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北师大版初中数学七年级下册第二单元《相交线与平行线》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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北师大版初中数学七年级下册第二单元《相交线与平行线》单元测试卷（困难）（含答案解析）考试范围：第二单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线2. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有( )①线段CD的长度是C点到AB的距离； ②线段AC是A点到BC的距离；③AB>AC>CD．A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3. 如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理依据是( )A. 同角的余角相等 B. 对顶角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等4. 平面内有n条直线(n≥2)，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是( )A. n(n−1) B. n2−n+1 C. n2−n2 D. n2−n+225. 下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )A. B. C. D. 6. 如图，与∠α构成同旁内角的角有( )A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 4个7. 如图所示，同位角共有( )A. 6对 B. 8对 C. 10对 D. 12对8. 如图，射线OB、OC在∠AOD的内部，下列说法： ①若∠AOC=∠BOD=90°，则与∠BOC互余的角有2个； ②若∠AOD+∠BOC=180°，则∠AOC+∠BOD=180°； ③若OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD，则∠MON=12∠AOB； ④若∠AOD=150°、∠BOC=30°，作∠AOP=12∠AOB、∠DOQ=12∠COD，则∠POQ=90° 其中正确的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. 如图，用尺规作图法作出∠OBF，使得∠OBF与已知角∠AOB，作图痕迹弧 是( ) A. 以点为圆心，长为半径的圆弧； B. 以点为圆心，长为半径的圆弧； C. 以点为圆心，长为半径的圆弧； D. 以点为圆心，长为半径的圆弧．10. 下列说法中，正确的是( ) ①射线AB和射线BA是同一条射线； ②若AB=BC，则点B为线段AC的中点； ③同角的补角相等； ④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10．A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④11. 某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角对．( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 1612. 若∠1与∠2是同旁内角，∠1=50°，则( )A. ∠2=50° B. ∠2=130° C. ∠2=50°或∠2=130° D. ∠2的大小不定 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 如图，在同一平面内，线段AM⊥射线MN，垂足为M，线段BC⊥射线MN，垂足为C.若点P是射线MN上一点，连结PA、PB，记∠PBC=α，∠PAM=β，且0°<∠APB<180°，则∠APB=______(用含α、β的代数式表示∠APB)．14. 已知∠A=35°，则∠A的余角的3倍是___________． 15. 平面内5条直线两两相交，且没有3条直线交于一点，那么图中共有______对同旁内角． 16. 如图，与∠A是同旁内角的角共有____________个． 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题8.0分) 如图1，点O为直线AB上点，过点O作射线OC，使∠BOC=50°.现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2． (1)∠EOC= ______ ； (2)如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数； (3)将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC=13∠AOE，求此时∠BOD的度数． 18. (本小题8.0分)已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．(1)如图①，若∠AOB=80∘，则∠BOC=____ ∘，∠AOD=_______ ∘；(2)如图②，若∠AOB=140∘，求∠AOD的度数；(3)若∠AOB=n∘，直接写出∠AOD的度数(用含n的代数式表示)，及相应的n的取值范围．19. (本小题8.0分)如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1→同旁内角∠9→内错角∠3． 路径2∠1→内错角∠12→内错角∠6→同位角∠10→同旁内角∠3．试一试：(1)从起始角∠1跳到终点角∠8，试写出一种路径；(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？若能，写出路径．20. (本小题8.0分) [逻辑推理]将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝.在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获.数学大师罗增儒在著作《数学解题学引论》中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零是一种常见的数学解题思想． ① ② (1)在《相交线与平行线》这章中，有一个基本图形：三线八角(如图 ①)，在这个基本图形中，有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角;(2)如图 ②，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角;(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角;(4)平面内n(n≥3)条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．