北师大版数学七年级下册同步讲义第二章第02讲 平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

这是一份北师大版数学七年级下册同步讲义第二章第02讲 平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版），文件包含北师大版数学七年级下册同步讲义第二章第02讲平行线的判定和性质10类热点题型讲练原卷版docx、北师大版数学七年级下册同步讲义第二章第02讲平行线的判定和性质10类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
第02讲 平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行的条件，并能解决一些问题；3．掌握平行线的性质与判定的综合运用；4．体会平行线的性质与判定的区别与联系．知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念1.同位角、内错角和同旁内角：填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角.(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.知识点02 平行线的定义及表示(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行　 (2)相交2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.知识点03 平行公理及推论(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.知识点04 平行线的判定方法平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【总结】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.知识点05 平行线的性质(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).题型01 同位角、内错角、同旁内角的辨别【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（    ）A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角【变式训练】1．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤2．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（    ）  A．与是同位角 B．与是内错角C．与是对顶角 D．与是同旁内角题型02 同位角相等，两直线平行【例题】根据要求完成下面的填空：如图，直线，被所截，若已知．    （______），又（已知），____________，∴____________（______）．【变式训练】1．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：如图，，与平行吗？为什么？    解：．理由如下：∵（已知），∴________°即________°（    ）又∵（    ），且（已知）∴（    ）∴（    ）2．如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．  解：与平行；与平行，理由如下：，（________）（________）（________________________）；又（________）同理可得（________）∴（________）（________）（_____________________________）．题型03 内错角相等，两直线平行【例题】如图，交于，交于，交于，，，试判断和的位置关系，并说明为什么．【变式训练】1．推理填空： 已知：如图于B，于C，，求证：．   证明：∵于B，于C （已知） ∴∴与互余，与互余 又∵（ ），∴ ＝ （ ） ∴（ ）．2．如图，直线交于点O，分别平分和，已知，且．(1)求的度数；(2)试说明的理由．题型04 同旁内角互补，两直线平行【例题】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？解：∵平分，平分（已知），∴___________，___________，∴___________（　　），∵（　　），∴___________°，∴．【变式训练】1．如图，．试说明，根据图形，完成下列推理：∵（已知）∴（等量代换）∴________//_________（_______________）∵相交，∴（____________）∵∴∴ （___________________）2．完成下面的证明．已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．  证明：∵，∴______（______）．∵，∴______（______）．∴（______）．题型05 平行线及平行公理【例题】如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：．解：因为（已知）（___________）所以___________=___________（等量代换）所以______________________（___________）又因为（已知）所以______________________（___________）【变式训练】1．如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．  2．如图，，，垂足分别是，，．(1)判断与的位置关系；（不需要证明）(2)求证：．题型06 添加一条件使两条直线平行【例题】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，写出能判定的一个条件 （写出一个即可）．【变式训练】1．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ．（填序号）  2．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，垂足为，且，若增加一个条件使得，试写出一个符合要求的条件 ．  题型07 根据平行线的性质求角度【例题】（2023下·新疆阿克苏·七年级校考期末）如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．  【变式训练】1．（2023下·浙江金华·七年级校联考期末）如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．  (1)试说明；(2)若，，求的度数．2．（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）如图，已知，，，点E在线段上，，点F在直线上，．  (1)图中与相等的角有__________；(2)若，求的度数；(3)在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数．题型08 平行线的性质在生活中的应用【例题】（2023下·全国·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ．【变式训练】1．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处射线X是光线的延长线，，，则的度数为 ．2．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．  