人教版高中数学选择性必修二 精讲精练第四章 数列 章末测试(基础)(2份,原卷版+解析版)
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第四章 数列全章综合测试卷(基础篇)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分) 1.(5分)(2023春·广东佛山·高二校考阶段练习)164是数列12,14,18,116,……的( )A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项【解题思路】利用观察法分析数列的规律即可.【解答过程】观察条件式可知原数列为:12,122,123,124,……,而164=126,即为第6项,故选:A.2.(5分)(2023春·北京房山·高二统考期末)用数学归纳法证明1+12+23+3⋯n+n=2n−1n2+nn∈N∗,从n=k到n=k+1,左边需要增加的因式是( )A.2k+1 B.2k+1 C.kk+1 D.k+1k+1【解题思路】将n=k+1时左边的等式除以n=k时左边的等式即可得解.【解答过程】解:当n=k时,左边=1+12+23+3⋯k+k,当n=k+1时,左边=1+12+23+3⋯k+kk+1+k+1,所以左边应添加因式为2k+1,故选:B.3.(5分)(2023秋·江苏苏州·高二校考阶段练习)下列说法中正确的是( )A.如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列B.数列1,0,−1,−2与−2,−1,0,1是相同的数列C.数列n+1n的第k项为1+1kD.数列0,2,4,6,…可记为2n【解题思路】对A,考虑常数数列;对B,数列的项是有顺序的;对C,n=k代入,可判断;对D,考虑第一项能不能表示.【解答过程】对A,数列可为常数数列,A错误;对B,一个递减,一个递增,不是相同数列,B错误;对C,当n=k时,ak=k+1k=1+1k,C正确;对D,数列中的第一项不能用an=2n表示,D错误.故选:C.4.(5分)(2023秋·河北石家庄·高三校考阶段练习)已知等比数列an的各项均为正数,若a2=1,a8=2a6+3a4,则a9=( )A.183 B.363 C.27 D.273【解题思路】等比数列,基本量的计算,设出公比q,联立式子可求出q,a9=a2q7即可.【解答过程】设an的公比为q,则a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2.因为a8=2a6+3a4,所以q6=2q4+3q2,因为q≠0,所以q4−2q2−3=q2+1q2−3=0,所以q2=3.因为an的各项均为正数,所以q=3.因为a2=1,所以a9=a2q7=273.故选:D.5.(5分)(2023秋·天津和平·高三校考阶段练习)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )A.1011升 B.6566升 C.6766升 D.3733升【解题思路】设此等差数列为{an},公差为d,由题意列方程求出a1,d,进而得解.【解答过程】设此等差数列为{an},公差为d,由题意可得:a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,则4a1+6d=3,3a1+21d=4,联立解得a1=1322,d=766.∴a5=1322+4×766=6766.故选:C.6.(5分)(2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S4S8=14,则S16S4+S8=( )A.8 B.9 C.16 D.17【解题思路】利用等比数列前n项和的性质计算即可.【解答过程】设S4=xx≠0,则S8=4x,因为an为等比数列,所以S4,S8−S4,S12−S8,S16−S12仍成等比数列.易知S8−S4S4=4x−xx=3,所以S12−S8=3S8−S4=9xS16−S12=3S12−S8=27x⇒S12=13xS16=40x,故S16S4+S8=40xx+4x=8.故选:A.7.(5分)(2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习)在数列an中,an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1n∈N+,bn=1anan+1,则数列bn的前n项和S10=( )A.1011 B.2011 C.3011 D.4011【解题思路】由等差数列求和公式可整理得到an,进而确定bn,采用裂项相消法可求得结果.【解答过程】∵an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1=1+2+⋅⋅⋅+nn+1=nn+12n+1=n2,∴bn=1nn+14=4nn+1=41n−1n+1,∴S10=4×1−12+12−13+⋅⋅⋅+110−111=4×1−111=4011.故选:D.8.