（人教A版2019必修第一册）高一数学精讲与精练高分突破系列专题强化三 函数与方程（零点）问题（附答案）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高一数学精讲与精练高分突破系列专题强化三 函数与方程（零点）问题（附答案），共31页。
专题强化三：函数与方程（零点）问题一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数在区间上的零点至少有（     ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2022·全国·高一课时练习）下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（    ）A． B．C． D．4．（2022·四川四川·高一期中）已知关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．5．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．6．（2021·江苏省镇江中学高一阶段练习）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B．或 C． D．或7．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（    ）A．-4 B．-5 C．-6 D．-78．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（且）在上单调递减，若的图象与直线有两个交点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，且，当时，函数存在零点，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．11．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法正确的个数为（    ）①函数的定义域为；②；③函数的图象关于直线对称；④当时，；⑤函数的图象与x轴有4个交点．A．2 B．3 C．4 D．512．（2022·上海市大同中学高一期中）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题13．（2022·广东·东莞四中高一阶段练习）已知函数，下列说法正确的有（    ）A．，的最小值为0 B．，在上有零点C．若，则在上单调递增 D．若的图象关于直线对称，则14．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（    ）A．函数在区间上有且只有1个零点B．函数在区间上一定没有零点C．函数在区间上可能有零点D．函数在区间上至少有1个零点15．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）下列函数中具有性质：存在，使得的是（    ）A． B．C． D．16．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）已知命题p：函数有零点，命题，.若p，q全为真命题，则实数a的取值可以是（    ）A． B． C． D．17．（2022·江苏·南京市第一中学高一期中）已知函数，若恰有3个零点，则的可能值为（    ）A．0 B． C．1 D．218．（2022·广东·北京师范大学广州实验学校高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ）A． B．的最大值为C．有两个零点 D．的解集为19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（    ）A．是奇函数B．函数的图象与轴有且仅有1个交点C．函数的零点大于D．函数有且仅有4个零点20．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（    ）A． B． C． D．21．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则（    ）A．的图像关于点对称B．在区间上单调递减C．若关于x的方程在区间上的所有实数根的和为，则D．函数有4个零点三、填空题22．（2022·北京市昌平区第二中学高一期中）已知函数的两个零点分别为和，则的值为______．23．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为 ______．24．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，正实数的取值范围是________．25．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）若方程有四个不同的根，则的取值范围是 _______．26．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则___________.27．（2022·辽宁·凤城市第一中学高一阶段练习）关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为______．四、解答题28．（2022·北京市第五十七中学高一期中）对于函数，(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出其单调区间.(3)讨论方程的解的个数29．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求；(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.30．（2022·福建省厦门第二中学高一）己知为R上的奇函数，当时，．(1)求的值；(2)求的解析式；(3)作出的图象，并求当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，实数m的取值范围．31．（2022·广东·铁一中学高一已知是定义域为R的奇函数，当时，．(1)求的解析式；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．