2024年人教版数学八年级上册同步讲义第十一章专题 与三角形的角有关的计算（2份，原卷版+解析版）

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专题第01讲 与三角形的角有关的计算1．（2022秋•海珠区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．（1）∠AOB的度数为 　 　；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，进而即可求解；（2）根据三角形内角和定理求得∠DAC，∠BAC，根据AE是∠BAC的角平分线，得出∠CAE＝∠CAB＝25°，根据∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求解．【解答】（1）解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），在△ABC中，∠C＝70°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝125°．故答案为：125°；（2）解：∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝25°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，∴∠DAE＝5°．2．（2023春•洛宁县期末）如图，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平分线，∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．（1）∠BAD＝　 　°；（2）求∠DAE的度数．【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAD．（2）根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．【解答】解：（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBF＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30；（2）∵∠AFB＝∠FBC+∠C，∴∠C＝70°﹣30°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．3．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝　 　°，∠P＝　 　°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；（3）利用（2）的结论即得结果．【解答】解：（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，∴，∠EBC＝116°，∠BCF＝114°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°；∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴，∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝＝＝＝118°；∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴∠CBP+∠BCP＝＝＝＝＝90°+28°＝118°；∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝＝90°﹣28°＝62°；（3）∠D+∠P的值不变．∵由（1）知，，∴∠D+∠P＝180°．∴当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变．4．（2023春•乐山期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，BP平分∠MBC，延长AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求证：α＝；（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求证：θ＝；（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．【分析】（1）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠CBP+∠BCP，∠A，再次利用三角形的内角和定理进行解答；（2）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠CBP，∠CFP，∠BOP，再次利用三角形的内角和定理进行解答；（3）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠OFP，∠CBO，∠POF，再次利用三角形的内角和定理进行解答；【解答】（1）证明：∵BP平分∠MBC，CP平分∠BCN，∴∠CBP＝∠MBC＝，∠BCP＝∠BCN＝，∴，∵∠A+α+β＝180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴，，∴；（2）证明：如图所示：∵BP平分∠MBC，FP平分∠EFC，∴∠CBP＝∠MBC＝，∠CFP＝∠EFC＝，∵∠OFC+∠FOC+∠ACB＝180°，∠BOP＝∠FOC，∴∠BOP＝180°﹣β﹣∠OFC＝180°﹣β＝，∵∠CBP+∠P+∠BOP＝180°，∴，∴；（3）解：如图所示：∵BP平分∠ABC，PF平分∠AFG，∴∠OFP＝∠AFG＝，∠CBO＝，∵∠POF＝∠CBO+∠ACB＝，∵∠POF+∠OFP+∠P＝180°，∴，∴．5．（2022秋•黄石期末）如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB（含30°和60°）的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）图中互余的角有 　 　对；（3）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为ts（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB．②当t＝　 　时，直线EF平分∠BOD．【分析】（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）互余的角有12对分别是：∠A与∠B；∠A与∠AOC，∠A与∠AOE，∠COE与∠B，∠COE与∠AOC，∠COE与∠AOE，∠COA与∠BOD；∠AOE与∠BOD；∠A与∠BOD；（3）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，∴∠AOC＝30°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）互余的角有4对分别是：∠A与∠B；∠A与∠AOC，∠A与∠AOE，∠COE与∠B，∠COE与∠AOC，∠COE与∠AOE，∠COA与∠BOD；∠AOE与∠BOD；∠A与∠BOD，∠COA与∠BOE；∠AOE与∠BOE；∠A与∠BOE；（3）①分两种情况：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，即9°t+30°﹣3°t＝45°，解得t＝2.5；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，解得t＝32.5；综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；②t的值为12s或36s．