(5分)(2023秋·天津津南·高二校考期末)已知数列an满足a1+12a2+122a3+⋯+12n−1an=n,n∈N*,记数列2an−n的前n项和为Sn,则Sn=( )A.2n−n22−n2−1 B.2n+1−n22−n2−2C.2n−n22−n2 D.2n−n22−n2−3【解题思路】利用an,Sn求an通项公式,进而可得2an−n=2n−n,再应用分组求和,结合等差、等比前n项和公式求Sn.【解答过程】由题设a1=1且a1+12a2+122a3+⋯+12n−2an−1=n−1(n ≥ 2),故12n−1an=1且n≥2,所以an=2n−1,又a1=1也满足,故an=2n−1,则2an−n=2n−n,所以Sn=(2+22+...+2n)−(1+2+...+n)=2×(1−2n)1−2−n(n+1)2=2n+1−n22−n2−2.故选:B.二.多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)9.(5分)(2023秋·海南省直辖县级单位·高二校考期末)已知数列an满足an+1=11−an,若a1=12,则下列是数列an的项的是( )A.−1 B.12 C.1 D.2【解题思路】计算数列an的前四项的值,分析可知,对任意的n∈N∗,an+3=an,即可得出合适的选项.【解答过程】因为数列an满足an+1=11−an,且a1=12,则a2=11−a1=11−12=2,a3=11−a2=11−2=−1,a4=11−a3=11−−1=12,⋯,以此类推可知,对任意的n∈N∗,an+3=an,故选:ABD.10.(5分)(2023·高二课时练习)某个命题与正整数n有关,如果当n=kk∈N∗时命题成立,则可得当n=k+1时命题也成立,若已知当n=5时命题不成立,则下列说法正确的是( )A.当n=4时,命题不成立B.当n=1时,命题可能成立C.当n=6时,命题不成立D.当n=6时,命题可能成立也可能不成立,但若当n=6时命题成立,则对任意n≥6,命题都成立【解题思路】利用给定信息结合反证法的思想,逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.【解答过程】如果当n=4时命题成立,则当n=5时命题也成立,与题设矛盾,即当n=4时,命题不成立,A正确;如果当n=1时命题成立,则当n=2时命题成立,继续推导可得当n=5时命题成立,与题设矛盾,B不正确;当n=6时,该命题可能成立也可能不成立,如果当n=6时命题成立,则当n=7时命题也成立,继续推导可得对任意n≥6,命题都成立,C不正确,D正确.故选:AD.11.(5分)(2023秋·湖南株洲·高二校考阶段练习)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,若a3=12,S12>0,S130>a7判定选项D正确.【解答过程】对于选项A、C:因为S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)>0,S13=13(a1+a13)2=13a7012+4d0,故左边>右边,原不等式成立;假设当n=k时,不等式成立,即(1+x)k>1+kx,则当n=k+1时,∵x>0,∴1+x>0,在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k·(1+x)>(1+kx)·(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.即当n=k+1时,不等式也成立.综上,对一切正整数n,不等式都成立.20.(12分)(2023·贵州遵义·统考模拟预测)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且当n≥2时,2Sn=n+1an−2.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=2n+1an,求bn的前n项和Tn.【解题思路】(1)根据an与Sn之间的关系,分n=2和n≥3两种情况运算求解;(2)由(1)可得bn=1,n=11n−1n+1,n≥2,利用裂项相消法运算求解.【解答过程】(1)因为当n≥2时,2Sn=n+1an−2,且a1=1,若n=2,则2S2=21+a2=3a2−2,解得a2=4,若n≥3,则2Sn−1=nan−1−2,两式相减可得:2an=n+1an−nan−1,整理得ann=an−1n−1,即ann=an−1n−1=⋅⋅⋅=a22=2,可得an=2n;可知n=1不符合上式,n=2符合上式,所以an=1,n=12n,n≥2.(2)由(1)可得:bn=2n+1an=1,n=11nn+1=1n−1n+1,n≥2,当n=1时,则Tn=b1=1;当n≥2时,则Tn=b1+b2+b3+⋅⋅⋅+bn=1+12−13+13−14+⋅⋅⋅+1n−1n+1=32−1n+1;可知n=1符合上式,所以Tn=32−1n+1.21.(12分)(2023秋·江苏淮安·高三联考阶段练习)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn−n3an−4=12.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=1an,求证:数列bn的前n项和Tn