21. (本小题8.0分) 已知如图，两条射线AM//BN，连结端点A和B.点P是射线AM上不与点A重合的一个动点，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D． (1)若∠A=60∘，求∠CBD的度数．(2)∠APB与∠ADB的比值是否发生变化?若不变，求出∠APB:∠ADB的值;若变化，请说明理由．(3)若∠A=β，当∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．22. (本小题8.0分) AB//CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E.∠ADC=70°． (1)求∠EDC的度数； (2)若∠ABC=30°，求∠BED的度数； (3)将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，请直接写出∠BED的度数(用含n的代数式表示)． 23. (本小题8.0分) 如图1，AB // CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线． (1)试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．(2)如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．(3)如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系(直接写出结果不需证明)24. (本小题8.0分) 作图题 如图，点C，E均在直线AB上，∠BCD=45°． (1)在图中作∠FEB，使∠BEF=∠DCB(保留作图痕迹，不写作法)． (2)请直接说出直线EF与直线CD的位置关系． 25. (本小题8.0分) 尺规作图：(画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论) 已知：∠α，线段a、b． 求作：△ABC，使∠B=∠α，AB=b，BC=a． 答案和解析1.【答案】C 【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 此题考查知识点垂线段最短． 2.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义和垂线段最短，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90°；根据垂直的定义，点到直线距离的定义和垂线段最短对各选项进行逐一分析即可． 【解答】 解：①线段CD的长度是C点到AB的距离，故说法正确； ②线段AC的长度是A点到BC的距离，故说法错误； ③由垂线段最短可知，AB>AC且AC>CD，所以AB>AC>CD，故说法正确． 故选C． 3.【答案】C 【解析】解：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠2(同角的补角相等)， 故选C． 根据同角的补角相等推出即可． 本题考查了邻补角的定义和补角的性质，能熟记补角的性质是解此题的关键． 4.【答案】D 【解析】【分析】 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线…的交点最多的个数，找出规律即可解答． 本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点． 【解答】 解：如图： 2条直线相交最多有1个交点； 3条直线相交最多有1+2个交点； 4条直线相交最多有1+2+3个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点； … n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+(n−1)=n(n−1)2个交点． 所以a=n(n−1)2，而b=1， ∴a+b=n2−n+22． 故选D． 5.【答案】D 【解析】【分析】 根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【解答】 解：根据同位角定义可得D是同位角， 故选D． 6.【答案】C 【解析】【分析】 此题主要考查了同旁内角的知识，根据同旁内角的定义，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.判断是否是同旁内角，必须符合三线八角中，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 【解答】 解：根据同旁内角的定义可知：与∠α构成同旁内角的角有5个． 故选C． 7.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角.在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和． 【解答】 解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对， 射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角； 射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角； 射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角； 则总共10对． 故选C． 8.【答案】C 【解析】解：①∵∠AOC=∠BOD=90°， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°， ∴与∠BOC互余的角有2个；故正确； ②∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOD=180°， ∴∠AOC+∠BOD=180°；故正确； ③如图1，∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD， ∴∠DOM=12∠AOD，∠DON=12∠BOD， ∴∠MON=∠DOM−∠DON=12(∠AOD−∠BOD)=12∠AOB，故正确； ④如图2， ∵∠AOD=150°，∠BOC=30°， ∴∠AOB+∠COD=150°−30°=120°， ∵∠AOP=12∠AOB、∠DOQ=12∠COD， ∴∠AOP+∠DOQ=12(∠AOB+∠COD)=60°， ∴∠POQ=150°−60°=90°， 如图3，∵∠AOD=150°、∠BOC=30°， ∴∠AOB+∠COD=150°−30°=120°， ∵∠AOP=12∠AOB、∠DOQ=12∠COD， ∴∠AOP+∠DOQ=12(∠AOB+∠COD)=60°， ∴∠POQ=360°−150°−60°=150°， 综上所述，∠POQ不一定为90°，故错误， 所以正确的有①②③， 故选C． 根据余角和补角的定义和角平分线的定义即可得到结论． 本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 9.