分两种情况：当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD，即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t），解得t＝12；当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD，即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°），解得t＝36；综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．6．（2022秋•淮南期末）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝　 　，∠XBC+∠XCB＝　 　．（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．【分析】本题考查的是三角形内角和定理．已知∠A＝30°易求∠ABC+∠ACB的度数．又因为∠X为90°，所以易求∠XBC+∠XCB．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，故答案为：150°；90°．（2）不变化．∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）＝150°﹣90°＝60°．7．（2023春•栾城区校级期末）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上．①直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系；②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）当点F在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系．【分析】（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．②过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∵DE∥BC，∴DE∥FH，∴∠EDF＝∠1，∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．②证明：过点F作FH∥BC交AC于点H．如图2，∴∠ABC＝∠AFH，∴∠ABC＝∠1+∠3，∴∠3＝∠ABC﹣∠1，∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°，∴∠BFG+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠BFG，∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：设DE交FG于J．如图3，∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．当点G在CB的延长线上时，同法可证∠EDF+∠BGF＝90°，如图4，8．（2023春•邗江区期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、100°、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍．（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 　 　．（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“优雅三角形”，求∠C的度数．​【分析】本题考查“优雅三角形”的新定义问题，灵活运用三角形的内角和定理．【解答】解：（1）一个“优雅三角形”的一个内角为 120°，另两个角之和为：180°﹣120°＝60°，“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义，“优雅角”为40°，另一个角为20°．（2）AB⊥OM交ON于点B，∴∠MOB＝90°，∠MON＝60°，△AOC 是“优雅三角形”，①当“优雅角”为60°时，另一个角为30°，则∠ACO＝90°，∠ACB的度数为90°，②当另两个角中有优雅角时，另两个角之和为120°，根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：40°，80°，则∠ACO＝80°，∠ACB的度数为100°，∠ACO＝40°，∠ACB的度数为140°．（3）∵∠AFE+∠ADC＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠ADC＝∠EFD，∴EF∥BC，△ADC是“优雅三角形”，DE平分∠ADB交AB于点E，①当∠C＝α，∠ADC＝，∠ADB＝180°﹣＝（180°﹣）×2，解得α＝72°，∠C＝72°；②当∠C＝α，∠DAC＝，无解，故不符合题意；③当∠ADC＝α，∠DAC＝，∠ADB＝180°﹣α＝[180°﹣α﹣（180°﹣）]×2，解得α＝90°，∠C＝45°；④当∠ADC＝α，∠C＝，∠ADB＝180°﹣α＝（180°﹣﹣α）×2，解得α＝90°，∠C＝45°；⑤当∠DAC＝α，∠ADC＝，∠ADB＝180°﹣＝[180°﹣（180°﹣）﹣]×2，解得α＝72°，∠C＝72°；⑥当∠DAC＝α，∠C＝，无解，故不符合题意；综上，∠C的度数为：72°，45°．9．（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．​（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝　 　°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，由∠Q＝4∠E，得出2∠A＝90°﹣∠A，求解即可．【解答】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴，，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；故答案为：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，∴，．∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+，∴∠Q+∠BPC＝180°；（3）如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A，∵∠Q＝4∠E，∴∠Q＝2∠A，∵∠Q＝90°﹣∠A，∴2∠A＝90°﹣∠A，∴∠A＝36°．10．（2022秋•海丰县期末）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　 　；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．【解答】（1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）解：①∠D＝90°﹣∠A，理由如下：∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∴∠DBC＝∠EBC＝（∠A+∠ACB），∠DCB＝∠FCB＝（∠A+∠ABC），∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣＝90°﹣∠A，故答案为：∠D＝90°﹣∠A；②∠D＝∠A，理由如下：∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，∴∠D+∠ABC＝（∠A+∠ABC），∴∠D＝∠A．