【高考数学】二轮优化提优专题训练：专题06 基本不等式及应用

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1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+y2−xy=1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥−2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
【答案】BC
【解析】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，x+y2−1=3xy≤3x+y22，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2−xy=1可变形为x2+y2−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2−xy=1变形可得x−y22+34y2=1，设x−y2=csθ,32y=sinθ，所以x=csθ+13sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cs2θ+53sin2θ+23sinθcsθ=1+13sin2θ−13cs2θ+13
=43+23sin2θ−π6∈23,2，所以当x=33,y=−33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．
故选：BC．
2、（2021年新高考1卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
3、（2020全国3文12）已知函数，则( )
A． 的最小值为2B． 的图像关于轴对称
C． 的图像关于直线对称D． 的图像关于直线对称
【答案】D
【解析】由题意得．对于A，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以A错误．对于B，，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，，，则，的图象不关于直线对称，所以C错误．对于D，，，所以，的图象关于直线对称，所以D正确．故选D．
4、（2020山东）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D ．
【答案】ABD
【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确，故选：ABD．
5、（2020上海13）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；，即恒成立，故B正确；当时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确，故选B．
6、（2020江苏12）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】，故，
当且仅当，即，时，取等号．∴．
7、（2020天津14）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，，
，当且仅当=4时取等号，结合，解得，或时，等号成立，故答案为：．
8、（2019天津理13）设，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，，，
则；
由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）．
故的最小值为．
题组一 运用基本不等式比较大小
1-1、（2023·云南玉溪·统考一模）（多选题）已知，且则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．
C．ab有最大值4D．有最小值9
【答案】AC
【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，找反例，当时，，，，B不正确；
C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；
D选项，，D不正确.
故选：AC.
1-2、（2023·山西·统考一模）（多选题）设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为9D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
则，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，因为，
故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为9，故C正确；
对于D，，
故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．
故选：ABC.
1-3、（2023·安徽宿州·统考一模）（多选题）已知，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式化简整理可得，构造函数利用函数单调性即可证明D错误.
【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确；
易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；
由重要不等式和对数运算法则可得：
，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；
由可得，所以，
若，即证明，即
即需证明，
令函数，则，
当时，，即在上单调递增，
所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；
当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；
综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.
故选：ABC.
1-4、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为16
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】由可得，，（当且仅当时，取等号），故A正确；
（当且仅当时，取等号），即，故D正确；
（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号），即，故B错误；
，即（当且仅当时，取等号），故C正确；
故选：ACD
题组二 运用基本不等式求函数最值
2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
2-2、（2023·天津滨海新·统考三模）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【详解】由知,
结合，以及换底公式可知，
，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
2-3、（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故选:C.
2-4、（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若，则的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
【答案】C
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
2-5、（2022年重庆市高三月考试卷）已知，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【详解】由于，，所以，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
题组三 运用基本不等式处理多元问题
3-1、【2022·广东省阳春市第一中学10月月考】已知不等式的解集为，则__________，的最小值为__________.
【答案】 ①. ②. 8
【解析】由题知，，，则，，，
，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为8.
故答案为：；
3-2、（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知，则的最小值为______________________ .
【答案】1
【分析】
先根据解，利用基本不等式求得的最小值为9，再由，利用对勾函数的性质求解.
【详解】
解：因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
，
令，
因为在上递增，
所以，
故答案为：1
3-3、(2022·江苏南通如东县期中)已知a＞0，b＞0，c＞0，eq a\s\up6(2)－ab＋9b\s\up6(2)－5c＝0，当eq \f(c,ab)最小时，eq x\s\up6(2)－3x≥a＋b－\f(1,3)c恒成立，则x的取值集合是 ▲ ．
【答案】{x|x≤－1或x≥4}
【解析】由题意可知a＞0，b＞0，c＞0，a2－ab＋9b2－5c＝0，等式两边同除ab，可得eq \f(a,b)－1＋eq \f(9b,a)＝eq \f(5c,ab)，所以eq \f(a,b)－1＋eq \f(9b,a)≥2EQ \R(,\F(a,b)·\F(9b,a))－1＝5，(当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)时等号成立)，故eq \f(c,ab)的最小值为1(a＝3b)，所以c＝ab＝3b2，则a＋b－eq \f(1,3)c＝4b－b2，所以a＋b－eq \f(1,3)c的最大值为4，故x2－3x≥4，解得x≤－1或x≥4
题组四 不等式的综合运用
4-1、（2023·安徽淮北·统考一模）（多选题）已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.
【详解】是的边上的一点（不包含顶点），则有，
得，即，
又，∴，
可得，，，，，
所以A选项正确，B选项错误；
，当且仅当时等号成立，所以，C选项错误；
，D选项正确.
故选：AD.
4-2、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则 的最小值是（ ）
A．2B．C．D．不存在
【答案】B
【分析】
由等比数列通项公式及等差中项的性质可得，进而有，利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号是否成立.
【详解】
由题设，若公比为且，则，
所以，
由，则，故，可得，
所以，而，故等号不成立，
又，故当时，当时，
显然，故时最小值为.
故选：B
4-3、（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为________.
【答案】
【分析】
先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】
由正态分布的对称性可知：，解得：，
因为，所以，由基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以不等式得最小值为
故答案为：
4-4、（2022·河北保定·一模）（多选题）下面描述正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．函数，若，且，则的最小值是
C．已知，则的最小值为
D．已知，则的最小值为
【答案】AC
【分析】
对于选项A，利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用对勾函数的单调性求解判断；C，用“1”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D，将，转化为，利用二次函数的性质求解判断.
【详解】
对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；
对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；
对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，
故选：AC．
1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则的最小值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】，故，，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.
故选：D.
2、（2022年辽宁抚顺市高三月考模拟试卷）对任意的正实数，，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】依题意得恒成立，
因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故选：B
3、（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
4、（2023·重庆·统考三模）（多选题）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．的取值范围是
C．的最小值是D．的最小值是3
【答案】BC
【详解】对于A，因为，，
所以，当且仅当时取等号，
由，
即，解得，
即，A错误；
对于B， 由，,，
当且仅当时取等号，
得，
所以,
又，
所以，即，
故B正确；
对C选项，因为，,，
得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，C正确，
对于D, C选项知：，
则 ，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故D错误；
故选：BC.
5、（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
6、（2023·云南红河·统考一模）（多选题）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.
【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：BC．
7、（2022年重庆市永川北山中学高三月考试卷）已知为正实数，直线与曲线 相切，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【详解】解：由得；由得；
因为直线与曲线相切，
令，则可得，代入得；
所以切点为．则，所以．
故，
当且仅当时等号成立，此时取得最小值2．
故答案为：．