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键.根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．【解答】解：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D； ②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F； ③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交EF于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．故选D． 10.【答案】D 【解析】解：①射线AB和射线BA不是同一条射线，故①错误； ②若AB=BC，仅当点B在线段AC上时，则点B才为线段AC的中点，故②错误； ③同角的补角相等，故③正确； ④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10，故④正确． 故选：D． 根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案． 本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键． 11.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了同旁内角在题中的应用，在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏.观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1 、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论． 【解答】 解：l1 、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理， 故一共有同旁内角2×8=16对． 故选D． 12.【答案】D 【解析】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补． 故选D． 两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角．特别注意，同旁内角互补的前提条件是两直线平行． 13.【答案】180°+α−β或180°−α+β或180°−α−β 【解析】解：连接AB交MC于点D，三种情况讨论： (1)如图：当P在MD上时，∠APB=∠APD+∠BPD， ∵∠APD=∠M+∠PAM =90°+α， ∠BPD=90°−∠PBC =90°−β， ∴∠APB=∠APD+∠BPD =90°+α+90°−β =180°+α−β； (2)如图：当P在CD上时，∠APB=∠APM+∠BPM， ∴∠APB=∠APM+∠BPM =90°−α+90°+β =180°−α+β； (3)如图：当P在射线CN上时，∠APB=∠APM+∠BPM， ∴∠APB=∠APM+∠BPM =90°−α+90°−β =180°−α−β； 故答案为：180°+α−β或180°−α+β或180°−α−β． 连接AB交MC于点D，根据P在射线不同的位置分三种情况讨论． 本题考查了角的求法和直角三角形两个锐角的关系，关键是分类讨论和利用三角形外角的性质． 14.【答案】165° 【解析】【分析】 本题主要考查了余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键．若两个角的和为90°，则这两个角互余，据此即可求解． 【解答】 解：∠A=35°， ∠A的余角为90°−35°=55°， ∠A的余角的3倍为55°×3=165°． 故答案为165°． 15.【答案】60 【解析】【分析】 本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同位角，在被截直线之间找内错角、同旁内角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点． 每条直线都与另4条直线相交，且没有3条直线交于一点，共有30条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数． 【解答】 解：如图所示： 因为平面上5条直线两两相交且无三线共点， 所以共有30条线段． 又每条线段两侧各有一对同旁内角， 所以共有同旁内角30×2=60对． 故答案为：60． 16.【答案】4 【解析】解：与∠A是同旁内角的有：∠ABC、∠ADC、∠ADE，∠AED共4个． 故答案为：4． 同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 本题主要考查了同旁内角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 17.【答案】解：(1)40°； (2)设∠BOD=α， 所以∠COD=50°−α， 因为∠DOE=90°， 所以∠COE=90°−∠COD， 因为OC是∠EOB的角平分线， 所以∠COE=∠BOC=50°， 所以90°−∠COD=90°−(50°−α)=50°， 所以α=10°， 所以∠BOD=10°； (3)设∠COD=β，则∠AOE=3β， 因为∠BOC=50°， 所以∠BOD=50°−β， 因为∠DOE=90°， 所以∠AOE+∠BOD=90°， 所以3β+50°−β=90°， 所以β=20°， 所以∠BOD=50°−20°=30°． 【解析】【分析】 本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． (1)根据余角的定义即可得到结论； (2)设∠BOD=α，得到∠COD=50°−α，根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOC=50°，列方程即可得到结论； (3)设∠COD=β，则∠AOE=3β，根据余角的定义即可得到结论． 【解答】 解：(1)因为∠DOE=90°，∠DOC=50°， 所以∠EOC=90°−50°=40°， 故答案为：40°； (2)见答案； (3)见答案． 18.【答案】解：(1)100；130； (2)∵∠AOB=140°， ∴∠AOB+∠BOC=180°， ∴∠BOC=40° ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD=12∠BOC=20°， ①当OC在∠AOB的外部时，如图： ∵∠AOB=140°，∠AOB与∠BOC互为补角， ∴∠BOC=180°−140°=40°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD=12∠BOC=20°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=160°； ②当OC在∠AOB的内部时， 同理∠BOD=20°， ∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=120°， 综上所述，∠AOD的度数是160°或120°． (3)当OC和OA在OB的不同侧时，∠AOD=90∘+12n∘，0∘
