苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程随堂练习题

这是一份苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程随堂练习题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若方程的两根分别为和，则的值是( )
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是（ ）
A．－2B．2C．3D．1
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1B．（x﹣3）2＝10C．（x＋3）2＝1D．（x＋3）2＝10
6．下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（ ）
①，②，③，④
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m+3=0有两个不等的实根，则m的取值范围（ ）
A．m＜B．m＜且m≠1C．m≤且m≠1D．m＞
8．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
9．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
11．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A．B．1C．2D．
12．用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝5B．（x+4）2＝21C．（x﹣4）2＝14D．（x﹣4）2＝8
二、填空题
13．一元二次方程的解是 ．
14．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 .
15．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手次．若设参加此会的学生为名，则可列方程为 ．
16．如果是关于的一元二次方程，那么的值为 ．
17．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡42张，则这个小组有 人．
三、解答题
18．（1）解方程：；
（2）化简：
19．（1）解方程：．
（2）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
①画出绕原点顺时针旋转90°后的．
②写出图中点和点的坐标．
20．某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？
21．阅读以下信息，探索完成任务．
22．某商场购进一批单价为280元的商品，当按单价360元销售时，一个月内可售出60件．为了扩大销售，商场决定降价促销，调查发现当销售单价每降低1元，销售量相应增加5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少？
（2）要使销售利润达到为7200元，且有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23．已知关于的一元二次方程
求证：方程有两个不相等的实数根；
若ΔABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长是为何值时，ΔABC为等腰三角形?
24．关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)已知方程有一根大于3，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】A、不是整式方程，不属于一元二次方程；
B、含有两个未知数，不属于一元二次方程；
C、未知数的最高次数是3，不属于一元二次方程；
D、化简后为符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．
2．C
【详解】试题分析：因为和是的两个根，
所以，，
.
考点：一元二次方程根与系数的关系.
3．A
【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选：A．
4．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝−代入求解即可．
【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝3．
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握x1＋x2＝−、x1x2＝是解题的关键．
5．B
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】方程移项得：x2－6x＝1，
配方得：x2－6x＋9＝10，即（x－3）2＝10，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．A
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可．
【详解】解：①是一元二次方程，②含有两个未知数，不是一元二次方程，③不是整式方程，不是一元二次方程，④当时，不是一元二次方程；
综上：是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是1个；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．
7．B
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵方程有两个不等的实数根，
∴m-1≠0且，
解得：且．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△＞0列出关于m的不等式是解题的关键．
8．C
【分析】根据配方法的步骤进行即可．
【详解】解：变形为：，
配方得：，
即；
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式和配方法的步骤并正确配方是关键．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为：．
【详解】、中，最高次数为，此选项不符合题意；
、是二元一次方程，此选项不符合题意；
、不是整式方程，此选项不符合题意；
、是一元二次方程，此选项符合题意；
故选：．
10．A
【分析】通分：，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解： 由韦达定理：，可得
，
故选：A ．
【点睛】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用，检验学生对一元二次方程根与系数的关系知识点的掌握情况．
11．A
【分析】将代入方程，结合，进行求解即可．
【详解】解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，即，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．
12．C
【分析】按照配方法的过程进行配方，即可得出答案．
【详解】解：x2﹣8x+2＝0，
x2﹣8x＝﹣2，
x2﹣8x+16＝﹣2+16，
（x﹣4）2＝14，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法——配方法. 掌握配方法的步骤是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴
故答案为：．
14．且
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△,然后求出两个不等式的公共部分即可.
【详解】根据题意得且△,
解得,且.
故答案是: 且.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.
15．
【分析】参加此会的学生有名，则每名同学需握手次，名同学一共握手次，而两名学生握手一次，所以应将重复的握手次数去掉，由此可列出方程
【详解】解：设参加此会的学生为名，则可列方程为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
16．2
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得的取值范围．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
17．7
【分析】设这个小组有x个人，则每个人送出张，然后建立方程求解．
【详解】设这个小组有x个人，由题意得：
解得（舍去）
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据每个人送出张建立方程是解题的关键．
18．（1）或；（2）
【分析】（1）因式分解后令每个因式都为0，计算求解即可；
（2）平方差公式，完全平方公式化简求解即可．
【详解】（1）解：
∴或
解得或
∴方程的解为或．
（2）解：
∴原式．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，用平方差，完全平方公式化简．解题的关键在于对知识的灵活运用．
19．（1），；（2）①见解析；②，
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）①找到绕原点顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；②根据直角坐标系中点和点的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：
解得，
（2）①如图，
②，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，画旋转图形，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
20．这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元
【分析】设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，由题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵售价在25元至40元范围内，
∴；
答：这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
21．任务一：平均增长率为；任务二：该手工作品应定价为50元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x，根据题意，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设该手工作品的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合题意，即可确定结论．
【详解】解：（1）设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x，
由题意得，
解得或（舍去）．
答：手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为；
（2）设该手工作品应该定价为m元，
由题意得，
整理得，
解得或．
∵要尽可能让更多的人能够献出爱心，
∴．
答：该手工作品应该定价为50元．
22．（1）4800元；（2）60元
【分析】（1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：（1）由题意，得60（360-280）=4800元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，
由题意，得（360-x-280）（5x+60）=7200，
解得：x1=8，x2=60．
∵有利于减少库存，
∴x=60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
23．（1）详见解析；（2）k=7或8时，ΔABC为等腰三角形
【分析】（1）先计算出△，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论：，，当或时ΔABC为等腰三角形，然后求出的值．
【详解】（1）证明：a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k，
∴△，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程的解为，
即，，
，
．
当，，且时，ΔABC是等腰三角形，则；
当，，且时，ΔABC是等腰三角形，则，解得，
所以的值为8或7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
（1）先计算判别式，再配方得到，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先根据公式法计算出，，则，求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵
，
无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：由（1）得，
，
，，
方程有一根大于3，
，
解得：．
凤凰快讯1
“乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学每月举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，随着同学们的技术变得娴熟，该手工作品9月份生产100个，11月份生产144个．
凤凰快讯2
该手工作品的生产成本为30元/个，义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
求手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率；
任务2
若该的月捐出善款（去除成本后）10000元，而且尽可能让更多的人能够献出爱心，请问该手工作品应该定价为多少元？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
C
B
A
B
C
D
A
题号
11
12








答案
A
C