11．（2023春•南阳期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）若∠A＝30°，则∠D＝　 　°，∠P＝ 　°，∠D+∠P＝　 °；（2）当∠A变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠DBC+∠DCB，然后在△BCD中利用三角形的内角和定理可得出∠D的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义及三角形外角的性质即可得出∠P的度数；（2）根据（1）中∠D与∠P的式子即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝150°，∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴，，∴，∴∠D＝180°﹣75°＝105°；∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝150°，∴∠CBE+∠BCF＝210°，∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴，，∴∠CBP+∠BCP＝，∴∠P＝180°﹣105°＝75°；∴∠D+∠P＝105°+75°＝180°；故答案为：105，75，180．（2）结论：∠D+∠P的值不变．理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴，，∴，在△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝，∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴，，∴＝＝＝，在△BCP中，∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝＝，∴．12．（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D．特例研究：（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度数；操作发现：如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，点G，F都在射线DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由；（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为α（0°＜α＜360°）．记旋转中的△DMF为△DM1F1，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M1，F1，直线M1F1，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，请直接写出旋转角α的度数．【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题；（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°．由翻折可知∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，由∠B+∠C＝60°得出∠BAC＝120°，再根据三角形外角的性质可得出∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，从而得出结论；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．又∵∠B＝35°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°．∵∠EAD＝5°，∴∠BAE＝55°+5°＝60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝60°，∴∠C＝180°﹣90°﹣60°﹣5°＝25°．（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°．理由：由折叠可知：∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，∵∠B+∠C＝60°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，∴∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，即120°＝∠AMF+∠ANG+60°，∴∠AMF+∠ANG＝60°．（3）旋转角的度数为35°或215°．①当0°＜α≤90°时，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DQ＝90°﹣55°＝35°，∴α＝35°；②当90°＜α≤360°时，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADC+∠F1DQ＝90°+55°＝145°，∴α＝360°﹣145°＝215°；∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠PQB＝∠BPQ﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∵∠PQB＝∠DF1M1+∠F1DB，∴∠F1DB＝∠PQB﹣∠DF1M1＝55°﹣35°＝20°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DB＝90°﹣20°＝70°，∴α＝70°．综上所述，旋转角a的度数为35°或215°．13．（2023春•东方校级期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．​（1）如图1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度数；（2）如图1，如果∠A＝α，用含α的代数式表示∠BPC；（3）探索：如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q、∠A之间的数量关系；（4）拓展：如图3，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形内角和定理进行计算；（2）根据已知条件和角平分线的性质，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出来，再利用∠A表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形内角和定理进行计算；（4）根据已知条件求出∠EBQ的度数，然后由（3）求出的∠Q，利用三角形内角和求出∠E，再分4种情况讨论，求出∠A的度数．