数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品达标测试

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三角函数的图像及性质
二．周期函数
1.周期函数概念
2.最小正周期
一．用三角函数图象解三角不等式
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集.
二．求三角函数周期
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.
三．判断函数奇偶性
(1)看函数的定义域是否关于原点对称；
(2)看f(－x)与f(x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
四．单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数．
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cs x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cs x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sin x或y＝cs x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．
五．比较三角函数值大小
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
六．求三角函数值域或最值
（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y＝asin x(或y＝acs x)的函数的最值还要注意对a的讨论.
考点一 “五点法”作图的应用
【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【例1-2】（2023秋·高一课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）；（2）；（3）.
考点二 正弦、余弦函数的周期
【例2-1】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．y＝sin xB．y＝cs x
C．y＝sinD．y＝cs
【例2-2】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023北京）下列函数中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·江西上饶·高一校联考期中）（多选）下列函数，最小正周期为的有（ ）
A．B．
C．D．
考点三 正弦、余弦函数的奇偶性
【例3-1】7．（2023春·四川眉山·高一校考期中）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数）是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)；(2)；(3).
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）函数（ ）
A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数
2．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）
A．B．
C． D．
3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A．0B．
C．D．
4．（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（多选）以下函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
考点四 正弦、余弦函数的对称性
【例4-1】（2023春·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数的图象（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
【例4-2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023云南）函数图象的一个对称中心可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川成都·高一校考期中）下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称
考点五 正弦、余弦函数的单调性
【例5-1】（2023春·重庆江津·高一校考期中）（多选）函数 在（ ）
A．区间上是增函数B．区间上是增函数
C．区间上是减函数D．区间上是减函数
【例5-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数的单调递增区间是 .
【例5-3】（2023春·广西钦州·高一校考期中）（多选）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【例5-4】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .
【一隅三反】
1．（2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）函数的一个单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·高一课时练习）函数 的单调递减区间为 .
4．（2023·全国·高一课堂例题）函数的单调递增区间为 ．
5．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点六 正弦、余弦函数的单调性的应用
【例6-1】（2023春·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例6-2】（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·广西钦州·高一校考期中），，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一假期作业）下列选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）设，则大小关系（ ）
A．B．
C．D．
考点七 正弦、余弦函数的最值(值域)问题
【例7-1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函数，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值是 ．
【例7-3】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）函数的值域为 ．
【例7-4】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）函数的最小值是 ．
3．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）函数的值域为 .
考点八 正切函数图像及性质
【例8】（2024秋·广东 ）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递减
C．
D．的定义域为
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的最小正周期是
C．函数在上单调递增
D．函数图象的对称中心是
2．（2023春·广西钦州·高一校考阶段练习）（多选）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．的定义域为
C．D．在上单调递减
3．（2023春·广东河源·高一校考阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．图象的对称中心为
D．的定义域为
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无
条件
①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0)
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
条件
如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期