甘肃省民乐县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省民乐县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知点，，向量，若⊥，则实数y的值为（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】由垂直向量的坐标表示求接即可得出答案.
【详解】因为，，所以，向量，
若⊥，则，
解得：
故选：D.
2. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 17B. 16.5C. 16D. 15.5
【答案】B
【解析】
【分析】由给定平均数求出，再由第60百分位数的定义求解即可.
【详解】由数据的平均数为16，得，解得，
由，得数据的第60百分位数为.
故选：B
3. 已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量线性运算法则进行计算.
【详解】依题意得，
因为，
所以.
故选：C.
4. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理得，
化简得，故，
从而的形状为钝角三角形，
故选：B.
5. 已知是第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正切公式可得：，结合的范围，即可得解的值．
【详解】解：，，
可得：，整理可得：，
解得：，或，
是第二象限角，
，，
，故．
故选：A．
6. 如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意，，，
所以，
所以
.
故选：A．
7. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可.
【详解】因为，所以由正弦定理可得：，
所以，
即，
又因为，，所以，
故，解得，
又因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
8. 设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可.
【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即.
当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时.
当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以最小值为.
的最大值为，最小值为，它们的差为.
故选：D.
二、多选题
9. （多选）在中，，则角A为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由正弦定理可得.结合，即可求解.
【详解】在中，由正弦定理，得.
因为，，所以或.
故选：AB.
10. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A. 向量，不可能垂直B. 向量，不可能共线
C. 不可能为3D. 若，则在上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D.
【详解】由题意知，.
对于选项A，若向量，则，即，
显然此式能成立，故A错；
对于选项B，若向量，则有，即，
即，显然此式不成立，故 B正确；
对于选项C，，
则当时，，故C错；
对于选项D，若，则，，
则在上的投影向量为，故D 正确.
故选：BD
11. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 的最小正周期为
C. 在上单调递增
D. 把图象上点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到的函数解析式为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，由正弦与余弦函数奇偶性可判断选项正误；
对于B，由二倍角正弦公式化简后可求最小正周期；
对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；
对于D，由三角函数图象变换知识结合诱导公式可判断选项正误.
【详解】对于A，函数定义域为，
有，所以是奇函数，A正确；
对于B，，最小正周期为，故B错误；
对于C，因
则，故C错误；
对于D，由C，图象上点的横坐标缩短为原来的倍对应解析式为：
，再向左平移个单位长度得到的函数解析式为：
可知D正确.
故选：AD.
三、填空题
12. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的中位数的估计值分别为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先计算面积确定中位数所在的区间，再利用公式求出中位数.
【详解】前两个矩形的面积为，
前三个矩形的面积为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5，
所以中位数在区间，设中位数为，
由题得，解之得.
∴中位数的估计值为.
故答案为：.
13. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为_______m．（，结果精确到0.1）
【答案】13.8
【解析】
【分析】分别在两个直角三角形中，利用三角函数求得和,再求和即可.
【详解】根据题意得，在中，，,
在中，,,
.
故答案为：13.8
14. 若方程在的解为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先求得，然后根据的关系式以及二倍角公式求得.
【详解】由于，所以，
由于，所以，
根据正弦函数的性质可知，
且，，
所以
.
故答案为：
四、解答题
15. （1）已知，为锐角，且，，求的值；
（2）化简求值.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系求出以及，再利用两角差的正弦公式即可求得答案.
（2）利用切化弦以及三角恒等变换化简求值，即可得答案.
【详解】（1）因为为锐角，所以，
由，得，
而，所以.
因为，所以，
所以，
所以
.
（2）
.
16. 设向量，，．
（1）求的单调递减区间；
（2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间；
（2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【小问1详解】
由题意得
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为为锐角三角形，由得，
由可得，
所以，故，
在中，由正弦定理得，所以，
所以①，
由余弦定理得，得②，
由①②解得，
所以的面积为.
17. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.

（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
（2）国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
【答案】（1）720 （2）该校需要增加初中学生课外阅读时间，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样的抽样比可知抽取的初高中生的人数，根据频率分布直方图可得比例，即可求解人数，
（2）由频率分布直方图计算平均数即可与30比较大小，即可作答.
【小问1详解】
由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人．
初中生中，课外阅读时间在[30，40）小时内的频率为:
，学生人数约有人．
高中生中，课外阅读时间在[30，40）小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内学生总人数为人．
【小问2详解】
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，
该校需要增加初中学生课外阅读时间．
18. 已知，记在方向上的投影向量为．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】（1）先将求出来，后按照求模长公式求即可.
（2）与夹角为锐角，则，再排除同向共线的即可．
【小问1详解】
与的夹角为，
在方向上的投影向量．
【小问2详解】
与的夹角是锐角，
，且与不能同向共线，
即，
当与同向共线时，设，得.
且．
19. 在中，角所对的边分别为.
（1）若，求的面积S；
（2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积.
（2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值.
【小问1详解】
由，
得
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
【小问2详解】
因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.