【解答】解：（1）∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠PBC＝∠ABC＝25°，∠BCP＝∠ACB＝30°，∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝125°；（2））∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝180°﹣＝180°﹣＝＝；（3）∵BQ，CQ分别是∠CBM，∠BCN的角平分线，∴∠CBQ＝，∠BCQ＝∠BCN，∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∴∠CBQ＝，∠BCQ＝∠A+∠ABC，∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°，∴+∠Q＝180°，，∴∠Q＝；（3）∵BP是∠ABC的角平分线，BQ是∠CBM的角平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠CBQ＝，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠PBC+∠CBQ＝，∴∠QBE＝∠PBC+∠CBQ＝90°，由（3）知∠Q＝，∴∠E+∠Q＝90°，∴∠E＝，∵在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，∠QBE＝90°，∴∠Q，∠E都是锐角，∴分四种情况讨论：①∠Q＝3∠E，∴，2∠A＝90°，∴∠A＝45°；②∠QBE＝3∠E，∴，∴∠A＝60°；③∠BQE＝3∠Q，∴，270﹣1.5∠A＝90°，∴∠A＝120°，④∠E＝3∠Q，，解之得：∠A＝135°，综上可知：∠A的度数为45°或60°或120°或135°．14．（2023春•商水县期末）【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P＝∠A．【变式应用】（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠A，再根据角平分线的定义∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC进行等量代换即可；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠O，再根据角平分线的定义∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO进行等量代换即可；（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠AOB，再根据角平分线的定义∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO进行等量代换即可；【解答】解：（1）如图1所示：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP＝，∠2＝∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ACP＝，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，∴，∠，，∴；（2）∠P的大小不变，理由如下：如图2所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴；（3）∠P＝22.5°或67.5°，分两种情况：①如图3所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴；②如图4所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴．15．（2023春•大荔县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，则∠AOB＝85°，则∠C+∠D＝　95　°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式了表示∠P）．【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；（2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠ADE+∠BED＝60°，再根据已知即可求解；（3）利用三角形内角和定理求得，再利用角平分线的定义求得∠CEP＝（∠ABE+∠A），，最后根据对顶三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣85°＝95°，∴∠C+∠D＝95°．故答案为：95；（2）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°．∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴，∴∠ADE+∠BED＝60°．又∵∠ADE﹣∠BED＝8°，∴∠ADE＝34°，∠BED＝26°；（3）．理由：在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．∵BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴，，∴．∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴，．∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，∴∠P＝∠CEP+∠ACD+∠CDP＝（∠ABE+∠A）+∠ACD﹣（∠ACD+∠A）＝∠ABE+∠ACD＝（∠ABE+∠ACD）＝×（90°﹣α）＝45°﹣α，即．16．（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：【论证】如图1，延长BA至D，过点A作AE∥BC，就可以说明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的内角和为180°，请完成上述说理过程．【应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ACB的角平分线交于点P，过点A作AE∥BC，M在射线AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．①求∠DCP的度数；②设∠B＝α，请用α的代数式表示∠D．【拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，过点A作EF∥BC，直线MN与EF相交于A点右侧的点P，∠APN＝75°．△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时MN绕点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN与△ABC的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【分析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得∠MAC＝2∠2，再推出∠2+∠ACM＝90°，再利用平角的性质即可求解；②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3＝180°，由三角形的外角性质推出∠4＝∠2+∠3，结合①的结论得到∠2+∠3＝90°，据此计算即可求解．拓展：当△ABC旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，MN与EF重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，两种情况讨论，根据MN与BC平行的次数，求解即可．