人教版（2024）八年级下册17.2 勾股定理的逆定理课堂检测

这是一份人教版（2024）八年级下册17.2 勾股定理的逆定理课堂检测，文件包含人教版数学八年级下册同步讲义+练习第十七章第02讲勾股定理逆定理3个知识点+5类热点题型+习题巩固原卷版docx、人教版数学八年级下册同步讲义+练习第十七章第02讲勾股定理逆定理3个知识点+5类热点题型+习题巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。


知识点01 勾股定理逆定理
勾股定理逆定理内容：
在△ABC中，如果三角形的三边分别是且满足 ，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C是直角。
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。
直角三角形的判定
①勾股定理逆定理
②三角形中有一个角是90°。
③三角形中有两个角之和为90°。
【即学即练1】
1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．
（1）试说明△ABC为直角三角形．
（2）求CE的长．
【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；
（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．
【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝8﹣x．
在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，
解得，所以CE的长为．
知识点02 勾股数
勾股数的定义：
满足勾股定理：即的三个 正整数 称为勾股数。
注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。
常见的勾股数类型：
基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10）
①倍数型勾股数：
②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数）
③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数）
【即学即练1】
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，2，B．，，C．1，1，2D．9，12，15
【分析】根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
B、，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵12+12≠22，∴不能构成勾股数，不符合题意；
D、∵92+122＝152，∴能构成勾股数，符合题意．
故选：D．
知识点03 勾股定理的应用
勾股定理的实际应用：
在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用。
【即学即练1】
4．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得BC＝＝500（km），由三角形面积公式得到500AH＝300×400，求出AH＝240（km），由AH＜250km，判断农场A会受到台风的影响；
（2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，得到AM＝AN＝250km，由勾股定理求出MH＝NH＝70（km），得到MN＝140（km），即可求出台风影响该农场持续时间．
【解答】解：（1）农场A会受到台风的影响，理由如下：
过A作AH⊥BC于H，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝500（km），
∵△ABC的面积＝BC•AH＝AB•AC，
∴500AH＝300×400，
∴AH＝240（km），
∵AH＜250km，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM＝AN＝250km，
∵AM＝AN，AH⊥BC，
∴MH＝NH，
由勾股定理得：MH＝NH＝＝70（km），
∴MN＝2×70＝140（km），
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场持续时间是140÷20＝7（小时）．
题型01 判定直角三角形
【典例1】已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝∠B＝2∠C
C．a：b：c＝2：2：3D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，故不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、由∠A＝∠B＝2∠C，可得∠A＝72°、∠B＝72°、∠C＝36°，故不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、由a：b：c＝2：2：3，可设a＝2k，b＝2k，c＝3k，那么c2≠a2+b2，故不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、由a＝1，b＝2，c＝，可得b2＝a2+c2，故能判断△ABC是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【变式1】下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17B．a＝9，b＝12，c＝15
C．a＝，b＝，c＝D．a：b：c＝2：3：4
【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、因为82+152＝172，故A能组成直角三角形；
B、因为92+122＝152，故B能组成直角三角形；
C、因为（）2+（）2＝（）2，故C能组成直角三角形；
D、不满足勾股定理的逆定理，故D不能组成直角三角形．
故选：D．
【变式2】△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B+∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D．
【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵a＝5，b＝12，c＝13，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角∠C＝×180°≠90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式3】若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝2∠C
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝4，b＝5，c＝6
D．a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0）
【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B＝2∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
此时△ABC不是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角为，
此时△ABC不是直角三角形，不符合题意；
C、当a＝4，b＝5，c＝6时，a2+b2＝16+25＝41，c2＝36，
∴a2+b2≠c2，
此时△ABC不是直角三角形，不符合题意；
D、∵a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0），
∴c2﹣a2＝（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2
＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）
＝4m2n2＝（2mn）2＝b2，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意．
故选：D．
题型02 勾股定理逆定理的应用
【典例1】若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是（ ）
A．84B．87.5C．168D．300
【分析】先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，再利用面积公式求解即可
【解答】解：∵72+242＝252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴面积为：．
故选：A．
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，设OE＝x，然后利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，于是可得到关于x的方程，从而可得到OF的长度．
【解答】解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，
在△ABC中，BC＝4，CA＝3，AB＝5，
∴△ABC是直角三角形，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
设OE＝x，
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×4×3＝OD×5+OE×3+OF×4，
∴5x+3x+4x＝12，
∴x＝1，
∴点O到BC的距离等于1．
即△BOC的BC边上的高是1，
故选：A．
【变式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，试问：动点P的运动时间为多少时，△ABP为直角三角形．
【分析】当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝132﹣52＝12，
∴BC＝12（cm），
由题意知BP＝2t cm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝12cm，即2t＝12，t＝6；
②当∠BAP为直角时，BP＝2t cm，CP＝（2t﹣12）cm，AC＝5cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝52+（2t﹣12）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：132+[52+（2t﹣12）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝6或t＝．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC＝2AB＝6，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BC＝3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10，
