北师大版（2024）九年级下册6 直线与圆的位置关系课后复习题

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.确定圆的条件
知识点2.直线和圆的位置关系（重点）
知识点3.切线的性质（重点）
知识点4.圆的切线的判定（难点）
知识点5.三角形的内切圆、内心（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.确定已知圆的圆心
题型2.证明多点共圆
题型3.判断直线与圆的位置关系
题型4.直线和圆的位置关系与平面直角坐标系的综合应用
题型5.切线的性质与判定的综合应用
题型6.三角形内切圆的计算与证明
题型7.探究题
题型8.直线和圆的位置关系与函数的综合
【方法三】成果评定法
【学习目标】
掌握确定一个圆的条件，能画出三角形的外接圆。
会求出特殊三角形的外接圆的半径。
3.掌握直线和圆的位置关系，能用数量关系来判断直线与圆的位置关系。
4.理解切线的性质及判定，能运用切线的性质解决问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【例1】．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等
B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等
C．过三点可以画一个圆
D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
【变式】．（2022秋•江宁区校级月考）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
知识点2.直线和圆的位置关系（重点）
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
要点诠释：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【例2】（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【变式】．（2022秋•亭湖区校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
知识点3.切线的性质（重点）
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
【例3】如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【变式】．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
知识点4.圆的切线的判定（难点）
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
要点诠释：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
【例4】．（2023•沛县模拟）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【变式】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
知识点5.三角形的内切圆、内心（重点）
1.三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
【例5】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
【方法二】实例探索法
题型1.确定已知圆的圆心
1．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
2．（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
题型2.证明多点共圆
3.如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．

4．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
5．已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点．
(1)线段与有何关系．说明理由；
(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．
题型3.判断直线与圆的位置关系
6．（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm．
（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？
（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围
7．（2022春·全国·九年级专题练习）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值．
题型4.直线和圆的位置关系与平面直角坐标系的综合应用
8．（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（ ）
A．（7+2π，9）B．（7+2.5π，9）C．（7+2π，8）D．（7+2.5π，8）
9．（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长．
题型5.切线的性质与判定的综合应用
10．（2023•邗江区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧BC于点P．
（1）证明：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径．
11．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）如图①，△OPC的最大面积是 ；
（2）如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
题型6.三角形内切圆的计算与证明
12．（2023•靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为 ．
13．（2023•沭阳县一模）如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于 ．
题型7.探究题
14．如图，在梯形中，AD∥BC，，，，，为的直径，动点从点开始，沿边向点以的速度运动，点从点开始，沿边向点以的速度运动，点、分别从点、出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形?
（2）当为何值时，直线与相切?
题型8.直线和圆的位置关系与函数的综合
15．（2022春·九年级课时练习）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．
（1）求圆心C到直线AB的距离；
（2）求△PAB面积的最大值．
16．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，P为正比例函数图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．
17．（2023·全国·九年级专题练习）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G为⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图1，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．
（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）．
（2）如图2，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．
（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．
【方法三】 成果评定法
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•古冶区期中）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，，则
A．B．C．D．
2．（2023秋•长春期末）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为
A．2B．4C．6D．8
3．（2023•江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．（2023秋•海曙区期中）下列说法正确的是
A．平分弦的直径垂直于弦
B．不在同一直线上的三点确定一个圆
C．直径是弦，弦是直径
D．长度相等的弧是等弧
5．（2022秋•谷城县期末）中，，，，以点为圆心，为半径作，则正确的是
A．当时，直线与相交B．当时，直线与相离
C．当时，直线与相切D．当时，直线与相切
6．（2023秋•南开区期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点，，，且，，则的周长为
A．16B．14C．12D．10
7．（2023•浠水县校级模拟）如图，为的外心，四边形为正方形．以下结论：①是的外心；②是的外心；③直线与的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．（2023秋•盐都区期中）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．
A．3B．7C．3或7D．6或14
二．填空题（共8小题）
9．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
10．（2023秋•舒兰市期末）若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）．
11．（2023秋•长春期末）如图，是的切线，是切点，连结、．若，则的大小为 度．
12．（2023秋•黑龙江期末）若一直角三角形外接圆的半径为2.5，则这个直角三角形的斜边长为 ．
13．（2023秋•日喀则市期末）如图，，是的切线，，点（不与，重合）是上任意一点，则的度数为 ．
14．（2023秋•郾城区期中）如图，，分别与相切于点，，为的直径，若，则的形状是 ．
15．（2023秋•青秀区月考）如图，在等边三角形中，，若的半径为1，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 ．
16．（2022秋•海珠区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切．
三．解答题（共5小题）
17．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求半径的长．
18．（2023秋•中山区校级月考）如图1，一个圆形喷水池的中央是上下底面均为圆的几何体，喷水池内安装了竖直的喷水管，顶端的喷水头距水池底部0.2m，喷出的水柱呈抛物线形，其最高点距水池底部2.6m，与水管的水平距离为2m，水柱的落点恰好在上底面的圆心处．如图2，以下底面圆的圆心O为原点，下底面圆心O与一个喷水头的底部B所在直线为x轴，下、上两圆圆心O，C所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．测得上下底面的高度OC为2m，喷水头的底部B与下底面圆上点的最近距离BD为2.5m，那么底面圆的半径OD的长是多少？
19．（2023秋•黑龙江期末）如图，中，，为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）求证．
20．（2023秋•潮南区期末）如图，矩形ABCD中，⊙O经过点A，且与边BC相切于M点，⊙O过CD边上的点N，且CM＝CN．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若BE＝2，AE＝6，求BC的长．
21．（2023秋•讷河市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB于点E，DE交AC于点F，且CD＝6，ED＝9，求EF的长．
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.