九年级上学期期中数学试题

这是一份九年级上学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，据此进行逐项分析，即可作答．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B
2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，可得，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3. 若是一元二次方程的两个不同实数根，则代数式的值是（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是一元二次方程的两个不同实数根得出，，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】解：是一元二次方程的两个不同实数根，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
4. 已知四条线段，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查成比例线段．熟记相关结论即可．
5. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 半圆是最长的弧；B. 平分弦的直径平分弦所对的弧；
C. 相等的弦所对的圆心角相等；D. 相等的弧所对的圆心角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、半圆不是最长的弧，原命题是假命题，不符合题意；
B、平分非直径的弦的直径平分弦所对的弧，原命题是假命题，不符合题意；
C、同圆或等圆中相等的弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意；
D、相等的弧所对的圆心角相等，原命题是真命题，符合题意；
故选D．
6. 已知二次函数的图象上有三点，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
∵三点，，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大．
7. 某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（ ）
A. 8元B. 10元C. 30元D. 10元或30元
【答案】C
【解析】
【分析】商场平均每天盈利数＝每件的盈利×售出件数；每件的盈利＝原来每件的盈利－降价数．设每件工艺品应降价元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：设每件工艺品降价元，依题意，得：
，
解得：，，
经检验：为了尽快减少库存不符合题意，应取．
∴每件工艺品应降价元．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
8. 如图，抛物线与轴交于，两点，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系结合图象依次判断即可．
【详解】解：观察图象可知：，对称轴为直线，即，
∴，
∴，故①错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
根据图象可得，抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个根，
即，
∴，故③正确；
对称轴为直线，，，
∴，
∴当时，，即，
∴，故④正确；
当时，函数有最小值，
得，
∴，
∴若m为任意实数，则，故⑤正确．
综上可知正确的有4个．
故选：D．
【点睛】本题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
9. 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（ ）

A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①
【答案】A
【解析】
【分析】设交于K，由及将绕点B按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确．
【详解】解：设交于K，如图：

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵将绕点B按顺时针方向旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，故②正确；
如图，过点D作于H，

∵，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10. 如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆， E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（ ）

A 2B. 3C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点D作关于直线的对称点F，连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，过点D作关于直线的对称点F，

连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，
因为四边形是矩形，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值为4，
故选∶C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 方程的实数解是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
∴．
12. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时，__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时和当时的函数值相同，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
∴当时，，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，熟知抛物线关于对称轴对称的两点的函数值相同是解题的关键．
13. 已知半径为3的中，弦，弦，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论：当与在点的两旁．由，，得到为等边三角形，则，又由，，过O作，垂足为D，根据勾股定理求出，继而判断出，所以；同理可得当与在点的同旁．有．
【详解】解：如图1，当与在点的两旁．连接，，，
过O作，垂足为D，

在中，，，
为等边三角形，
；
在中，
，
，
∴，
∴，
∴，
；
如图2，当与在点的同旁．

同理可求得，，
．
综上所述：的度数为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用．
14. 如图所示，一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长x的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】解：剩下的矩形与原矩形相似，
，
一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形，
，
，
解得：（负数不合题意舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
15. 如图，在中，点E是中点，连接，交于点F，如果的面积为6，则的面积为___________.

【答案】72
【解析】
【分析】由四边形是平行四边形，易证得，又由点E是中点，的面积为6，即可根据相似三角形的面积比是相似比的平方，求得的面积，继而求得答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵的面积是6，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：72．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，熟练掌握其性质是解题的关键．
16. 如图，已知点P是二次函数图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点． 若以为直角边的与相似，请求出点P的坐标_______．

【答案】或或或
【解析】
分析】分当和，然后分别或两种情形求解即可．
【详解】解：过点P做轴，交于点H，
设点B坐标为，则直线的表达式为：,
∴，则，
①当时，
设点，
∵以为直角边的与相似，
∴，即，

