人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列课后复习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列课后复习题，共11页。试卷主要包含了等差数列有关公式，等差数列常用结论，．等差数列与函数关系，5B．8C．12D．16等内容，欢迎下载使用。
综述
1.等差数列有关公式：
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
2.等差数列常用结论：
若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：
(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；
(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列；
(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列；
(4)数列{eq \f(Sn,n)}是公差为eq \f(d,2)的等差数列，其通项公式eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))；
3.．等差数列与函数关系：
(1)经整理an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)；
(2)经整理Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
【题型一】等差数列概念及公式
【典例分析】
已知数列，，均为等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（ ）
A．数列是公差为d的等差数列
B．数列是公差为cd的等差数列
C．数列是首项为c的等差数列
D．数列不是等差数列
2.在等差数列中，若公差为，、为数列的任意两项，则当时，下列结论：
①；②；③；④．
其中必定成立的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型二】首项公差列方程型
【典例分析】
在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．33B．30C．27D．24

【变式训练】
1.已知是等差数列，，，则公差为（ ）
A．6B．C．D．2
2.等差数列满足，，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
3.在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18B．19C．20D．21

【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型
【典例分析】
等差数列中，若，则（ ）
A．42B．45C．48D．51

【变式训练】
1.在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
2.等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8=（ ）
A．45B．75C．180D．300
3.等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（ ）
A．20B．22C．24D．8
【题型四】“高斯技巧”2：奇数项和型
【典例分析】
.在等差数列中，已知前21项和，则的值为（ ）
A．7B．9C．21D．42
【变式训练】
1.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．4
2.已知等差数列，其前项和为，，则（ ）
A．B．C．D．
3.设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．45C．D．90
【题型五】“高斯技巧”3：首尾和
【典例分析】
已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12B．14
C．16D．18
【变式训练】
1.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．3B．5C．6D．10
2.等差数列中，，则此数列的前项和等于（ ）
A．160B．180C．200D．220
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，am﹣1+am+am+1＝27，且Sm＝45，则m＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
【题型六】比值型1：首项公差不定方程
【典例分析】
设为等差数列的前项和，若，则________．
湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题

【变式训练】
1.已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
2.设等差数列的前项和为.若，则（ ）
A．B．C．D．
3.已知等差数列前n项和为，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【题型七】比值型2 ：双数等差中项型
【典例分析】
设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A．B．C．D．

【变式训练】
1.设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（ ）
A．B．C．D．
2.等差数列、的前项和为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.设，分别是等差数列，的前项和，若，则
A．2B．3C．4D．6
【题型八】比值型3：双数列下标不一致型
【典例分析】
设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．

【变式训练】
1.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知均为等差数列的与的前n项和分别为，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.设等差数列，的前n项和分别是，若，则（ ）
A．1B． C． D．2
【题型九】比值型4：整数型
【典例分析】
已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为___________.
【变式训练】
1.已知等差数列和等差数列的前n项和分别为，且，则使为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2B．6C．4D．5
2.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，_____，为整数的正整数的取值集合为_______．
3.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数k的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型十】前n，2n，3n项和应用
【典例分析】
在等差数列中，前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
2.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3.已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（ ）
A．8B．9C．16D．18
【题型十一】数列实际应用题
【典例分析】
北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（ ）
A．782B．822C．780D．820
【变式训练】
1.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（ ）
A．5.5B．8C．12D．16
2.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ）
A．32石B．40石C．48石D．56石
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．已知是等差数列，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
2．设等差数列的前项和为，若，则＝（ ）
A．60B．62C．63D．81
3．已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（ ）
A．21，28B．22，29C．23，39D．24，40
6．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）
A．183B．125C．162D．191
7．在等差数列中，已知，那么等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（ ）
A．55B．50C．45D．10
9．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知是数列的前n项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．325B．326C．327D．328
培优第二阶——能力提升练
1．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36B．45C．63D．75
2．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（ ）．
A．6923B．6921C．8483D．8481
4．已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前n项和为，则______．
7．等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
8．已知为数列的前项和，数列是等差数列，若，，则___________.
9．正项等差数列的前和为，已知，则=__________.
10．已知等差数列的前项和为，若，则__________.
培优第三阶——培优拔尖练
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.
2．若周长为15的三角形的三边成等差数列，最大内角为120°，则三角形的面积是__________．
3．已知点P在双曲线上，分别是双曲线E的左、右焦点，若是的等差中项，且的面积为（c为双曲线E的半焦距），则双曲线E的离心率为__________．
4．若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是______________．
5．给出数列如下：，…，，…，则该数列的第2022项为_______.
6．设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是______．①；②；③；④．
7．设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于、两点．若，，成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为_____________．
8．已知数列中，，，若，则______．
9．已知数列，均为等差数列，且，，，，则________.
10．数列是公差不为零的等差数列,其前n项和为,若记数据的方差为,数据的方差为,则______.
【提分秘籍】
基本规律
等差数列有关公式：
通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2)
【提分秘籍】
基本规律
等差数列基础思维：可以设首项a1与公差d为变量，列出关于首项a1与公差d的方程进行求解
【提分秘籍】
基本规律
高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+…+100的计算方法。它体现了一下几方面的等差数列思想
1.倒序求和思想。
2.等差中项思想
3.下标和思想：：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an
【提分秘籍】
基本规律
利用“高斯技巧”，可得等差数列奇数项和公式：
【提分秘籍】
基本规律
利用通项或前n项和公式，转化出关于首项和公差的比值关系（不定方程），代入即可化简求比值
【提分秘籍】
基本规律
双等差数列：
等差数列和的前项和分别为和，则
【提分秘籍】
基本规律
任一等差数列的前n项和，可以有函数关系：
Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)。
所以，等差数列和的前项和分别为和，可以利用等差数列前n项和为一元二次型（既约型）
【提分秘籍】
基本规律
一般比值正数型，主要以分离常数为处理技巧。
【提分秘籍】
基本规律
等差数列前n项和有“分段等差”性质：
数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列
窗口
1
2
过道
3
4
5
窗口
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
…
…
…
…