32．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）高一期中）已知函数，为奇函数，当时，的最小值为，(1)求的解析式；(2)试讨论关于的方程的根的个数情况33．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数.(1)函数在上的最小值为，求函数的表达式；(2)若. 关于x的方程有两个不等的实根，求实数k的取值范围.34．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数．(1)当时，解方程；(2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值．35．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数.(1)对任意恒成立，求实数的取值范围；(2)求不等式的解集；(3)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.36．（2022·湖南·雅礼中学高一阶段练习）已知函数,，集合．(1)若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；(2)集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．123456123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88参考答案：1．C【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，要使二次函数在区间上有且仅有一个零点，则需，所以的取值范围是.故选：C2．B【分析】由零点存在性定理得到函数零点至少有3个.【详解】因为函数的图像是连续不断的，且，由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，综上：函数在区间上的零点至少有3个.故选：B3．A【分析】利用二分法求函数零点近似值的特点，即先观察图像有零点，再根据零点左右两侧函数值符号不同，依次分析选项，可得到答案.【详解】函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即图像穿过轴时，能用二分法求函数零点近似值，据此分析选项，由图知，A选项中，零点的左右两侧的函数值符号相同，函数不能用二分法求零点近似值；B选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；C选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；D选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值.故选:A4．C【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程实根分布，列式求解作答.【详解】因关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，则有，解得，所以的取值范围为.故选：C5．B【分析】根据零点存在性定理，即可判断.【详解】，，，又因为函数单调递增，所以函数的零点所在的区间为.故选：B6．B【分析】根据零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可.【详解】令，因为，所以函数图象与轴有两个交点，因为函数在上存在零点，且函数图象连续，所以，或，所以，或，解得或故选：B7．A【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．【详解】因为元二次方程有两个实数根，，且，令，则由题意可得，即解得，又，可得.故选：A.8．B【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程解的个数，推出的取值范围.【详解】因为（且）是上的单调递减函数，所以，即，所以，画出的大致图象和直线，如图所示．由图可知，在上的图象与直线有且仅有一个交点，故在上，的图象与直线同样有且仅有一个交点．联立与得，整理得，则此方程在上有且仅有一个解，设，当时，显然方程在上有且仅有一个解，所以；当时，此时方程在上无解；当时，要使方程在上有且仅有一个解，则且，此时方程组无解．综上所述，实数的取值范围为．故选：B．9．B【分析】先根据条件算出参数，函数存在零点等价于方程有解，即有解，故只需要求在上的值域即可.【详解】由题意得，，则，，令，因为，所以，因此可转化为，，其对称轴为，，，所以在上的值域为．函数存在零点，等价于方程有解，所以实数的取值范围是．故选：B10．A【分析】化简题设条件可得，则或，依题意可知函数的图象与两直线，共有个不同的交点，数形结合，列式即可求解【详解】由题意得，则或．函数的图象如图所示，因为关于的方程有个不同的实数根，所以或，解得，所以实数的取值范围为．故选：A11．B【分析】根据分母不等于0，求解函数的定义域，判断①；代入验证判断②；画出函数的图象，判断④⑤；画出函数和的图象，即可判断函数图象的交点个数.【详解】函数的定义域为，故①错误；，故②正确；作出的图象如图所示，由图可知③错误，④正确．令，得方程，在上图中作出抛物线，由图可知的图象与抛物线有4个交点，故函数的图象与轴有4个交点，故⑤正确．故选：B．12．C【分析】分析、的性质，将问题化为与（）有4个交点，进而只需保证与（）相交求参数范围即可.【详解】由开口向上且对称轴为，而恒过点，所以的图象只需将函数值为负的部分翻折到x轴上方，对应关于对称，当时图象在x轴上方，当时图象为x轴，当时图象在x轴下方，所以要使与有4个交点，则.综上，与的示意图象如下图： 当左侧与在上相交有4个交点，或在两侧与各有2个交点，由图知：只需保证与（）相交即可，令，则，故，所以或.故选：C13．ACD【分析】对于A，由绝对值的意义可判断；对于B，由单调性可判断；对于C，由绝对值的意义可判断 对于D，由函数图象可判断.【详解】对于A，由绝对值意义知：f(x)≥0，所以f(x)最小值为0，故A项正确；对于B，函数在区间（，+∞）单调递增，又，所以f(x)在（0，+∞）上没有零点，故B项错误；对于C，当a=1时，在（，+∞）上，f(x)=|x+1|=x+1在（，+∞）上单调递增，故C项正确；对于D，f(x)的图象关于直线x=1对称，则1+a=0，所以a=－1，故D项正确.