∵82+62＝102，即AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6，
∴BC＝＝3，
∴Rt△ABC的面积为•AB•BC＝×3×3＝，
又∵Rt△ACD的面积为•AC•CD＝×8×6＝24，
∴四边形ABCD的面积为：+24．
题型03 勾股数及其求值
【典例1】下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，4，6B．1，，2
C．8，15，17D．0.3，0.4，0.5
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
【解答】解：A、22+42≠62，不能构成勾股数，不符合题意；
B、不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
C、82+152＝172，能构成勾股数，符合题意；
D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
故选：C．
【变式1】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ）
A．，，B．，，C．5，15，20D．9，40，41
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：A、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、∵52+152＝25+225＝250≠202，
∴5，15，20这三个数不是勾股数，不符合题意；
D、∵92+402＝81+1600＝1681＝412，
∴9，40，41这三个数是勾股数，符合题意．
故选：D．
【变式2】给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①由于0.32+0.42＝0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2，故③说法正确；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．
故选：C．
【典例2】若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．B．4C．或4D．2
【分析】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，依此得到a．
【解答】解：∵3，a，5是勾股数，
∴a＝＝4，或a＝＝（舍去）．
故选：B．
【变式1】若6，8，a是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．B．10C．或10D．7
【分析】分a为最长边，8为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①8为最长边，a＝＝4，不是正整数，不符合题意；
②a为最长边，a＝＝10，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故选：B．
【变式2】已知一组勾股数中的两个数分别是3和4，那么第三个数是（ ）
A．5B．5或C．D．7
【分析】设第三个数为x，根据题意分两种情况考虑①当x为斜边时，有32+42＝x2，②当x为直角边时，有32+x2＝42，分别解出x，再根据勾股数的定义判断即可，勾股数即为可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
【解答】解：设第三个数为x，分两种情况，①当x为斜边时，
32+42＝x2，
∴x＝5；
②当x为直角边时，
32+x2＝42
∴（不符合勾股数的定义，舍去）；
故选：A．
题型04 勾股数的证明
【典例1】（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；
（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数．
【解答】证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴3k，4k，5k都是正整数，
∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，
∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；
（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴ak，bk，ck是三个正整数，
∵a2+b2＝c2，
∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．
【变式1】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
（2）当n是大于1的奇数时，若，x是勾股数，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示）
【分析】（1）根据勾股数的定义即可得出结论；
（2）根据勾股数解答即可．
【解答】解：（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数，
理由：∵（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2，
∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数；
（2）∵，x是勾股数，且x＞n，x＞，
∴x2＝n2+（）2
＝n2+
＝
＝，
∴x＝．
题型05 勾股定理的实际应用
【典例1】如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（ ）米．
A．6B．7C．8D．9
【分析】从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解．
【解答】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB构成的直角三角形的斜边，
又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米，
∴（米），
故选：C．
【变式1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．
故选：A．
【变式2】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．4mB．5mC．6mD．8m
【分析】设AC的长为x，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，CF＝3m，BE＝1m，
∴BD＝2m．
设AC的长为x m，则AB＝AC＝x （m），
所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．
在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5．
故选：B．
【变式3】图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD．
故该车符合安全标准．
【变式4】如图，一架25m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的底部B在水平方向滑动了8m至D，那么梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了8m吗？
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理，求出EC即可解答．
【解答】解：（1）根据题意得：AB＝25，BC＝7，
∴AC＝＝24（m），
答：这个梯子的顶端距地面有24m；
（2）梯子的顶端A沿墙垂直不是下滑了8m，
∵BC＝7，BD＝8，
∴CD＝15m，
∴CE＝＝20（m），
∴AE＝AC﹣CE＝24﹣20＝4（m），
∴梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了4m．
【变式5】某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．
（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出AD；
（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，
由勾股定理得：AC＝＝＝8，
则AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7；
（2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为：＝25（米），
25﹣17＝8（米），
答：他应该再放出8米线．
1．下列线段能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，2B．3，4，5C．，2，D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；
C、∵（）2+22≠（）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．
故选：B．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，7B．0.5，1.2，1.4
C．6，8，10D．32，42，52
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42≠72，不能构成直角三角形，不合题意；
B、0.5，1.2，1.4都不是正整数，不合题意；
C、62+82＝102，符合勾股数的定义，符合题意；
D、32+42≠52，不能构成直角三角形，不合题意．
故选：C．
3．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．∠A﹣∠B＝∠C
C．AB：BC：AC＝1：2：
D．AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，符合题意；
B、∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵AB：BC：AC＝1：2：，12+（）2＝4＝22，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、由AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5得，AB2+BC2＝AC2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
4．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣5或D．5或
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
5．如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米B．18米C．16米D．15米
【分析】利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设大树在折断之前的高是x m，