由题意得：，
，解得：，，
∴点P坐标为；
当时，同理可得：点P坐标；
②当时，当时，同理：点P坐标为，
当时，同理可得：点P坐标为；
综上所述：点P的坐标为或或或．
故答案为或或或．
【点睛】本题为二次函数综合知识运用，主要三角形相似、勾股定理运用等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
三、解答题
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答．
（2）先移项，再提公因式，得，令每个因式为0，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴
则
即
解得
∴
【小问2详解】
解：
∴
∴
则或
解得
18. 已知：在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC上一点，且．

（1）求证：．
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】由题意可以得出, 又 所以 又点是的中点，即所以；
(2) 由知, 由相似三角形的性质可得 ,又且与具有相同的高和底，所以 ，代入求值.
【小问1详解】
证明: ∵是正三角形,
∴.
∵点是的中点,
∴.

∴.

∴.
【小问2详解】
∵,

又∵且与具有相同的高和底，

.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，已知其中一个三角形的面积，根据两个相似三角形的面积之比等于边之比的平方，求出另一个三角形的面积，另外同底且同高三角形的面积相等.
19. 如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．证明：E是的中点．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、等弧所对的弦相等、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理和等边三角形的判定与性质是解答的关键．先利用垂径定理证得，进而证得是等边三角形，则，根据含度角的直角三角形的性质得到即可证得结论．
【详解】证明：连接，如图，
∵直径垂直于弦于点E，
∴，
∴，
∵过圆心O的，
∴，
∴，
∴．
则是等边三角形，又，
∴，
∴在中，
∴，
∴点E为的中点．
20. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.

（1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，与平行？
（2）面积能否等于？请说明理由.
【答案】（1）秒
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设秒后，与平行，根据平行线分线段成比例可得，列方程求解即可；
（2）设，分别从，同时出发，运动秒，根据三角形的面积公式列出关于的方程，再根据一元二次方程根与判别式的关系，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设秒后，与平行，
则，，
，
，
解得：，
当，分别从，同时出发，秒后，与平行．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
设，分别从，同时出发，运动秒，
则，，
，
整理得：，
，
方程没有实数根，
的面积不能等于．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，一元二次方程根与判别式关系，三角形的面积，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
21. 为增强民众生活幸福感，县政府大力推进老旧小区改造工程．电厂小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/）与种植面积x（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/．

（1）当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时．
①求出x的取值范围；
②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【答案】（1）
（2）①；②甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用最少，最少是5800元
【解析】
【分析】（1）分两种情况，用待定系数法求出与的函数关系式；
（2）①设甲种花卉种植面积为，根据甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍列出不等式组，解之即可；②根据总费用甲种花卉种植费用乙种花卉种植费用，分两种情况列出函数关系式，求出最小值，再比较即可得答案．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，设，
把，代入得：
，
解得：，
，
；
【小问2详解】
①设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，
甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍，
，
解得，
②当时，，
，
当时，最小，最小为（元），
当时，，
，对称轴为直线，且，
时，取最小值，最小为（元），
，
当时，取最小值，最小为5800元，
此时，
答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用（元）最少，最少5800元．
【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22. 【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．

【问题解决】
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长．
【答案】（1）
（2）①四边形是正方形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；
（2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；
②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可；
【小问1详解】
，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
【小问2详解】
①四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
②过点作于点，如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型．
23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，求出点坐标，点坐标，用待定系数法求解析式即可求解；
（2）先证明，根据求出的长，从而确定点坐标，待定系数法求出的解析式，作轴，交直线于点，设，则，根据平行可得，表示出再利用，求出的值，从而得到最后结果；
（3）先证明是等腰直角三角形，根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得，的坐标，待定系数法求得，的解析式，分别求出当时的值，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴交轴于点，
抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴交于点和点，
点与点关于直线对称，
，
抛物线，
当时，，
，
设抛物线的解析式为：，过点，
，
，
；
【小问2详解】
直线轴，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
轴，
，
，
设的解析式为：，
，解得：，
，
如图：作轴，交直线于点，

设，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
当时，
，
；
【小问3详解】
，，
，
是等腰直角三角形，
，
由（2）可知，
，
，
如图，以为对角线作正方形，则，

，，
，
，
，
设，则，
解得：或，
是，两点的坐标，
，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
当，，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线解析式为，
当时，，
综上所述的坐标为或