故选：ACD14．CD【分析】由已知，函数的图像在R上连续且满足，，，即可判断函数在区间上至少有1个零点，在区间上可能有零点，也可能无零点，根据各选项说法即可做出判断.【详解】因为函数的图像在R上连续，且，，所以，所以函数在区间上至少有1个零点，故选项A错误，选项D正确；函数在区间上可能有零点，也可能无零点，故选项B错误，选项C正确．故选：CD.15．ACD【分析】根据题意中的性质，结合特值法对每个选项进行逐一，即可判断【详解】对于A，取，则，所以，故A正确；对于B，假设存在，使得，即，解得，与矛盾，故假设不成立，故B不正确；对于C，取，则，所以，故C正确；对于D，取，则，所以，故D正确，故选：ACD.16．ACD【分析】分别求出p，q为真命题时a的取值范围，取交集确定a的范围，结合各选项即可确定答案.【详解】命题p：函数有零点为真命题时，若，则，函数无零点，不合题意；故，则，即或；命题，为真命题时，由于时，单调递减，故，若p，q全为真命题，则或，结合各选项可知实数a的取值可以是 ，故选：.17．AD【分析】画出函数的图象，通过的取值，结合的范围，判断函数的零点个数，然后推出实数的取值范围．【详解】分别作出函数与的图象，由图知，时，函数与无交点，时，函数与有三个交点，故．当，时，函数与有一个交点，当，时，函数与有两个交点，当时，若与，相切，则由得：或（舍，切点在x轴下方，因此当，时，函数与有两个交点，当，时，函数与有三个交点，当，时，函数与有四个交点，所以当时，函数与恰有3个交点．综上，恰有3个零点，的取值范围是或．故选：AD．18．ACD【分析】由分段函数定义计算函数值判断A，分类讨论求函数的最大值判断B，解方程判断C，解不等式判断D．【详解】，，A正确；时，，时，是减函数，，所以无最大值，B错；时，满足题意，时，，，满足题意，C正确；时，由得，时，由，，综上的解为，D正确．故选：ACD．19．AB【分析】根据奇函数的定义及函数零点的等价条件，结合函数零点的定义即可求解.【详解】因为，所以，即，解得，即函数的定义域为，且，故为奇函数，故A正确．函数在上单调递减，函数在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，且，则函数的图象与轴有且仅有1个交点，故B正确．令，则，又，且在定义域上单调递减，所以函数的零点小于，故C错误．因为在定义域上单调递减，且，所以令，即，解得，即函数有无数个零点，故D错误．故选：AB.20．BD【分析】画出的图像，要使方程有六个相异实根，即使在上有两个相异实根，再由一元二次函数根的分布列出不等式组，即可求出答案.【详解】的图像如图所示：则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;则解得：.故选：BD.【点睛】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图像结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围21．ACD【分析】对于A，由，结合偶函数性质，可得答案；对于B，根据偶函数的对称性和函数图像的中心对称性，可得答案；对于C，根据函数与方程的关系，结合对称性，可得答案；对于D，根据函数的图像性质，函数值域之间的比较，可得答案.【详解】由题意，得，所以，所以是以4为周期的函数，故，所以的图像关于点对称，故选项A正确；由A可知：当时，，当时，，.即当时，，又，所以为偶函数，则当时，，，所以.根据的周期性，当时，，则，同理，当，，得，所以在区间上单调递增，故选项B错误；根据上述结论，函数在上的图像如下：求方程等价于函数的图像与的图像相交点的横坐标，如图，设从小到大依次为，，，其中，其和，解得，代入，得，故选项C正确；求函数的零点个数，即求曲线与的公共点个数.当时，在点处的切线方程为，故与只有一个公共点.由，，得时，与有一个交点，故当时，与有2个公共点.由与均为偶函数，得当时，与有2个公共点，故函数有4个零点.如下图.故选项D正确.故选：ACD.22．18【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果.【详解】因为函数的两个零点分别为和，所以和是的两个实根，所以，，所以.故答案为：18.23．（答案不唯一）【分析】直接利用二次函数的性质和函数的零点的关系求出的取值范围，进一步确定的值．【详解】由于函数，若在上单调递增，则，故，由于，整理得，解得或，故满足的条件的取值范围为，故的值可以为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．24．【分析】令，分、两种情况讨论，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.【详解】令，其中.因为，二次函数图象的对称轴为直线，且，①当时，即当时，因为，因为，则，解得或，此时；②当时，即当时，函数在上单调递减，所以，，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.25．【分析】结合函数图像的变换可作出的图像，将问题转化为与有四个交点，结合图像即可得到的取值范围.【详解】由于的图像是由的图像保留轴上方的图像的同时，将轴下方的图像关于轴向上翻折得到的图像，故由此作出函数的图像，如图，.若方程有四个不同的根，则函数与有四个交点，因为，所以在上的最大值为，所以结合图像，可得，即.故答案为：．26．【分析】由题意将化成三个根得形式，再利用待定系数法求出三个根之间得关系，最终求出结果.【详解】由题意可得：，由待定系数法可得：则，所以，故答案为：.27．【分析】根据题意利用一元二次方程根的分布得到，或者利用二次函数图像的零点分布情况列出限制条件，即可得到答案.【详解】．故答案为：.【点睛】本题属于根的分布问题，利用韦达定理得到其限制条件即可，亦可以利用二次函数图像数形结合，列出限制条件.28．(1)偶函数，图象关于轴对称(2)单调递增区间为，单调递减区间为 ，(3)见解析【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）根据奇偶性画出函数图象，即可得单调区间，（3）根据的图象，以及直线的交点个数即可求解.