【解答】论证：证明：延长BA至D，过点A作AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C，∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，∴∠BAC+∠C+∠B＝180°，即三角形的内角和为180°．应用：解：①如图，∵AE∥BC，∴∠MAC＝∠ACB，∵CP是∠ACB的角平分线，∴，∴∠MAC＝2∠2，又2∠2+∠ACM+∠1＝180°，∠ACM＝∠1，∴2∠2+2∠ACM＝180°，∴∠2+∠ACM＝90°，∴∠PCD＝180°﹣（∠2+∠ACM）＝180°﹣90°＝90°；②∵AP是∠BAC的角平分线，∴，在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3＝180°，∵∠4＝∠2+∠3，∠PCD＝90°，∴∠4＝90°﹣∠D，即∠2+∠3＝90°﹣∠D，∴∠B+2∠2+2∠3＝∠B+2（90°﹣∠D）＝180°，∴∠B+180°﹣2∠D＝180°，∴∠B＝2∠D，∵∠B＝α，∴∠α＝2∠D，拓展：∵当△ABC旋转一周运动停止，∴总时间t＝360÷12＝30（秒），∵MN与EF重合时MN再以原速返回，∴重合时间为t1＝75÷5＝15秒，此时∠EPN＝0°，延长CB交EF于点Q，∵在前15秒内，∠EQC由180°逐渐减少，∠EPN由75°逐渐减少至0°，又∵当t＝15秒时，△ABC旋转至15×12°＝180°，此时EF∥BC，而∠EPN由75°逐渐减少至0°，在前15秒内，MN与BC仅一次平行，即MN与EF重合时，些时t＝15（秒）．同理，后15秒，∠EQC由0°逐渐增至180°，∠EPN由0°逐渐增至75°，MN与BC仅可能一次平行，有∠EQC＝12t2＝180﹣5t2，解得，（秒），综上，t的值为15秒或秒．17．（2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，现将△ABC绕点A顺时针旋转α角度得到△ADE．（1）若α＝28°时，则∠DAC＝　 　°；若0°＜α＜90°时，α与∠CAE的关系是 　 　；（2）∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由；（3）在旋转过程中，若0°＜α＜180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出α的所有可能取值．【分析】（1）直接利用角的和差关系可得答案，再根据旋转的性质可得α＝∠CAE；（2）证明∠DAC＝∠EAP，结合∠EAP+∠BAE＝180°，可得∠DAC+∠BAE＝180°（3）分情况讨论：①如图，当AE∥BC时，②如图，当DE∥AB时，③如图，当AD∥BC时，④如图，当AC∥DE时，再利用数形结合的方法解答即可．【解答】解：（1）∵∠BAD＝α＝28°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣28°＝62°；当0°＜α＜90°，由旋转的性质可得：α＝∠CAE；（2）∠DAC与∠BAE的关系是：∠DAC+∠BAE＝180°，理由如下：∵∠CAE+∠DAC＝90°，∠CAE+∠EAP＝90°，∴∠DAC＝∠EAP，∵∠EAP+∠BAE＝180°，∴∠DAC+∠BAE＝180°；（3）“△ADE与△ABC这两个三角形存在一组边互相平行”∵∠C＝30°，∴∠E＝30°，∠ABC＝∠D＝90°﹣30°＝60°，①如图，当AE∥BC时，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴α＝∠EAC＝30°；②如图，当DE∥AB时，∴α＝∠D＝60°，③如图，当AD∥BC时，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴α＝90°+30°＝120°．④如图，当AC∥DE时，∴∠CAD＝∠D＝60°，∴α＝90°+∠CAD＝150°；综上：△ADE与△ABC这两个三角形的一组边互相平行时，α为60°或30°或120°或150°．18．（2023春•荣成市期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝　 　，∠3＝　 　；（2）图2中，当被b反射出的光线n与光线m平行时，不论∠1如何变化，∠2与∠1总具有一定的数量关系，请猜想∠2和∠1的数量关系，并说明理由；（3）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数；（4）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，求出此时∠O的度数？（友情提示：三角形内角和等于180°）​【分析】利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题．【解答】解：（1）由题知，∠1＝∠4，则∠6＝180°﹣2∠1＝80°．又m∥n，所以∠6+∠2＝180°，则∠2＝100°．又∠5＝∠7，则∠5＝（180°﹣100°）＝40°．由三角形的内角和可知，∠3＝180°﹣（∠4+∠5）＝90°．故答案为：100°，90°．（2）∠2＝2∠1．由题知，因为m∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠1，则180°﹣2∠1+∠2＝180°，即∠2＝2∠1．故∠2和∠1的数量关系为：∠2＝2∠1．（3）由题知，因为m∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠4，∠2＝180°﹣2∠5，所以180°﹣2∠4+180°﹣2∠5＝180°，即∠4+∠5＝90°．由三角形的内角和得，∠3＝180°﹣90°＝90°．故∠3的度数为90°．（4）由题知，∠1＝90°﹣∠3，∠2＝90°﹣∠4，又∠3+∠4＝90°，所以∠1+∠2＝180°﹣（∠3+∠4）＝135°．所以∠O＝180°﹣135°＝45°．故∠O的度数为45°．19．（2023春•定兴县期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2＝4∠1，求∠1的度数．【分析】（1）由题意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，再由平行线的性质即可求得∠2的度数；（2）由题意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB，由平行线的性质可得∠AGF＝∠ACP，再由三角形的外角性质即可求解；（3）由图可知∠1＝∠CMN，则由三角形的外角性质得∠ANM＝∠1+90°，利用平行线的性质得∠2＝∠ANM，从而可求解．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，∵a∥b，∴∠2＝∠ACP＝132°；（2）∠2﹣∠1＝120°，理由如下：如图2，由题意得：∠ACP＝∠1+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠AGF＝∠ACP＝∠1+90°，∵∠2是△AFG的外角，∴∠2＝∠BAC+∠AGF＝30°+∠1+90°，即∠2﹣∠1＝120°；（3）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，∴∠ANM＝∠CMN+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠2＝∠ANM＝∠1+90°，∵∠2＝4∠1，∴4∠1＝∠1+90°，解得：∠1＝30°．20．