2023-2024学年北京市101中学大兴分校高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市101中学大兴分校高二（上）期中数学试卷，共5页。
1．下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ）
A．y＝1B．y＝﹣2x+1C．x﹣y+1＝0D．x＝2
2．若，，，则的值为（ ）
A．3B．4C．7D．15
3．若直线l过点（﹣3，﹣2），且l的方向向量为（1，﹣2），则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣8＝0B．2x+y+8＝0C．2x﹣y+8＝0D．2x﹣y﹣6＝0
4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，，，若，，共面，则z等于（ ）
A．﹣9B．﹣5C．5D．9
6．已知实数x，y满足x+y+1＝0，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于（ ）
A．B．C．4D．2
8．如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是f（x）图象的一个最高点和最低点，M是f（x）图象与y轴的交点，BD⊥OD，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角A﹣OD﹣B，在图2中，则下列结果不正确的是（ ）
A．
B．点D到平面ABM的距离为
C．点D到直线AB的距离为
D．平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为
9．如图，在三棱锥OABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c．M为△ABC内部的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则＝（ ）
A．4B．1C．D．2
10．设直线系M：xcsθ+（y﹣2）sinθ＝1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在无数多个点不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题为（ ）
A．①②④B．②③C．②③④D．③④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11．已知向量，，若，则a+b＝ ．
12．两条直线l1：3x﹣4y﹣2＝0与l2：3x﹣4y+8＝0之间的距离是 ．
13．若实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，则的取值范围是 ．
14．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0）、B（0，2），则点P到直线AB的距离的最大值为 ；当∠PBA最大时，|PB|＝ ．
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，BC＝3，∠ABC＝90°，，．记f（x，y）＝AH+HP，给出下列四个结论：
①对于任意点H，都不存在点P，使得平面AHP⊥平面A1B1P；
②f（x，y）的最小值为3；
③当f（x，y）取最小时，过点A，H，P作三棱柱的截面，则截面面积为；
④满足的点P有无数个．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形且AD＝2AB＝2，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E，F分别是AD，PB的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求直线CF与平面PCE所成角的正弦值，
17．已知点A（0，1）和点B（2，3）是圆C直径的两个端点．
（1）求线段AB的中点坐标和圆C的方程；
（2）过点A作圆C的切线l，求切线l的方程．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP＝2，∠PDC＝120°．
（1）求证：AD⊥平面PCD；
（2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；
（3）设M是棱PA的中点，在棱BC上是否存在一点F，使MF∥PC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
19．已知圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．
（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
（2）如图，当a＝5时，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．问：是否存在圆O：x2+y2＝r2，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有∠ANM＝∠BNM？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由．
20．已知An：a1，a2，…，an（n≥4）为有穷数列．若对任意的i∈{0，1，…，n﹣1}，都有|ai+1﹣ai|≤1（规定a0＝an），则称An具有性质P．设Tn＝{（i，j）||ai﹣aj|≤1，2≤j﹣i≤n﹣2（i，j＝1，2，…，n）}．
（1）判断数列A4：1，0.1，﹣0.2，0.5，A5：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P？若具有性质P，写出对应的集合Tn；
（2）若A4具有性质P，证明：T4≠∅；
（3）给定正整数n，对所有具有性质P的数列An，求Tn中元素个数的最小值．
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