由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，
解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴大树在折断之前的高是18m；
故选：B．
6．如图，在四边形ABCD中，，BC＝2，CD＝1，，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出∠ABD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABD和△BCD的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝＝，
∵，BD＝，，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，
∴四边形ABCD的面积：
S＝S△ABD+S△BCD
＝AB•BD+BC•CD
＝××+×2×1
＝+1．
故选：A．
7．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm，则h的取值范围是（ ）
A．5≤h≤12B．12≤h≤19C．11≤h≤12D．12≤h≤13
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：AB＝＝＝13cm，
故h＝24﹣13＝11cm．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：C．
8．如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，则池塘的宽度DE是（ ）
A．80mB．60mC．50mD．40m
【分析】根据已知条件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，
∴AC＝＝＝80（m），
∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），
∴池塘的宽度DE为50米．
故选：C．
9．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝9km，BC＝12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．7kmB．6kmC．5kmD．2km
【分析】由勾股定理求出AB＝＝15（km），因此AC+BC﹣AB＝6（km），即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝9km，BC＝12km，
∴AB＝＝15（km），
∴AC+BC﹣AB＝9+12﹣15＝6（km），
∴从A村到B村比原来减少的路程为6km．
故选：B．
10．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90°B．150°C．135°D．120°
【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，由勾股定理得72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，则∠C＝60°，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，
过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故选：D．
11．若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC的形状为 等腰三角形或直角三角形 ．
【分析】因为a，b，c为三边，根据（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，可找到这三边的数量关系．
【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2．
当只有a＝b成立时，是等腰三角形．
当只有第二个条件成立时：是直角三角形．
当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．
综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AB＝17，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为 40.8 ．
【分析】过D作DP⊥AB于P，证明△ABC为直角三角形，再利用角平分线的性质定理得出CD＝DP，然后利用等面积法求出DP，即可求得△ABD的面积．
【解答】解：如图，作DP⊥AB于P．
∵AC＝8，BC＝15，AB＝17，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，即DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DC＝DP，设DC＝DP＝x，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
∴，即AC•BC＝AC•DC+AB•DP，
∴15×8＝8x+17x，
∴x＝4.8，
∴．
故答案为：40.8．
13．如图，长方体盒内长、宽、高分别是8cm、6cm、，盒内可放木棒最长的长度是 11cm ．
【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
【解答】解：长和宽组成的长方形的对角线长为．
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是．
故答案为：11cm．
14．如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 8 米．
【分析】由勾得到股定理求出AC的长，得到CE的长，由勾股定理求出CD的长，即可得到BD的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，
∴AC＝＝24（米），
∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），
∵DE＝AB＝25米，
∴CD＝＝15（米），
∴BD＝CD﹣BC＝8（米），
∴梯子底端B向右滑动了8米．
故答案为：8．
15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5 米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故答案为：1.5．
16．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（米），
∴AD＝＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米．
17．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
【分析】设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
18．学校有一块四边形ABCD的空地，A，C之间有一条垂直于BC的小路AC，如图．学校计划在这块空地上种植花卉．已知：AB＝13米，BC＝12米，CD＝4米，DA＝3米．
（1）这块空地ABCD的面积是多少平方米？（小路AC的面积忽略不计）
（2）顶点D到小路AC的距离是多少米？
【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5米，再用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，然后用空地ABCD的面积＝S+计算即可；
（2）过点D作DE⊥AC于E，利用等积法S求解即可．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°
由勾股定理，得（米），
∵CD＝4米，DA＝3米
∴CD2+DA2＝42+32＝25
∵AC2＝52＝25
∴CD2+DA2＝AC2
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，
∴空地ABCD的面积＝S+＝（平方米），
答：空地ABCD的面积为36平方米．
（2）如图，过点D作DE⊥AC于E，
由（1）知△ACD是直角三角形，
∴S，
∴DE＝＝＝2.4（米），
答：顶点D到小路AC的距离是2.4米．
19．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，AD＝17m，CD＝8m．
（1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路AC的长度；
（2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？
【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；
（2）由勾股定理的逆定理得出三角形ACD是直角三角，再根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝15（m），
答：小路AC的长度为15m；
（2）∵AC2+CD2＝152+82＝172＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝＝＝114（m2），
114×150＝17100（元）．
答：改造这片空地共需花费17100元．
20．随着共享单车与城市生活的深度融合，骑车绿色出行已成为市民日常．如图是某市公共自行车车桩的截面示意图如示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm．
（1）求CD的长；
（2）该市拟建A、B两类自行车位共100组，建A类车位每组需要3万元，建B类车位每组需要2.2万元，若该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，则至少建A类自行车位多少组？
【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，利用勾股定理求解即可；
（2）设至少建A类自行车位x组，根据该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，列出不等式求解即可．
【解答】（1）解：过点C作CM⊥AB于M，
因为AB⊥AD，AD⊥DC，
所以四边形ADCM是矩形，
所以AD＝CM＝24cm，
因为BC＝25cm，
所以，BM＝＝7（cm），
∴CD＝AM＝AB﹣BM＝80﹣7＝73（cm），
即CD的长为73cm．
（2）解：设至少建A类自行车位x组，根据题意列不等式得，
3x+2.2（100﹣x）≥234，
解得，x≥17.5，
所以，至少建A类自行车位18组．
课程标准
学习目标
①勾股定理逆定理
②勾股数
③勾股定理的应用
掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。
掌握勾股数并能够判断勾股数。
能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。
测量示意图

测量数据
边的长度
①测得水平距离BC的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．