（2023春•盐都区期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，求∠BO′C的度数；（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：如图1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为 　 　；（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，则∠BO′C的度数为 　 　；（3）∠BOC与∠BO'C的数量关系是 　 　．（4）【问题深入】：如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得点A与点O重合，请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式；（5）如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O′，作直线PQ交AD于点P，交AE于点Q．当∠APQ＝∠AQP时，∠CO′Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接写出结果．【分析】（1）由三角形内角和定理得到，∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，再根据角平分线的定义，推出，即可求出∠BOC的度数；（2）根据三角形外角的定义，推出∠CBD+∠BCE＝180°+n°，再根据角平分线的定义，推出，然后利用三角形内角和定理即可求出∠BO'C的度数；（3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案；（4）由折叠的性质可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，得到∠1＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣2∠ONM，再根据三角形内角和定理，推出∠1+∠2＝2∠A，由（1）同理可证，据此即可得到答案；（5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出∠BO'C＝∠BPQ，再根据三角形外角的性质，得到∠CO'Q＝∠PBO'，最后根据∠ABC＝180°﹣2∠PBO'，即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠A＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴，，∴，∴，故答案为：；（2）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°，∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，∴，，∴，∴，故答案为：；（3）由（1）和（2）可知，，，∴∠BOC+∠BO'C＝180°，故答案为：∠BOC+∠BO'C＝180°（4）∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°，理由如下：由折叠的性质可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，∴∠1＝180°﹣∠AMN﹣∠OMN＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣∠ANM﹣∠ONM＝180°﹣2∠ONM，∵∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠AMN+180°﹣2∠ANM＝360°﹣2（∠AMN+∠ANM）＝2∠A，由（1）同理可证，，∴2∠A＝4∠BOC﹣360°，∴∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°；（5）∵四边形BCQP的内角和为360°，∴∠CBP+∠BPQ+∠PQC+∠BCQ＝360°，∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，∴∠CBD＝2∠CBO'，∠BCE＝2∠BCO'，∵∠APQ＝∠AQP，∴2∠CBO'+2∠BPQ+2∠BCO'＝360°，∴∠CBO'+∠BPQ+∠BCO'＝180°，∴∠CBO'+∠BCO'+∠BO'C＝180°，∴∠BO'C＝∠BPQ，∵∠BO'Q＝∠BPQ+∠PBO'＝∠BO'C+∠CO'Q，∴∠CO'Q＝∠PBO'，∵∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠PBO'，∴∠ABC＝180°﹣2∠CO'Q，∴．21．（2023春•郯城县期中）已知AB∥CD，直线MN交AB、CD交于点M、N．（1）如图1所示，点E在线段MN上，设∠MBE＝15°，∠MND＝70°，则∠MEB＝　 　．（2）如图2所示，点E在线段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延长线于点F，试找出∠AEN、∠1、∠3之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是180°”）．（3）如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点P，请直接写出∠A与∠P的数量关系：　 　．【分析】（1）过点E作EG∥AB，根据平行线的性质得到∠BEG和∠MEG的度数，即可求出∠MEB的度数；（2）过点E作EH∥AB，根据平行线的性质，推出∠MEH＝2∠1，再结合角平分线的定义，推出∠HED＝2∠3，进而求得∠MED＝2∠1+2∠3，然后利用对顶角相等，即可求出∠AEN的度数；（3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质进行求解即可得到答案．【解答】解：（1）过点E作EG∥AB，∴∠BEG＝∠MBE＝15°，∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠MEG＝∠MND＝70°，∴∠MEB＝∠MEG﹣∠BEG＝70°﹣15°＝55°，故答案为：55°；（2）解：∠AEN＝2∠1+2∠3，证明如下：过点E作EH∥AB，∴∠1＝∠BEH，∵∠1＝∠2，∴∠MEH＝∠2+∠BEH＝∠1+∠1＝2∠1，∵DF平分∠EDC，∴∠EDC＝2∠3，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠HED＝∠EDN＝2∠3，∴∠MED＝∠MEH+∠HED＝2∠1+2∠3，∴∠AEN＝2∠1+2∠3；（3）解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACD＝2∠PCD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠ACD＝∠A+2∠PBC＝2（∠PBC+∠P），∴∠A＝2∠P，故答案为：∠A＝2∠P．（2023春•单县期末）如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°． （1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣（α+β），∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝（β﹣α）．23．（2023春•秀英区校级月考）如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．（1）若∠A＝70°，求∠P＝　 　度；（2）求∠PBQ及∠PCQ的度数；（3）若∠A＝α，求∠P及∠Q的度数．