（人教A版2019必修第一册）高一数学精讲与精练高分突破系列专题强化一 指对幂运算（附答案）

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专题强化一：指对幂运算一、单选题1．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（    ）A．3 B．5 C．7 D．92．（2022·福建·厦门市松柏中学高一期中）设，则下列运算中正确的是（    ）A． B．C． D．3．（2022·江苏·句容碧桂园学校高一期中）若，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．4．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校高一期中）设，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．5．（2022·广东·广州四十七中高一期中）已知都是实数，那么“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·江苏省镇江中学高一期中）如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（    ）A． B． C． D．157．（2022·天津·南开中学高一期中）已知，，则（    ）A． B． C． D．8．（2022·陕西·交大附中高一期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．A． B． C． D．9．（2022·江苏·南京市第一中学高一期中）已知，，若，则的最小值为（    ）A． B．9 C．7 D．10．（2022·江苏淮安·高一期中）下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．11．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）设，，则=（    ）A． B． C． D．12．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（    ）A． B． C． D．二、多选题13．（2021·全国·高一专题练习）下列运算法则正确的是（    ）A．B．C．（且）D．14．（2021·湖南·衡阳市八中高一期末）已知a＝log3π，b＝logπ3，，则（    ）A．ab＜a＋b＜b＋c B．ac＜b＋c＜bcC．ac＜bc＜b＋c D．b＋c＜ab＜a＋b15．（2022·江苏·高一单元测试）设a，b，c都是正数，且，那么（    ）A． B． C． D．16．（2021·全国·高一单元测试）已知实数，，满足，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．17．（2020·河北·正定中学高一阶段练习）设，，为实数且，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．18．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）A． B．C． D．19．（2021·全国·高一单元测试）已知，，则（    ）A． B．C． D．20．（2022·江苏省海州高级中学高一阶段练习）下列各选项中，值为1的是（    ）A．log26·log62 B．log62＋log64C． D．21．（2021·安徽·合肥市第六中学高一阶段练习）已知正数满足，则（    ）A． B．C． D．22．（2021·江苏·海安高级中学高一期中）若实数，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．三、填空题23．（2020·全国·高一课时练习）若，则__________．24．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）不等式的解集为________.25．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，若，则________．26．（2021·安徽·寿县第一中学高一期末）计算：__________．27．（2020·重庆市凤鸣山中学高一期中）=_____________.28．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）_____________.29．（2022·江苏·高一单元测试）若，，且，则的最小值为__________．四、解答题30．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）计算以下式子的值:（1）（2）（3）31．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）计算：（1）（2）．32．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）求值：（1）；（2）．33．（2020·河南·郑州一中高一阶段练习）计算：（1），（2）.34．（2021·全国·高一专题练习）求值：（1）；（2）.35．（2020·云南·峨山彝族自治县第一中学高一阶段练习）计算：（1）（2）36．（2020·广东·揭阳第一中学高一阶段练习）计算下列各式的值：（1）；（2）.37．（2018·内蒙古·包头市第六中学高一期中）计算下列各式的值：（1）；（2）.38．（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）分别计算下列数值：（1）；（2）已知，求.39．（2019·内蒙古·包头市第四中学高一期中）（1）（2）40．（2021·全国·高一课时练习）计算下列各式的值：(1)；(2).参考答案：1．C【分析】将两边平方，化简即得.【详解】因为，所以，两边平方可得，所以.故选：C.2．D【分析】根据指数幂的运算法则直接判断各个选项即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.3．B【分析】求出，比较大小即可．【详解】∵，，，∴，故选：B．4．A【分析】由指数的性质比较，，的大小.【详解】由，所以.故选：A5．A【分析】根据充分不必要条件的定义结合不等式得到答案【详解】由即可得；由可得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A6．C【分析】对原方程分解因式，求得两根，再求结果即可.【详解】原方程等价于因式分解得：，所以，，所以方程的两根分别为，，所以.故选：.7．C【分析】根据指数幂的运算法则直接计算即可.【详解】.故选：C.8．A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为，，，所以.故选：A.9．B【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.故选：B.10．A【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.【详解】解：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A11．D【分析】根据对数的运算，化简为，即可得答案.【详解】由题意知，，则，故选：D12．A【分析】由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出，代入不等式中求解，即可得到答案．【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，所以，即，因为，所以，解得，则地疫苗的接种率至少为．故选：A．13．CD【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选：CD.14．CD【解析】根据对数函数的单调性，判定的大致范围，即可求解.【详解】因为0＜logπ3＜1＜log3π0＜b＜1＜a，又，所以ac＜bc＜0，，所以C正确，B错误．因为ab＝log3π×logπ3＝1，a＋b＝log3π＋logπ3＞1，所以D正确，A错误．故选：CD15．AD【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.