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沪教版(2020)必修第二册第9章 复数9.1 复数及其四则运算精品ppt课件
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添加负整数,在整数集内方程的根为x=-4.
在自然数集内解方程x+4=0.
在整数集内解方程3x-2=0.
在有理数集内解方程 x2-2=0.
数集从自然数集扩充到了实数集
问题1:一元二次方程 在实数集中有解吗?
1.复数的概念 形如 的数叫做复数(cmplex number), 全体复数所组成的集合叫做复数集(set f cmplex numbers) ,记作C.
2.复数的表示(代数)形式
复数通常用字母 z表示,即
规定:(1)i2=-1; (2)实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与 乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
把下列式子化为 a+bi(a、bR)的形式,并分别指出它们的实部和虚部。4-2i =_________________;-3i =_________________; 0=_________________
复数 a+bi(a、bR)可以是实数吗?
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系?
解:实数有4,0 ,虚数有 纯虚数是
例2.实数m取何值时,复数 (1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
当a为何实数时,复数 是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数.
(2)因为复数 为纯虚数,所以
a = 0 是 z = a + b i(a,bR)为纯虚数的 条件.
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.
若a、b、c、d∈R, a+bi=c+di的充要条件为
任意两个复数可以比较大小吗?
如果是虚数则不能比较大小,但是两个实数可以比较大小。
解:由复数相等的充要条件,得
例3 已知 ,其中x、y∈R , 求x与y的值。
若关于 的方程 有实根,求实数 的值.
复数起源于代数,成熟于几何,是代数与几何的结合体.
设a+bi和c+di是任意两个复数,我们定义复数的加法、减法如下:
(a+bi)±(c+di)=
复数的加减法与合并同类项类似.
例1 计算:
两个复数的和(或差)仍然是一个复数,它的实部为原来两个复数的实部与实部的和(或差),它的虚部为原来两个复数的虚部与虚部的和(或差).
(a±c)+(b±d)i.
复数的加法是否满足交换律和结合律呢?
左,右都等于2-i,等式成立.
左,右都等于4-2i,等式成立.
2.复数加法的交换律、结合律
复数是代数与几何的结合体,可以表示为复平面内的向量,那么复数的加减法与向量的加减法是否具有一致性呢?
3.(1)复数加法的几何意义
3.(2)复数减法的几何意义
复数的乘法与多项式的乘法类似,但要用i2=-1进行化简,并把实部与虚部分别合并.
设a+bi和c+di为任意两个复数,我们定义复数的乘法如下:
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,
计算下列各式,你能发现其中有什么规律吗?
我们可以发现,每一小题的两个复数,都满足:它们的实部相等,虚部互为相反数,而且它们的乘积都是一个非负实数.
i的正整数指数幂的运算规律
实数的除法是实数的乘法的逆运算,类似地,复数的除法也是复数乘法的逆运算.
与分母有理化的方法类似,将两个复数相除的分母实数化;
复数的除法与分母有理化的方法类似.即:将分母实数化,用分母的共轭复数同乘分子分母,再进行运算.
(2)共轭复数的简单性质:
例4.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是_____.
解:∵z=i(i+1)=i2+i=-1+i,
∴复数z的共轭复数是-1-i.
1.复数的加减法法则:
2.复数的乘法法则:
3.复数的除法法则:
(与合并同类项类似).
(与多项式乘法类似).
(与分母有理化类似),关键是将分母实数化.
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