\r(3),2),
当且仅当eq \f(3b,a)=eq \f(4a,b),
即a=4eq \r(3)-6,b=8-4eq \r(3)时取“=”,A正确;
对于B,3a2+b2=3a2+(2-a)2=4(a2-a+1)=4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-\f(1,2)))eq \s\up12(2)+3,当a=eq \f(1,2),b=eq \f(3,2)时,3a2+b2取得最小值3,B正确;
对于C,由a+b=2,a>0,b>0,
可令a=2sin2x,b=2cs2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<x<\f(π,2))),
则2eq \r(a)+eq \r(b)=2eq \r(2)sin x+eq \r(2)cs x
=eq \r(10)sin(x+φ),其中锐角φ由
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin φ=\f(1,\r(5)),cs φ=\f(2,\r(5))))确定,显然φ<x+φ<eq \f(π,2)+φ,则当x+φ=eq \f(π,2),即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x=\f(2,\r(5)),cs x=\f(1,\r(5))))时,
(2eq \r(a)+eq \r(b))max=eq \r(10),因此,当a=eq \f(8,5),b=eq \f(2,5)时,2eq \r(a)+eq \r(b)取最大值eq \r(10),C不正确;
对于D,eq \f(b2,a)+eq \f(a2,b)=eq \f((2-a)2,a)+eq \f((2-b)2,b)=eq \f(4-4a+a2,a)+eq \f(4-4b+b2,b)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)+\f(4,b)))-8+(a+b)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)+\f(4,b)))-6=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(1,b)))·
(a+b)-6=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)+\f(a,b)+2))-6≥2×(2+2)-6=2,当且仅当a=b=1时取“=”,D正确.故选ABD.]
12.{a|a>1} [由x2<1,解得-1<x<1,所以A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2<1))=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|-1<x<1)).
因为x2+2≥2,所以不等式eq \f(|x|-a,x2+2)<0等价于|x|-a<0.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以AB,所以B≠∅,则a>0,
所以不等式|x|-a<0,
即|x|<a,解得-a<x<a,所以B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(|x|-a,x2+2)<0))=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|-a<x<a,a>0)),又AB,所以a>1,即{a|a>1}.]
13.eq \f(1,4),eq \f(1,3),eq \f(1,2)(答案不唯一) [由“若0<a<b<c,则a<bc”是假命题可得,存在a,b,c满足条件0<a<b<c,但a≥bc,
由此可得b>bc,故c<1,
若取c=eq \f(1,2),a=eq \f(1,4),则eq \f(1,4)<b<eq \f(1,2),故可取b=eq \f(1,3).故a,b,c的值依次为eq \f(1,4),eq \f(1,3),eq \f(1,2)(答案不唯一).]
14.< eq \f(ln 2+ln 5,ln 3+ln 5)>eq \f(ln 2,ln 3)(答案不唯一) [因为0<lg32<1,所以可得:lg32=eq \f(lg52,lg53)<eq \f(lg52+1,lg53+1),即eq \f(lg52,lg53)<eq \f(lg510,lg515)=lg1510;
因lg32<lg1510,
故有eq \f(ln 2,ln 3)<eq \f(ln 10,ln 15)=eq \f(ln 2+ln 5,ln 3+ln 5),
即eq \f(ln 2+ln 5,ln 3+ln 5)>eq \f(ln 2,ln 3),答案不唯一.]
15.解 (1)由不等式的解集为{x|-1<x<1},可知方程x2-ax-x+b=0的两根为-1和1,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a+1=-1+1=0,,b=-1,))
解得a=-1,b=-1.
(2)由b=a,原不等式可化为x2-(a+1)x+a<0,因此(x-a)(x-1)<0.
当a<1时,原不等式等价于a<x<1,
即不等式的解集为{x|a<x<1};
当a=1时,原不等式等价于(x-1)2<0,不等式的解集为∅;
当a>1时,原不等式等价于1<x<a,
即不等式的解集为{x|1<x<a}.
综上,当a<1时,不等式的解集为
{x|a<x<1};
当a=1时,不等式的解集为∅;
当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a}.
16.解 (1)由不等式x2-x-12=(x-4)(x+3)≤0,解得-3≤x≤4,
可得A={x|-3≤x≤4},
当m=2时,不等式
x2-2x-3=(x-3)(x+1)≤0,
解得-1≤x≤3,
即B={x|-1≤x≤3},
可得∁RB={x|x<-1,或x>3},
所以A∩(∁RB)={x|-3≤x<-1,
或3<x≤4}.
(2)由不等式x2-2x+1-m2=(x-m-1)(x+m-1)≤0(m>0),
解得1-m≤x≤1+m,
所以B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.
若选择条件①,则集合A是B的真子集,
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1-m≤-3,,m+1≥4,,m>0,))解得m≥4.
