甘肃省民乐县第一中学2024-2025学年高三上学期11月月考模拟测试一数学试题

这是一份甘肃省民乐县第一中学2024-2025学年高三上学期11月月考模拟测试一数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
4．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
7．已知，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（ ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）
A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是
B．保持与垂直时，点的轨迹长度为
C．若保持，则的轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面为直角梯形
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则
B．已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C．已知点G为三条边的中线的交点，则
D．已知，则在上的投影的坐标为
10．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
11．设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的外接圆的面积是
C．的面积的最大值是D．的取值范围是
三、填空题
12．已知是虚数单位，化简的结果为 ．
13．已知实数，满足，，则 ．.
14．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)如图，为内一点，且，证明：．
16．设数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，.
(1)若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值；
(2)求平面和平面的夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由.
18．已知函数，其中.
(1)证明：当时，；
(2)若时，有极小值，求实数的取值范围；
(3)对任意的恒成立，求实数的取值范围.
如图，曲线上有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．
(1)求的值；
(2)求出的通项公式；
(3)设曲线在点处的切线斜率为，求证：
参考答案：
11．A【详解】若，，使成立，
则在上的取值范围要包含上的取值范围，
当时，，，
当时，，，
当时，，不合题意，
当时，，函数在单调递增，
则时，，符合题意，
当时，我们进行如下讨论，
若时，，函数在单调递减，
若时，，函数在上单调递增，
当时，函数取最小值，最小值为，，
所以，解得，所以，
综上的范围是.故选：A.
2．B【详解】对于A，将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形，
连接，则，故A错误；
对于B，如图：
平面，平面，所以，又，
，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可得，，平面，所以平面．
所以过点作交于，过作交于，
由，可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又，平面，则平面平面．
设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，
由点在棱上，且，可得，
连接，则，所以，又，所以，
所以，故B正确；
对于C，如图：
若，则在以为球心，为半径的球面上，
过点作平面，则，
此时．
所以点在以为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为．
点的运动轨迹长度，故C错误；
对于D，如图：延长交于点，连接交于，连接，
所以平面被正方体截得的截面为．
，所以，
，所以，
所以，所以且，
所以截面为梯形，，
所以截面为等腰梯形，故D不正确．故选：B．
11．BCD【详解】对于A项，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，故A项错误．
对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
则的外接圆的面积是，故B项正确．
对于C项，由余弦定理可得，即①．
因为②，当且仅当时，等号成立，
所以由①②得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，则C项正确．
对于D项，由正弦定理可得，则，，
所以
又因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故D项正确．
故选：BCD.
12．/
13．1【详解】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，解得，，∴．故答案为：.
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．故答案为：．
15【详解】（1）解：，
∴由正弦定理得，整理得．
∴由余弦定理得，
又．
（2）设．
在中，由余弦定理可得，
，整理得，
即：，解得：或，
由题易知舍去，下证即可得证明.
在中，，即．
∴结合（1）有，
故，即．证毕.
16【详解】（1）因为，所以当时，，
所以，即.
当时，，解得，
则是首项为1，公比为3的等比数列，
故．
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，.
当为奇数时，
，
当为偶数时，
.
综上，.
17.【详解】（1）解：取中点，连接，，因为，所以
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
又因为平面，平面，所以，，
因为，，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则O0,0,0，A1,0,0，，，，P0,0,1，，，可得，，
设异面直线，所成角为，则.
所以异面直线，所成角的余弦值为.
（2）解：由（1）得，.
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
因为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
（3）解：设是棱上一点，则存在使得，
设，则，，
所以.所以，，，
所以.所以，
因为，，且，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量.
若平面，则，所以，此时方程组无解，
所以在棱上不存在点，使得平面.
18【详解】（1）因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知hx在0,+∞内单调递增，则，
当，即时，则hx>0对任意恒成立，即f'x>0，
可知在0,+∞内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则hx在0,+∞内存在唯一零点，
当时，hx0；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为1,+∞.
（3）令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知Fx在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
19【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，
即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，
，整理得，解得，
所以，.
（2）令为数列的前n项和，是正三角形，点，
，于是点在曲线上，
则，即，当时，，
两式相减得：，整理得，
则，而满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
（3）由（2）知，当时，，
则点的横坐标，显然满足上式，因此，
由求导得，，于是，
当时，，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
B
D
B
A
B
ACD
ABC
题号
11









答案
BCD