【详解】（1）的定义域为,关于原点对称，又，故是偶函数，图象关于轴对称，（2），所以图象如下：单调递增区间为，单调递减区间为 ，（3）在同一直角坐标系中画出的图象，以及直线如图所示：当时，的图象与直线有2个交点，故此时方程有2个实数根，当时，的图象与直线有4个交点，故此时方程有4个实数根，当时，的图象与直线有6个交点，故此时方程有6个实数根，当时，的图象与直线有3个交点，故此时方程有3个实数根，当时，的图象与直线没有交点，故此时方程无实数根. 29．(1)(2)【分析】（1）先根据奇函数满足可得，然后根据奇函数的定义进行检验即可；（2）由可得到，设，故题意可转化成在上有解，令，列出不等式即可求解【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，此时，由于，，即函数的定义域为；又，所以函数为奇函数，符合题意，所以；（2）由于，且，，所以，则，即，所以，令，则方程有解等价于方程在上有解，令，又，所以在上有解需满足或，解不等式组，得或，所以实数的取值范围是.30．(1)0；(2)；(3)图象见解析，.【解析】（1）是R上的奇函数，，；（2）当时，，故当时，，，；（3）作出函数的图象如图示：在时，在时取得最小值1，在时，在时取得最大值，故当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，实数m的取值范围为.31．(1)；(2)【分析】（1）由是定义域为R的奇函数，则有，且时，代入时的解析式即可（2）时，方程有两个不相等的实数根等价于有两个不等正实根，由求解即可（1）是定义域为R的奇函数，时，，∴，设，则，，故的解析式为；（2），方程有两个不相等的实数根等价于有两个不等正实根，则有，解得.故实数的取值范围为32．(1)；(2)见解析.【分析】（1）由函数为奇函数可得，根据单调性定义讨论当时的单调性，可得最大值进而求得得答案；（2）根据的单调性及值域，得到的单调性及值域，进一步作出函数的图像，观察图像可得方程的根的个数情况.【详解】（1）因为为奇函数，所以，即，整理可得即，所以当时，，设，则，由可得则，当时，，所以，所以即，为减函数，当时，，所以，所以即，为增函数，因此，又因为的最小值为，所以解得，所以（2）根据为奇函数，其增区间为，减区间为，所以或，所以或，令，作出函数的图像如图所示， 由上图可知，当或时，有个根，当或时，有个根，当或时，有个根.【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性及函数作图，根据单调性定义讨论函数的单调性是解决问题的关键，函数作图是解决第二问的关键，其中对常见函数对勾函数的图像熟悉是解决问题的前提条件.33．(1)(2)【分析】（1）由二次函数的图像性质，比较对称轴与的关系，分别讨论、、即可；（2）由得，令，讨论、时t的单调性，则原命题等价于关于t的方程的根满足或，时可直接代入方程求出k；时列式求解即可【详解】（1）二次函数的对称轴为，开口向上，i. 当时，最小值；ii. 当时，最小值；iii. 当时，最小值综上，（2）由得，，令，故，当时，为增函数，故；当时，（即时取等号），故在单调递减，单调递增.根据t的单调性，关于x的方程有两个不等的实根等价于关于t的方程的根满足或.i. 当时，代入方程可得；ii. 当时，有，即解得.综上，实数k的取值范围为【点睛】求函数根的个数问题，一般采取换元法，令，则根的个数转化为与t，与x的对应关系问题，再分别讨论即可34．(1)和1(2)【分析】（1）分与两种情况，结合二次方程求解即可；（2）根据分段函数中的二次函数性质，分析可得最大值在中取得，再根据区间端点与对称轴的关系分情况讨论，数形结合分析函数的最大值，进而求得的解析式，从而得到最小值即可.（1）当时，令．当时，，解得：当时，，解得：故方程的解为：和1；（2），其中，因为对称轴为，开口向下；对称轴为，开口向上，于是最大值在中取得．当，即时，在上单调递减．；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；当，即时，在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，35．(1)；(2)答案见解析；(3)；【分析】（1）分类讨论与两种情况，时，根据一元二次不等式恒成立条件列不等式组，即可求解得答案；（2）分类讨论，和三种情况，求解出方程的两根，再以两根的大小分类讨论解不等式；（3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围.（1）由题有恒成立，即恒成立，当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得，综上可得，的取值范围是.（2）由题，即，当，，所以不等式的解集为当，，或①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为，③当时，，不等式的解集为；当，则，不等式的解集为综上可得：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（3）当时，令，当且仅当时取等号，关于x的方程有四个不等实根，令，则转化为存在使得关于的方程，即有两个不同正根，则 ，得， 由知，存在使不等式成立，把看成主元代入，故，即，解得或，综合可得.故实数的取值范围是【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析．36．(1)；(2)．【分析】（1）根据条件解不等式，即，分、、得到集合，通过二次函数的对称轴分析，又集合中有且仅有3个整数，故个整数只可能是，然后由集合列出不等式组，解不等式组即可得的取值范围；（2）分和两种情况分别写出集合， 对应的解集，根据列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出的取值范围即可．（1）由， 由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是，若即时，集合与题意矛盾，所以；若即时，集合，则解得，若即时，集合，则解得，综上所述实数的取值范围是；（2）若即时，集合，，因为，所以即解得，若即时，集合，则设集合，因为，即，如图所示，则即得，所以可得，所以，所以又因为，所以即.综上所述的取值范围是．【点睛】本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并表达集合是解题的关键，属于难题.