高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列同步训练题

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【题型一】等差数列前n项和对称性
【典例分析】
在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】根据等差数列前n项和的函数特征，即可根据对称性求解.
【详解】设等差数列的首项和公差分别为，则，
所以可看成关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，
可得，解得k＝2022．故选：C
【变式训练】
1.已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（ ）
A．4或5B．5或6C．4D．5
【答案】A
【解析】由，可得，从而得，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】解：设递减的等差数列的公差为（），
因为，所以，化简得，
所以，对称轴为，因为，，
所以当或时，取最大值，故选：A
2.记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（ ）
A．12B．12或11C．11或10D．10
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为，由，可解出值为－2，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时n的值可确定.
【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12.
3.已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意判断出，即可得到答案.
【详解】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.
故选：B
【题型二】通项公式线性（零点正负）
【典例分析】
在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列，，，可以求出，且，，，从而判断出，，的正负，选出正确答案.
【详解】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，。故选：B
【变式训练】
1.数列中，已知，该数列中相邻两项积为负数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】C
【分析】根据题意得，进而求出即可求解
【详解】由题意得，
解得，又，∴，∴满足条件的相邻两项为，．
故选：C
2.首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求解即可
【详解】由等差数列的通项公式可得：，∵从第10项开始为正数，∴，解得，∴公差的取值范围是，
故选：D.
3.数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合等差数列的知识求得数列的通项公式，从而判断出正确答案.
【详解】依题意，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
由得，所以。故选：C
【题型三】等差数列不等式范围
【典例分析】
设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
【答案】D
【分析】根据题意，由等差数列的性质及前项和公式依次分析选项，综合即可得出答案．
【详解】解：由题意，又，所以，故选项正确；
由，且，，，得，解得，选项正确；
由题意当时，，当时，，
所以，，故时，的最大值为10，故选项错误；
由于，数列是递减数列，当时，，当时，；
当时，，当时，，
所以当时，，当时，，当时，，
故数列中最小的项为第6项，选项正确．故选：．
【变式训练】
1.的前n项和为，若是公差为d（）的等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，对于AB，令，可得，即，由于正负不确定，无法比较大小；对于CD，令，可得，即，令，可得，即，作差法比较，进而得到选项.
【详解】是公差为d（）的等差数列，其首项为。，即
对于AB，当时，，整理得：，即
当时，；当时，；故AB错误；
对于CD，当时，，整理得：，又，
，
当时，，整理得：，即
，
显然为减函数，且，
又，，即，故D正确；故选：D
2.设等差数列的前n项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，再根据
立方和公式可得进而求得，再根据等差数列的
前n项和性质结合一正一负判断即可.
【详解】，，，设，则，
化为，，
，，
又说明 一正一负 ，而 ， ，
说明 ，。故选：D.
3.．设函数，数列满足，若是等差数列.则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】作出函数图象，讨论的范围，根据，再讨论公差的范围，判断是否满足等差数列，得出答案.
【详解】画出函数的图象如如图所示.
当时，，，…
数列是首项为，公差为-4的等差数列，符合题意；
当时，因为是等差数列，若其公差，则，使得，这与矛盾；
若其公差，则，解得或.则当时，为常数列.
当时，为常数列，此时为等差数列，符合题意；
若其公差，则，使得且，则等差数列的公差必为-4，因此，∴，解得(舍去)或.
又当时，这与是等差数列矛盾.
综上所述，的取值范围是.故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查等差数列与函数的综合问题，关键在于运用函数的图象，值域，以及等差数列的定义及性质，讨论首项，公差的范围，问题得以解决.
【题型四】最值与范围1：通项最值
【典例分析】
数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造法求的通项公式，再用累加法求出的通项公式即可求解.
【详解】由得，，
即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，
所以，所以，
对称轴，所以当或8时，有最小值为.故选:D.
【变式训练】
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S130，a70，根据公差d0，S130，a70，a6>|a7|，且公差d