题型09 平行线的性质与判定综合应用【例题】（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °．【变式训练】1．（2023上·湖南岳阳·八年级校考开学考试）如图，，，点F在的延长线上，点C在的延长线上，且平分．  (1)求证：；(2)若，求．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．  (1)与平行吗？为什么？(2)若，求的度数．题型10 根据平行线的性质与判定探究角的关系【例题】（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，且和分别交于A、B两点，点P在直线上．(1)之间的关系为 ；(2)如果点P在A、B两点之间运动时，之间的关系为 ；(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，之间关系为 ．【变式训练】1．（2023上·黑龙江佳木斯·八年级校考开学考试）如图，已知，，点为射线上任意一点不与点重合，，分别平分和，交射线于点，点．  (1)图中　 　；(2)当时，　 　；(3)随点位置的变化，图中与之间的数量关系始终为　 　，请说明理由．2．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，已知直线与直线，直线分别交于点E，F，平分交直线于点M，且．  (1)求证：；(2)点G是射线上的一个动点(不与点M，F重合)，平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设．①点G在点F右侧，且，求的度数；②点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出结论．一、单选题1．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，下列条件不能判定的是（    ）  A． B． C． D．2．（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图所示，以下说法错误的是（    ）  A．与是同位角 B．与是同位角C．与是内错角 D．与是同旁内角3．（2023上·陕西铜川·八年级统考期末）如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（    ）A．∵，（两直线平行，同旁内角互补）B．，（两直线平行，同旁内角互补）C．，（内错角相等，两直线平行）D．，（同位角相等，两直线平行）4．（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．5．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图所示的四个图形中，和是同位角的是 ．（填序号）  7．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，直线DE经过点A，请添加一个条件使直线，则该条件可以是 ．  8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，．若，则的度数为 ．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是 度．10．（2023上·黑龙江大庆·八年级大庆一中校考期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，，，固定的位置不变，将沿方向平移至点F正好落在直线上，再将绕点F顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过t秒时，线段与的一条边平行，则t的值 ．  三、解答题11．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级统考期末）如图，已知，，试判断与的大小关系，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．解：．理由如下：∵（已知），（_______），∴（_______），∴ _______（_______），∴（_______），∵（已知），∴∠______________（_______），∴______________（_______），（_______）．12．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线，，．(1)求的度数；(2)求证：直线．解：（1）∵ （已知），且（ ），∴（ ）．∵（已知），∴（ ）．∴ （等量代换）．证明：（2）∵（ ），∴（ ）．又∵（已知），∴（ ）．13．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，已知，与相交于点E，从点E引一条射线交线段于点F，若，，求证：．证明：∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补），又∵（已知），∴（____________________），∴__________（____________________），∴__________（____________________），∵（已知），∴（____________________），∵（已知），∴（____________________）．14．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，  (1)求证：；(2)若，，求的度数．15．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线，点分别在和上，，平分．(1)试说明：；(2)如图2，若于点，请问与有何数量关系，并说明理由．16．（2023上·吉林·七年级东北师大附中校考期末）【感知】如图①，若，平分，求证：．请将下列证明过程补充完整：证明：∵平分，（已知），∴___________（角平分线的定义），∵（已知），∴___________（两直线平行，内错角相等）∴（等量代换）．【探索】如图②，平分，，点在射线上，点在线段上，若，求证：．【拓展】如图③，将【探索】中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，若，请直接写出的度数．  17．（2023上·内蒙古乌海·八年级统考期末）综合与实践：问题：如图，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段上，过点作交于点，过点作交于点． （1）若，求的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空理由或数学式解：∵，∴ ______（______），∵，∴______ （______），∴（______），∵，∴．探究：如图2，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段的延长线上，过点作交于点，过点作交于点．（2）在图2中，若，求的度数并说明理由．（3）猜想：如果的两边分别平行于的两边，直接写出与这两个角之间有怎样的数量关系？18．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，线段与线段平行，P是平面内一点，连接，射线分别平分．  (1)当点P在线段的延长线上时：①在图1中，依题意补全图形；②请直接写出直线与直线的位置关系：___________；(2)如图2，当点P在直线与直线之间时，射线，交于点Q，探究与的数量关系，并证明；(3)若直线与直线平行，请直接写出点P的位置：___________．