当m=4时,B={x|-3≤x≤5},AB,符合题意.
所以存在满足条件①的实数m,此时m的取值范围为[4,+∞).
若选择条件②,则集合B是A的真子集,
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1-m≥-3,,m+1≤4,,m>0,))解得0<m≤3.
当m=3时,B={x|-2≤x≤4},则BA,符合题意.
所在存在满足条件②的实数m,此时m的取值范围为(0,3].
若选择条件③,则集合A=B,
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1-m=-3,,m+1=4,,m>0,))无解,
所以不存在满足条件③的实数m.
17.解 (1)不等式可化为2|x-1|>2|x+m-1|,
故|x-1|>|x+m-1|,
两边同时平方可得:2mx<2m-m2.
∵原不等式的解集为{x|x<0},故m>0,
即x<1-eq \f(m,2),故1-eq \f(m,2)=0,m=2.
(2)∵f(a)=f(b),
∴2|a-1|=2|b-1|,
即|a-1|=|b-1|.
∵a<b,∴(a-1)+(b-1)=0,即a+b=2,
∴eq \f(4,a)+eq \f(1,b-1)=(eq \f(4,a)+eq \f(1,b-1))[a+(b-1)]=5+eq \f(4(b-1),a)+eq \f(a,b-1)≥5+2eq \r(4)=9,
当且仅当eq \f(4(b-1),a)=eq \f(a,b-1),
即a=eq \f(2,3),b=eq \f(4,3)时取“=”,
∴eq \f(4,a)+eq \f(1,b-1)的最小值为9.
18.(1)解 因为一次喷洒4个单位的净化剂,所以其浓度为
f(x)=4y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(64,8-x)-4,0≤x≤4,,20-2x,4<x≤10,))
当0≤x≤4时,由eq \f(64,8-x)-4≥4,解得x≥0,此时0≤x≤4;
当4<x≤10时,由20-2x≥4,解得x≤8,此时4<x≤8,
综上0≤x≤8,所以若一次喷洒4个单位的消毒剂,则有效杀灭时间可达8小时;
(2)设从第一次喷洒起,经x(6≤x≤10)小时后,其浓度为
g(x)=2(5-eq \f(1,2)x)+a(eq \f(16,8-(x-6))-1)
=10-x+eq \f(16a,14-x)-a
=14-x+eq \f(16a,14-x)-a-4,
因为14-x∈[4,8],a∈[1,4],
所以14-x+eq \f(16a,14-x)-a-4
≥2eq \r((14-x)·\f(16a,14-x))-a-4
=8eq \r(a)-a-4,
当且仅当14-x=eq \f(16a,14-x),
即x=14-4eq \r(a)时,等号成立,
所以其最小值为8eq \r(a)-a-4,
由8eq \r(a)-a-4≥4,解得24-16eq \r(2)≤a≤4,
所以a的最小值为24-16eq \r(2)≈1.6.
19.(1)解 要使f(x)=eq \r(x-1)+eq \r(3-x)-eq \f(1,2)有意义,
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-1≥0,,3-x≥0,))解得1≤x≤3.
所以D={x|1≤x≤3},
令h(x)=eq \r(x-1)+eq \r(3-x),1≤x≤3,
得h2(x)=2+2eq \r(x-1)·eq \r(3-x)
=2+2eq \r((x-1)(3-x))≤2+x-1+3-x=4,
当且仅当x-1=3-x,即x=2时取等号,则h2(x)≤4,
即h(x)=eq \r(x-1)+eq \r(3-x)的最大值为2,
所以f(x)=eq \r(x-1)+eq \r(3-x)-eq \f(1,2)的最大值为m=f(x)max=2-eq \f(1,2)=eq \f(3,2).
(2)证明 令b+c=x,c+a=y,a+b=z,
因为a,b,c是正实数,
所以x,y,z是正实数,
则a=eq \f(y+z-x,2),b=eq \f(x+z-y,2),c=eq \f(x+y-z,2),
所以g(a,b,c)=eq \f(a,b+c)+eq \f(b,c+a)+eq \f(c,a+b)
=eq \f(y+z-x,2x)+eq \f(x+z-y,2y)+eq \f(x+y-z,2z)
=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)+\f(z,x)+\f(x,y)+\f(z,y)+\f(x,z)+\f(y,z)-3))≥eq \f(1,2)·
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(\f(y,x)·\f(x,y))+2\r(\f(z,y)·\f(y,z))+2\r(\f(x,z)·\f(z,x))-3))=eq \f(3,2),
当且仅当x=y=z时取等号,此时a=b=c,
所以g(a,b,c)≥eq \f(3,2),故f(x)≤g(a,b,c).
题号
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答案
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