北师大版初中数学七年级下册第二单元《相交线与平行线》单元测试卷（困难）（含答案解析）考试范围：第二单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线2. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有( )①线段CD的长度是C点到AB的距离； ②线段AC是A点到BC的距离；③AB>AC>CD．A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3. 如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理依据是( )A. 同角的余角相等 B. 对顶角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等4. 平面内有n条直线(n≥2)，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是( )A. n(n−1) B. n2−n+1 C. n2−n2 D. n2−n+225. 下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )A. B. C. D. 6. 如图，与∠α构成同旁内角的角有( )A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 4个7. 如图所示，同位角共有( )A. 6对 B. 8对 C. 10对 D. 12对8. 如图，射线OB、OC在∠AOD的内部，下列说法： ①若∠AOC=∠BOD=90°，则与∠BOC互余的角有2个； ②若∠AOD+∠BOC=180°，则∠AOC+∠BOD=180°； ③若OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD，则∠MON=12∠AOB； ④若∠AOD=150°、∠BOC=30°，作∠AOP=12∠AOB、∠DOQ=12∠COD，则∠POQ=90° 其中正确的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. 如图，用尺规作图法作出∠OBF，使得∠OBF与已知角∠AOB，作图痕迹弧 是( ) A. 以点为圆心，长为半径的圆弧； B. 以点为圆心，长为半径的圆弧； C. 以点为圆心，长为半径的圆弧； D. 以点为圆心，长为半径的圆弧．10. 下列说法中，正确的是( ) ①射线AB和射线BA是同一条射线； ②若AB=BC，则点B为线段AC的中点； ③同角的补角相等； ④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10．A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④11. 某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角对．( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 1612. 若∠1与∠2是同旁内角，∠1=50°，则( )A. ∠2=50° B. ∠2=130° C. ∠2=50°或∠2=130° D. ∠2的大小不定 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 如图，在同一平面内，线段AM⊥射线MN，垂足为M，线段BC⊥射线MN，垂足为C.若点P是射线MN上一点，连结PA、PB，记∠PBC=α，∠PAM=β，且0°<∠APB<180°，则∠APB=______(用含α、β的代数式表示∠APB)．14. 已知∠A=35°，则∠A的余角的3倍是___________． 15. 平面内5条直线两两相交，且没有3条直线交于一点，那么图中共有______对同旁内角． 16. 如图，与∠A是同旁内角的角共有____________个． 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题8.0分) 如图1，点O为直线AB上点，过点O作射线OC，使∠BOC=50°.现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2． (1)∠EOC= ______ ； (2)如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数； (3)将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC=13∠AOE，求此时∠BOD的度数． 18. (本小题8.0分)已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．(1)如图①，若∠AOB=80∘，则∠BOC=____ ∘，∠AOD=_______ ∘；(2)如图②，若∠AOB=140∘，求∠AOD的度数；(3)若∠AOB=n∘，直接写出∠AOD的度数(用含n的代数式表示)，及相应的n的取值范围．19. (本小题8.0分)如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1→同旁内角∠9→内错角∠3． 路径2∠1→内错角∠12→内错角∠6→同位角∠10→同旁内角∠3．试一试：(1)从起始角∠1跳到终点角∠8，试写出一种路径；(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？若能，写出路径．20. (本小题8.0分) [逻辑推理]将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝.在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获.数学大师罗增儒在著作《数学解题学引论》中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零是一种常见的数学解题思想． ① ② (1)在《相交线与平行线》这章中，有一个基本图形：三线八角(如图 ①)，在这个基本图形中，有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角;(2)如图 ②，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角;(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角;(4)平面内n(n≥3)条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．21. (本小题8.0分) 已知如图，两条射线AM//BN，连结端点A和B.点P是射线AM上不与点A重合的一个动点，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D． (1)若∠A=60∘，求∠CBD的度数．