【详解】由于，，都是正数，故可设，，，，则，，.，，即，去分母整理得，.故选AD.【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.16．BC【分析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.【详解】A选项：为单调减函数，所以；B选项：与，当时，当时，所以；C选项：在时，而在时，所以；D选项：在上单调递增，所以；故选：BC.【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.17．BD【分析】根据不等式的性质以及指数函数和对数函数的性质，进行判断即可.【详解】对于，若，则，所以错误；对于，因为，所以，故正确；对于，函数的定义域为，而，不一定是正数，所以错误；对于，因为，所以，所以正确.故选：BD【点睛】本题考查不等式的概念和函数的基本性质，属于中档题.18．BC【分析】根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.【详解】由可得，同理可得，因为时，恒有所以，即，故A错误B正确；因为，所以，即，由不等式性质可得，即，故C正确D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD，属于中档题.19．BC【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较的大小，计算出，利用基本不等式得，而，从而可比较大小．【详解】由题意可知，对于选项AB，因为，所以，又因为，且，所以，则，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且，所以，故选项C正确，选项D错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．20．AC【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.【详解】对于A选项，根据可知，A选项符合题意.对于B选项，原式，B选项不符合题意.对于C选项，原式，C选项符合题意.对于D选项，由于，D选项不符合题意.故选：AC【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.21．ACD【分析】A：由条件等式得，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得，令有即可判断正误；C：结合A，易得，由基本不等式即可判断正误；D：通过基本不等式证，进而可判断D的正误.【详解】A：由，又，得，所以，正确；B：由，当时有，此时，错误；C：由，所以，正确；D：由，所以，正确.故选：【点睛】关键点点睛：由条件等式或将目标式中的代数式作代数式的恒等变形，再结合基本不等式、指对数的运算性质及特殊值判断各项正误.22．ABD【解析】对于选项A：原式等价于，对于选项C：，对于选项D：变形为，构造函数，通过求导判断其在上的单调性即可判断；对于选项B：利用换底公式：，等价于，利用基本不等式，再结合放缩法即可判断；【详解】令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，对于选项A：因为，所以，即原不等式等价于，因为，所以，从而可得，故选项A正确；对于选项C：，由于函数在上单调递减，所以，即，因为，所以，取，则，故选项C错误；对于选项D：，与选项A相同，故选项D正确.对于选项B：，因为，所以等价于，因为，因为，所以不等式成立，故选项B正确；故选：ABD【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.23．【分析】先由求出，再根据换底公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，因此，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查对数运算，熟记对数运算法则，换底公式等即可，属于常考题型.24．【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．,是一个递增函数；故答案为.考点：指数函数的单调性和特殊性25．-7【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.26．【详解】原式=,故填.27．110【详解】由幂的运算法则及根式意义可知， ，故填.28．【分析】根据指数幂的运算性质与运算法则计算.【详解】【点睛】本题考查指数幂的乘除混合运算，考查指数幂的运算性质和乘除运算法则，考查了推理能力与计算能力.29．【详解】分析：由对数运算和换底公式，求得 的关系为，根据基本不等式确定详解：因为，所以 ，所以 ，即所以 当且仅当，即，此时时取等号所以最小值为点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．30．（1）2；（2）5；（3）；【解析】应用对数、指数的运算性质求值即可.【详解】（1），（2），（3）【点睛】本题考查了指对数的运算，应用指对数间的关系，及指对数的运算性质求值，属于简单题.31．（1）；（2）．【分析】结合指数与对数的运算法则和换底公式即可.【详解】(1)原式，(2)原式．32．（1）；（2）5．【解析】（1）利用指数幂的运算法则计算即得解；（2）利用对数的运算法则化简计算即得解.【详解】（1）原式＝；（2）原式＝.【点睛】本题主要考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.33．（1）210；（2）【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出结果.【详解】（1）原式=2(×)6+ −4×−×+1=2×22×33+2-7-2+1=210．（2）原式=2-2++log24=+2=【点睛】本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式和对数的运算性质，考查计算能力.34．（1）；（2）.【分析】根据指数以及对数的运算法则即可就得结果【详解】（1）原式=；（2）原式.【点睛】本题考查实数的指对幂及其运算，属于基础题.35．（1）26；（2）10.【分析】（1）根据指数幂运算的运算法则化简即可求得结果；（2）根据对数运算的运算法则化简即可求得结果.【详解】（1）（2）【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题.36．（1）；（2）【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得.（2）根据对数的运算性质，可得.【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.37．（1）；（2）．【分析】（1）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解（2）利用指数性质、运算法则直接求解．．【详解】（1）原式=.（2）原式= =-5 .【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数的性质、运算法则的合理运用．38．（1）；（2）.【解析】（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；（2）由已知条件可求得的值，可求得，并求得的值，代入计算可求得所求代数式的值.【详解】（1）原式；（2）因为，所以，因为，则，所以，所以，又因为，所以，所以.【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.39．（1）；（2）.【分析】（1）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求解；（2）直接利用对数的运算性质化简求值．【详解】解：（1）     =.（2） 【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值及对数的运算性质，是基础的计算题．40．(1)(2)2【分析】（1）先化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则化简；（2）利用对数的运算法则和换底公式运算化简.(1)解：原式=.(2)解：原式=.