北师大版数学七年级下册同步讲义第二章第03讲 平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第03讲 解题技巧专题：平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc21874" 【考点一 平行线中含一个拐点问题】  PAGEREF _Toc21874 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc20961" 【考点二 平行线中含两个拐点问题】  PAGEREF _Toc20961 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc28107" 【考点三 平行线中含多个拐点问题】  PAGEREF _Toc28107 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc9306" 【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】  PAGEREF _Toc9306 \h 27【考点一 平行线中含一个拐点问题】例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图，直线，，则 ．【变式训练】1．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．  2．（2023上·福建漳州·八年级统考期中）已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，若，则 ．  3．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °．4．（2023上·七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．  （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．  5．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点．【感知】如图①，当点在线段左侧时，若，，求的度数．分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点作，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知，进而求出的度数．【探究】如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______ ．6．（2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）（基础巩固】（1）如图1，平分，平分，，则____________；【尝试探究】（2）如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角．①若，求的度数；②试说明：．【拓展提高】（3）如图3，若，，平分，请判断与的等量关系，并说明理由．  7．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．(1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）证明：过点作直线，∵，∴_______①_______．∵，∴_______②_______．∵，∴_______③_______（_______④_______）．∴．(2)【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．(3)【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．【考点二 平行线中含两个拐点问题】例题：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【变式训练】1．（2023上·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，则 ．  2．①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．3．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 4．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.    (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据.证明：过点P作直线，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如图2，若的平分线与的平分线交于点.①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由；②【结论运用】若，求的度数.(3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______.5．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）如图1，，点、分别在、上，点在直线、之间，且．  (1)求的值；(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．【考点三 平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线，则的度数为___________°．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．2．（2023上·七年级课时练习）观察图形：     已知，在图1中，可得_______________度，在图2中，可得_______________度……按照以上规律，则_______________度．3.如图：(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）4．猜想说理：（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若，则 度；（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】例题：（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（　　）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023下·山西临汾·七年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知，，若，则的度数为（    ）A．60° B．65° C．70° D．75°2．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则（　　）  A． B． C． D．3．（22·23七年级下·山东聊城·期末）七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的护眼灯，如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，则的度数为 ．