(2)∠APB与∠ADB的比值是否发生变化?若不变，求出∠APB:∠ADB的值;若变化，请说明理由．(3)若∠A=β，当∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．22. (本小题8.0分) AB//CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E.∠ADC=70°． (1)求∠EDC的度数； (2)若∠ABC=30°，求∠BED的度数； (3)将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，请直接写出∠BED的度数(用含n的代数式表示)． 23. (本小题8.0分) 如图1，AB // CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线． (1)试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．(2)如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．(3)如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系(直接写出结果不需证明)24. (本小题8.0分) 作图题 如图，点C，E均在直线AB上，∠BCD=45°． (1)在图中作∠FEB，使∠BEF=∠DCB(保留作图痕迹，不写作法)． (2)请直接说出直线EF与直线CD的位置关系． 25. (本小题8.0分) 尺规作图：(画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论) 已知：∠α，线段a、b． 求作：△ABC，使∠B=∠α，AB=b，BC=a． 答案和解析1.【答案】C 【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 此题考查知识点垂线段最短． 2.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义和垂线段最短，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90°；根据垂直的定义，点到直线距离的定义和垂线段最短对各选项进行逐一分析即可． 【解答】 解：①线段CD的长度是C点到AB的距离，故说法正确； ②线段AC的长度是A点到BC的距离，故说法错误； ③由垂线段最短可知，AB>AC且AC>CD，所以AB>AC>CD，故说法正确． 故选C． 3.【答案】C 【解析】解：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠2(同角的补角相等)， 故选C． 根据同角的补角相等推出即可． 本题考查了邻补角的定义和补角的性质，能熟记补角的性质是解此题的关键． 4.【答案】D 【解析】【分析】 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线…的交点最多的个数，找出规律即可解答． 本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点． 【解答】 解：如图： 2条直线相交最多有1个交点； 3条直线相交最多有1+2个交点； 4条直线相交最多有1+2+3个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点； … n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+(n−1)=n(n−1)2个交点． 所以a=n(n−1)2，而b=1， ∴a+b=n2−n+22． 故选D． 5.【答案】D 【解析】【分析】 根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【解答】 解：根据同位角定义可得D是同位角， 故选D． 6.【答案】C 【解析】【分析】 此题主要考查了同旁内角的知识，根据同旁内角的定义，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.判断是否是同旁内角，必须符合三线八角中，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 【解答】 解：根据同旁内角的定义可知：与∠α构成同旁内角的角有5个． 故选C． 7.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角.在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和． 【解答】 解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对， 射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角； 射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角； 射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角； 则总共10对． 故选C． 8.【答案】C 【解析】解：①∵∠AOC=∠BOD=90°， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°， ∴与∠BOC互余的角有2个；故正确； ②∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOD=180°， ∴∠AOC+∠BOD=180°；故正确； ③如图1，∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD， ∴∠DOM=12∠AOD，∠DON=12∠BOD， ∴∠MON=∠DOM−∠DON=12(∠AOD−∠BOD)=12∠AOB，故正确； ④如图2， ∵∠AOD=150°，∠BOC=30°， ∴∠AOB+∠COD=150°−30°=120°， ∵∠AOP=12∠AOB、∠DOQ=12∠COD， ∴∠AOP+∠DOQ=12(∠AOB+∠COD)=60°， ∴∠POQ=150°−60°=90°， 如图3，∵∠AOD=150°、∠BOC=30°， ∴∠AOB+∠COD=150°−30°=120°， ∵∠AOP=12∠AOB、∠DOQ=12∠COD， ∴∠AOP+∠DOQ=12(∠AOB+∠COD)=60°， ∴∠POQ=360°−150°−60°=150°， 综上所述，∠POQ不一定为90°，故错误， 所以正确的有①②③， 故选C． 根据余角和补角的定义和角平分线的定义即可得到结论． 本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 9.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键.根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．