高中数学第四章 数列（数列求通项） 典型例题复习原卷及解析版

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第四章 数列（数列求通项） 典型例题复习目录：题型一：①方向1：用替换②方向2：用替换③方向3：类比思路1，用前项和的等式前项和的等式，形如：题型二：累加法：形如：或题型三：累乘法：形如：或题型四：构造法：①方向1：形如：或②方向2：形如：或题型五：倒数法：形如：或题型一：法①方向1：用替换1．（2021·四川·阆中中学高二开学考试（理））已知数列的前和求数列的通项公式；【答案】（1）；（1）解：，①当时，，②由①-②得，当时，，满足上式，数列的通项公式为：.2．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三期中）数列中，为的前项和，，.求数列的通项公式；【答案】（1）（1）当，则，所以，当时，得：，，整理得，所以为等差数列，，；3．（2021·云南·昆明一中高三月考（文））已知数列中，若，.求的通项公式；【答案】（1）（）（1）由已知得：，因为①所以，当时，②①-② 得：，且也成立，所以（）.4．（2021·福建省泉州第一中学高三期中）已知数列和均为正项数列，数列的前项和为，且满足，，求数列和的通项公式；【答案】（1），（1）解：因为当时，又，所以，当时，因为， 所以两式相减，可得所以，又，所以.所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即；又，所以；5．（2021·河南·高三月考（文））设正项数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）（1）解：由题意得，当时，，解得或，因为，所以.当时，，，两式相减，得，整理得，因为，所以，，，故数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.题型一：法②方向2：用替换1．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的首项，与前项和之间满足，求数列的通项公式．【答案】【详解】解：当时，，∴，即，∴是以1为首项，2为公差的等差数，∴，即，所以当时，．又当时，不满足上式，∴．2．（2021·全国·高三专题练习）在数列中，若且．求数列的通项公式．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，∴是首项为，公差为的等差数列．，∴．当时，，所以．3．（2021·甘肃·天水市第一中学高二月考）设数列的前项和为，，. 求证：数列是等差数列；【答案】（1）证明见解析；【详解】（1），，则，所以，有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.4．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中）（1）已知数列满足，求数列的通项公式；（2）已知数列中，，其前项和满足()，求数列的通项公式．【答案】（1）（2）（1）数列中，因，则，而，于是得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以数列的通项公式是.（2）因数列前n项和满足，则，而当时，，因此有，又由得满足上式，于是得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，所以数列的通项公式是.题型一：法③方向3：类比思路1，用前项和的等式前项和的等式1．（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．【答案】【详解】因为①，所以②，①-②得，即 ,当时，，满足，所以2．（2021·河北·大名县第一中学高三月考）已知数列满足，求数列的通项公式.【答案】（1）（1）依题意，令数列前n项和为，即，于是得，当时，，当时，满足上式，因此，，，即，所以数列的通项公式.3．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知数列满足，.求数列的通项公式；【答案】（1）（1）解：当时，；由已知得，于是，即，又也满足上式，所以.4．（2021·河南·高三月考（文））已知数列{}是首项=，公差为的等差数列，数列{}是首项=，公比为的正项等比数列，且公比等于公差，+=.（1）求数列{}，{}的通项公式；（2）若数列{}满足=（），求数列{}的通项公式.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）由题意，可得，因为，则，解得或，因为等比数列各项为正项，所以，则，.（2）因为对，有成立，对时，有成立，两式相减得，所以，当时，不符合上式，所以.5．（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；【答案】【详解】解：对于①，当时，有；当，有②，①-②得：，所以．经检验：对成立．所以数列的通项公式为．6．（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式；【答案】【详解】解：因为①所以当时，，可得；当时，，②①-②得，所以，当时也满足上式，所以的通项公式为.题型二：累加法：形如：或1．（2021·重庆巴蜀中学高二期中）已知数列满足，，.求数列的通项公式；【答案】（1）（1）解：因为，则，，，，累加得，所以；2．（2021·全国·高二课时练习）已知数列中，，且满足，求数列的通项公式.【答案】.【详解】由条件知an＋1－an＝2n＋n，所以a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋2，a4－a3＝23＋3，…，an－an－1＝，把以上个式子相加，得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋()，∴an－a1＝(21＋22＋…＋)＋(1＋2＋…＋n－1)，∵a1＝2，∴.3．（2021·浙江金华·高三月考）已知数列满足，，它与数列形成的新数列的前项和为．求、：【答案】（1），（1）解：，，所以，．所以对任意的，．又的前项和为，当时，，得，当时，，得，也适合，故对任意的，.4．（2021·全国·高三专题练习）设数列满足，.求数列的通项公式；【答案】【详解】解：由已知，，所以，，，各项累加可得，又，所以，所以5．（2021·全国·高三专题练习）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律.此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”.在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和.把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；【答案】；.【详解】由“杨辉三角”的定义可知：，时，，所以有.故.6．（2021·全国·高三专题练习）设数列满足.求数列的通项公式；【答案】【详解】由题意故，，，，累加可得：，即，经检验，也满足.所以数列的通项公式为7．（2021·全国·高三专题练习）已知在数列中，.求数列的通项公式；【答案】【详解】（1）因为，所以当时， 所以，所以，，又当时，满足条件，所以.8．（2021·全国·高二课时练习）已知数列，，，求数列的通项公式．【答案】an＝ (n∈N*).【详解】∵， ∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝，…，an－an－1＝ (n≥2)，∴，∴ (n≥2)，又a1＝1满足上式，∴an＝ (n∈N*).9．