高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教学设计及反思，共6页。教案主要包含了核心概念，评价自测，典例分析，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.理解充要条件的意义.
2.理解数学定义与充要条件的关系.
教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．
教学难点：判断条件与结论之间的充要性．
教学过程：
一、核心概念
充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为
(sufficient and necessary cnditin)．
(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件．
(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”．
新知拓展
1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．
(3)若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
(4)若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
(5)若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．
(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
二、评价自测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“⇔”具有传递性．( )
(3)若p eq \(⇒,/)q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )
(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )
答案：（1）√、（2）√、（3）√、（4）×、（5）√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是______________________．
(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
答案：(1)x＝1或x＝2 (2)充要 (3)充要
三、典例分析
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判定
例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＝b，q：ac＝bc；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：A∩B＝A，q：.
【答案】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．
(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
题型探究
已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
【答案】作出“⇒”图，如右图所示，可知：
p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.
(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，
∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.
金版点睛：
判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．
跟踪训练1
指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(2)p：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α>2，,β>2，))q：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4；))
(3)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0.
【答案】(1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，所以A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α>2，,β>2，))根据不等式的性质可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4.))
即p⇒q，而由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4))不能推出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α>2，,β>2.))
如：α＝1，β＝5满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4，))但不满足α>2.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)由a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p是q的充要条件．
题型二 充要条件的证明
例2已知，求证：是的充要条件．
【证明】 ①充分性：
∵，∴，
∴
，即.
②必要性：∵，
∴，
∴.
∵，∴且，
∴.
∴，∴.
综上可知，当时，是的充要条件．
题型探究
已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
【证明】因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.
即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．
另一方面，若a4－b4－2b2＝1，
即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0，
(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.
又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件．
金版点睛：
充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.
跟踪训练2
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】①必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝eq \f(c,a)<0，∴ac<0.
②充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝eq \f(c,a)<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
题型三 探求充要条件
例3求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
【答案】①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－eq \f(1,2)，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(2,a)，x1x2＝eq \f(1,a).
(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,\f(1,a)<0))⇒a<0；
(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0))⇒0综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
金版点睛：
探求充要条件的两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
跟踪训练3
已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【答案】方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1x2－1>0，,x1－1＋x2－1>0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,x1x2－x1＋x2＋1>0，,x1＋x2－2>0))
四、随堂练习
1．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件
答案：D
解析：由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析： x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的充分不必要条件．
3．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为x<－1⇒|x|>1，而|x|>1⇒x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
答案：a<0
解析：由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.
5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
证明：证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)②必要性：由eq \f(1,x)因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以eq \f(1,x)0.
证法二：eq \f(1,x)由条件x>y⇔y－x<0，故由eq \f(y－x,xy)<0⇔xy>0.
所以eq \f(1,x)0，即eq \f(1,x)0.