（用含α的代数式表示）【分析】（1）由∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）可得∠P度数，由∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）可得∠Q度数；（2）由角平分线知∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC，由∠ABC+∠DBC＝180°知∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，同理可得∠PCQ的度数；（3）（3）与（2）同理可得．【解答】解：（1）∵∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°；∵∠QBC＝∠ABC、∠QCB＝∠ACB，∴∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣70°）＝55°．故答案为：55；（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．∴∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC、∠PCB＝∠ACB、∠QCB＝∠BCE，∵∠ABC+∠DBC＝180°、∠ACB+∠BCE＝180°，∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，∠PCQ＝∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠BCE）＝90°；（3）与（2）同理知∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α，∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣α，24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．25．（2023春•桂林期末）实验与探究小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：在直线CD上取一定点N，作一任意三角形MNP，过点M作直线AB∥CD，并标记∠BMP为∠1，∠DNP为∠2，请用平行线的相关知识解决下列问题．（1）如图1，小芳发现，当点P落在直线AB与CD之间时，总有∠1+∠2＝∠P的结论，请你帮小芳说明理由；（2）将三角形MNP绕点N旋转，当点P落在直线AB与CD之外时（如图2），小芳发现∠1，∠2，∠P之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P落在直线AB与CD之间时，小芳用数学软件作出∠AMP与∠CNP的角平分线MQ和NQ，交点为点Q，发现∠P与∠MQN之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠EPN＝∠2，∠EPM＝∠1即可；（2）根据平行线的性质得出∠2＝∠PFB，再根据三角形内角和定理得出∠PFB＝∠P+∠1，进而得出答案；（3）利用（1）的结论以及角平分线的定义进行计算即可．【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠EPN＝∠2，∠EPM＝∠1，∴∠MPN＝∠EPN+∠EPM＝∠1+∠2；（2）∠2＝∠P+∠1，理由如下：如图2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠PFB，∵∠PFB＝∠P+∠1，∴∠2＝∠P+∠1；（3）∠P+2∠MQN＝360°，理由如下：如图3，由（1）可得，∠P＝∠BMP+∠DNP，∠Q＝∠AMQ+∠CNQ，∵MQ平分∠AMP，NQ平分∠CNP，∴∠AMQ＝∠QMP，∠CNQ＝∠QNP，∵∠AMQ+∠QMP+∠BMP＝180°，∠CNQ+∠QNP+∠DNP＝180°，∴2∠Q+∠P＝180°+180°＝360°，即∠P+2∠MQN＝360°．26．（2023春•徐州期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．（1）如图1，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含α的代数式表示∠H，并说明理由；（3）如图3，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含α的代数式表示∠BMD，则∠BMD＝　 　．【分析】（1）①利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答，②利用角的关系可证明BF与GD的位置关系；（2）和（3）均利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可．【解答】（1）解：①∵∠ABC+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，∴∠ABC＝∠CDE＝2∠1．又∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴2∠1+2∠2＝180，即2（∠1+∠2）＝180°，∴∠1+∠2＝90°．②∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝90°+∠1，∠GDC＝∠GDE+∠CDE＝∠2+2∠1＝∠1+∠2+∠1＝90°+∠1，∴∠BFC＝∠GDC＝90°+∠1，∴BF∥GD．（2）∠H＝45°﹣α．证明：∵∠H+∠BGH＝∠FBG，∠BGH＝∠DGE＝90°﹣∠EDG，∴∠H+90°﹣∠EDG＝∠FBG，∴∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°．∵∠BGD＝∠EDG+90°，∠BFD＝∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG＝360°，∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝360°．又∵∠ABF＝∠FBG，∠FDG＝∠EDG，∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG＝360°，整理得2（∠EDG+∠FBG）＝360°﹣90°﹣α＝270﹣α，∴∠FBG+∠EDG＝（270﹣α）＝135﹣α．将之代入∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°，得∠H＝135﹣α﹣90°＝45°﹣α．（3）∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE＝360°，∴∠BMD＝360°﹣90°﹣（∠MBE+∠MDE）＝270°﹣（∠MBE+∠MDE）．又∵α+90°+∠ABE+∠ADE＝360°，∠ABE＝2∠MBE，∠ADE＝2∠MDE，∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE＝α+90°+2c（∠MBE+∠MBE）＝360°，∴∠MBE+∠MBE＝（360°﹣90°﹣α）＝135°﹣α．将之代入∠BMD＝270°﹣（∠MBE+∠MDE），得∠BMD＝270°﹣（135°﹣α）＝135°+α．故答案为：135°+α．27．（2023春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，则∠DAE＝　 　°；（2）∠B、∠C与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；（3）点G是线段CE上任一点（不与C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延长线于点H，点F在BA的延长线上．