（2021·全国·高二专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式．【答案】【详解】依题意，当时，，所以.三：累乘法：形如：或1．（2021·河南·高二月考（文））已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）an=n（1）解：数列{an}中，（n+1）an=nan+1，a1=1，整理得：，故，，......，所有的式子相乘，，故an=n（首项符合通项），所以an=n；2．（2021·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，且，求的通项公式【答案】【详解】由已知，得，因为数列是正项数列，所以，即，故累乘得，，又也满足上式故的通项3．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．求数列，的通项公式.【答案】；.【详解】设数列的公差为，根据题意， ，所以.又因为，则n≥2时，，于是又满足上式，故而.4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列中，，前项和（1）求；（2）求的通项公式．【答案】（1）a2＝3，a3＝6 ；（2）an=.【详解】(1)由S2＝a2，得(a1＋a2)＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，∴a3＝ (a1＋a2)＝6.(2)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.5．（2021·全国·高二专题练习）已知数列}中，，当且时，，求通项公式.【答案】an＝，n∈N*.【详解】当n≥2，∵(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，∴＝，当n＝1时符合上式，，n∈N*6．（2021·全国·高二专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式.【答案】【详解】由，得，∵，∴，∴ ，∴，∴，又a1＝1满足上式，∴.7．（2021·云南·昆明一中高三月考（文））已知数列满足（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）由已知，，得所以（），当时， 满足条件，所以.（2）由于，所以，所以，所以 .8．（2021·辽宁·模拟预测）数列满足：，．（1）求的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）由得，，，即．（2），∴题型四：构造法：①方向1：形如：或1．（2021·江苏张家港·高二期中）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）（1）由，可得，又，∴数列是首项为，公比为3的等比数列，则，∴.2．（2021·四川·阆中中学高二开学考试（理））已知数列满足（1）求数列的通项公式；【答案】（1）（1）解：由，得，∴，∴是以为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴数列的通项公式为；3．（2021·浙江·绍兴一中高三期中）已知数列中，，.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；【答案】（1）证明见解析，（1）解：因为，，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以4．（2021·重庆九龙坡·高三期中）已知数列和满足：，，数列的前项和为.（1）求数列和的通项公式：【答案】（1），（1）∵∴设，整理：∴∴∴公比是2的等比数列∴∴当时当时，，符合故的通项公式为：5．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知数列的前n项和为，其中，满足．（1）证明数列为等比数列；【答案】（1）证明见解析；【详解】（1）由可得，因为，所以所以数列是首项为2，公比为2的等比数列6．（2021·全国·高三专题练习）已知数列中，．证明数列是等比数列并求数列的通项公式；【答案】证明见解析；．【详解】解：因为，所以．所以，且 ．所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．因此，所以．7．（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式．【答案】【详解】解：由可得：，因为，所以，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，所以．题型四：构造法：②方向2：形如：或1．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知数列中，，，.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）由得：，∴，即数列是首项为，公差为的等差数列，∴，故.2．（2010·湖南·（理））在数列中，（1）求；【答案】（1）同解析，（2）【解析】（1）3．（2022·全国·）已知数列中，，，求数列的通项公式.【答案】【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，∴，∴.4．（2021·全国·）（1）在数列中，，，求通项公式；【答案】（1）；【详解】解：（1）设，比较系数得，．则数列是一个等比数列，其首项，公比是2．，即．5．（2021·全国·高二专题练习）设数列满足： .求数列的通项公式.【答案】.【详解】由知：，而，∴数列是首项、公差为的等差数列，即，∴.6．（2021·重庆一中模拟预测）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；题型五：倒数法：形如：或1．（2021·广东梅县东山中学高三期中）已知数列中，，.（1）求证：数列是等比数列；【答案】（1）证明见解析（1）解：由，得 ∴， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列 .2．（2021·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，已知，.求数列的通项公式；【答案】【详解】由两边取倒数可得，即，，数列是以为首项，2为公比的等比数列，，即.3．（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，.求数列的通项公式；【答案】【详解】由两边取倒数，得，所以，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，所以.4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列，满足，.(1)证明：数列为等差数列.(2)求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)证明:∵，，∴，∴，即是首项为，公差为的等差数列．(2)由上述可知，∴.5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，且.证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.【答案】证明见解析，.【详解】解：因为两边都加上，得所以，即，所以数列是以为公差，首项为的等差数列．所以，即．