【解答】解：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D； ②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F； ③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交EF于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．故选D． 10.【答案】D 【解析】解：①射线AB和射线BA不是同一条射线，故①错误； ②若AB=BC，仅当点B在线段AC上时，则点B才为线段AC的中点，故②错误； ③同角的补角相等，故③正确； ④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10，故④正确． 故选：D． 根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案． 本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键． 11.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了同旁内角在题中的应用，在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏.观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1 、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论． 【解答】 解：l1 、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理， 故一共有同旁内角2×8=16对． 故选D． 12.【答案】D 【解析】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补． 故选D． 两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角．特别注意，同旁内角互补的前提条件是两直线平行． 13.【答案】180°+α−β或180°−α+β或180°−α−β 【解析】解：连接AB交MC于点D，三种情况讨论： (1)如图：当P在MD上时，∠APB=∠APD+∠BPD， ∵∠APD=∠M+∠PAM =90°+α， ∠BPD=90°−∠PBC =90°−β， ∴∠APB=∠APD+∠BPD =90°+α+90°−β =180°+α−β； (2)如图：当P在CD上时，∠APB=∠APM+∠BPM， ∴∠APB=∠APM+∠BPM =90°−α+90°+β =180°−α+β； (3)如图：当P在射线CN上时，∠APB=∠APM+∠BPM， ∴∠APB=∠APM+∠BPM =90°−α+90°−β =180°−α−β； 故答案为：180°+α−β或180°−α+β或180°−α−β． 连接AB交MC于点D，根据P在射线不同的位置分三种情况讨论． 本题考查了角的求法和直角三角形两个锐角的关系，关键是分类讨论和利用三角形外角的性质． 14.【答案】165° 【解析】【分析】 本题主要考查了余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键．若两个角的和为90°，则这两个角互余，据此即可求解． 【解答】 解：∠A=35°， ∠A的余角为90°−35°=55°， ∠A的余角的3倍为55°×3=165°． 故答案为165°． 15.【答案】60 【解析】【分析】 本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同位角，在被截直线之间找内错角、同旁内角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点． 每条直线都与另4条直线相交，且没有3条直线交于一点，共有30条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数． 【解答】 解：如图所示： 因为平面上5条直线两两相交且无三线共点， 所以共有30条线段． 又每条线段两侧各有一对同旁内角， 所以共有同旁内角30×2=60对． 故答案为：60． 16.【答案】4 【解析】解：与∠A是同旁内角的有：∠ABC、∠ADC、∠ADE，∠AED共4个． 故答案为：4． 同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 本题主要考查了同旁内角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 17.【答案】解：(1)40°； (2)设∠BOD=α， 所以∠COD=50°−α， 因为∠DOE=90°， 所以∠COE=90°−∠COD， 因为OC是∠EOB的角平分线， 所以∠COE=∠BOC=50°， 所以90°−∠COD=90°−(50°−α)=50°， 所以α=10°， 所以∠BOD=10°； (3)设∠COD=β，则∠AOE=3β， 因为∠BOC=50°， 所以∠BOD=50°−β， 因为∠DOE=90°， 所以∠AOE+∠BOD=90°， 所以3β+50°−β=90°， 所以β=20°， 所以∠BOD=50°−20°=30°． 【解析】【分析】 本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． (1)根据余角的定义即可得到结论； (2)设∠BOD=α，得到∠COD=50°−α，根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOC=50°，列方程即可得到结论； (3)设∠COD=β，则∠AOE=3β，根据余角的定义即可得到结论． 【解答】 解：(1)因为∠DOE=90°，∠DOC=50°， 所以∠EOC=90°−50°=40°， 故答案为：40°； (2)见答案； (3)见答案． 18.【答案】解：(1)100；130； (2)∵∠AOB=140°， ∴∠AOB+∠BOC=180°， ∴∠BOC=40° ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD=12∠BOC=20°， ①当OC在∠AOB的外部时，如图： ∵∠AOB=140°，∠AOB与∠BOC互为补角， ∴∠BOC=180°−140°=40°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD=12∠BOC=20°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=160°； ②当OC在∠AOB的内部时， 同理∠BOD=20°， ∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=120°， 综上所述，∠AOD的度数是160°或120°． (3)当OC和OA在OB的不同侧时，∠AOD=90∘+12n∘，0∘
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