若∠FAC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代数式表示）．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，在Rt△ADB中求出∠BAD的度数，即可求出∠DAE的度数；（2）根据三角形内角和定理用∠B、∠C表示出∠BAC，再根据角平分线的定义表示出∠BAE，在Rt△ADB中用∠B表示出∠BAD，即可求出∠DAE与∠B、∠C的关系；（3）根据三角形外角的性质得到∠FAC＝∠B+∠C，即∠B+∠C＝α①，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠GHE＝β，根据（2）中的结论得到∠B﹣∠C＝2β②，①与②组成方程组，求解即可．【解答】（1）解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∵∠B＝64°，∠C＝42°，∴∠BAC＝180°﹣64°﹣42°＝74°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝64°，∴∠BAD＝90°﹣64°＝26°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣26°＝11°，故答案为：11；（2），证明：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝；（3）解：∵∠FAC是△ABC的一个外角，∴∠FAC＝∠B+∠C，∵∠FAC＝α，∴∠B+∠C＝α①，∵AD⊥BC，GH⊥CE，∴AD∥GH，∴∠DAE＝∠GHE，∵∠GHE＝β，∴∠DAE＝β，由（2）知，∴，即∠B﹣∠C＝2β②，①、②组成方程组得，解得．28．（2023春•增城区期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【分析】（1）结论：AB∥CD．只要证明∠AEM＝∠EMD即可．（2）①想办法求出∠HEN即可解决问题．②结论：α＝β．想办法用β表示∠HEN即可解决问题．【解答】解：（1）结论：AB∥CD．理由：如图1中，∵EM平分∠AEF交CD于点M，∴∠AEM＝∠MEF，∵∠FEM＝∠FME．∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD．（2）①如图2中，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°，∴∠AEG＝120°，∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝60°，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．②猜想：α＝β或α＝90°﹣β理由：①当点G在F的右侧时，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGH＝β，∴∠AEG＝180°﹣β，∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝90°﹣β，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝β．②当点G在F的左侧在线段FM上时，同法可得α＝90°﹣β，综上所述，α＝β或α＝90°﹣β．29．（2023春•信都区期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠A的度数是 　 　；∠EFB的度数是 　 　，②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系． 【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知∠EFB＝∠FBC，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠C＝∠DEF，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴在△ABC中，∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∵BD平分∠ABC，∴，∴∠EFB＝∠FBC＝20°，故答案为：80°、20°；②∵∠BGE是△EGF是一个外角，∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG，∵EF∥BC，∴∠C＝∠DEF，∵∠ABC+∠C＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠DEF＝180°﹣∠A，∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，∴，，∴，∵EF∥BC，∴∠EFG＝∠CBD，∴，∴；（2）∵EF∥BC，∴∠FEH＝∠EHC，∵GH是∠FEG的平分线，∴∠FEH＝∠HEG，∴∠HEG＝∠EHC，∴，∵BG平分∠ABC，∴，∴，30．（2023春•曹县期末）如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD 的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）在图1中，当∠CDO＝50°时，求∠F的度数；（2）如图2，当C、D两点分别在射线OA、OB上移动时（不与点O重合），其他条件不变，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出∠F的度数．​【分析】（1）根据三角形外角的性质得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根据角平分线定义得∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，由已知可求∠ACD＝90°+50°＝140°，∠ECD＝∠ACD＝70°，可求∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝70°﹣25°＝45°；（2）根据三角形外角的性质得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根据角平分线定义得∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，可推出∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝∠ACD﹣∠CDO＝（∠O+∠CDO）﹣∠CDO＝∠O＝45°，即∠F恒等于45°．【解答】解：（1）∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，∵CE是∠ACD 的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，∵∠CDO＝50°，∠AOB＝90°，∴∠ACD＝∠O+∠CDO＝90°+50°＝140°，∠ECD＝∠ACD＝70°，∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝70°﹣25°＝45°；（2）∠F的大小不变化，∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，∵CE是∠ACD 的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝∠ACD﹣∠CDO＝（∠O+∠CDO）﹣∠CDO＝∠O＝45°，即∠F恒等于45°．