2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷

1.  空间向量(    )

A.  B.  C.  D.

2.  圆的半径是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3.  抛物线的焦点到准线的距离是(    )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

4.  已知数列的前n项和，则(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.  若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设是各项不为0的无穷数列，“，”是“为等比数列”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  设，是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，，则(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.  如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E，F分别为，，的中点，则直线EF与平面BCD的位置关系是(    )

A. 平行
B. 垂直
C. 直线在平面内
D. 相交且不垂直

9.  记为等比数列的前n项和．已知，，则数列(    )

A. 无最大项，有最小项
B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，无最小项
D. 有最大项，有最小项

10.  已知M是圆上的动点，则M到直线距离的最大值为(    )

A. 2
B.
C. 3
D.

11.  3与7的等差中项为______.

12.  直线关于y轴对称的直线的方程为______.

13.  已知双曲线的一条渐近线方程为，则______.

14.  能说明“若等比数列满足，则等比数列是递增数列”是假命题的一个等比数列的通项公式可以是______.

15.  平面内，动点M与点的距离和M到直线的距离的乘积等于2，动点M的轨迹为曲线给出下列四个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C与x轴有2个交点；
④点M与点的距离都不小于
其中所有正确结论的序号为______.

16.  已知点和点是圆C直径的两个端点．
求线段AB的中点坐标和圆C的方程；
过点A作圆C的切线l，求切线l的方程．

17.  已知等差数列满足，
求的通项公式；
设是等比数列，，，求数列的前n项和

18.  已知抛物线C：的焦点为
求F的坐标和抛物线C的准线方程；
过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长．
条件①：直线l的斜率为1；
条件②：线段AB的中点为
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

19.  如图，在长方体中，，，E是棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．

20.  已知椭圆过点，且
求椭圆C的方程和离心率；
设O为原点，直线OP与直线l平行，直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线PM，PN分别与x轴交于点E，当E，F都在y轴右侧时，求证：为定值．

21.  已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，，其中令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值．
若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值；
若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，，求q的值；
若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，，求证：，，⋯，，⋯和，，⋯，，⋯都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：空间向量
故选：
利用向量线性运算法则直接求解．
本题考查向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：圆，即，
故它的半径为2，
故选：
由题意，把圆的一般方程化为标准方程，从而得到它的半径．
本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：抛物线，所以，抛物线的焦点到准线的距离是：
故选：
直接利用抛物线的性质写出结果即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
 

4.【答案】C 

【解析】解：，
当时，，
当时，，解得，
故选：
根据题意，分别令，求，，即可得出答案．
本题考查数列的前n项和求数列的通项，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：设等差数列的公差为d，
则，
故，，
，，
其前n项和的最小值为
故选：
根据已知条件，先求出等差数列的公差为d，再结合，，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：是各项不为0的无穷数列，
，，
则为等比数列，充分性成立，
为等比数列，
则，，必要性成立，
综上所述，“，”是“为等比数列”的充分必要条件．
故选：
根据已知条件，结合充分条件与必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：椭圆方程为，点P在椭圆上，
，
，
，
故选：
根据椭圆的定义可知，代入的值可得的值．
本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：如图，取AC中点M，连接EM，BM，

，D，E，F分别为，，的中点，
，
在三棱柱中，平面ABC，
，
平面ABC，，平面ABC，，，
，，，
以M为坐标原点，MA，MB，ME所成直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，
设平面BCD的法向量为，
则，令，得，
，，
直线EF与平面BCD相交，且不垂直于平面
故选：
根据图形位置关系证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面BCD的法向量，直线EF的方向向量，判断平面BCD的法向量是否与直线EF的法向量垂直，判断直线EF与直线CD是否垂直，能得到直线与平面的位置关系．
本题考查线面垂直的判定与性质、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：设等比数列的公比为
因为，，所以，所以，
所以，，
若n为奇数，则，
此时，，
若n为偶数，则，
此时，
所以最小，最大．
故选：
由，，求出公比q，然后根据等比数列的前n项和公式求出，再分n为奇数和n为偶数两种情况求出的最值．
本题考查等比数列的性质，考查了分类讨论思想，方程思想和转化思想，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：直线经过定点，
由圆，可得圆心，半径
则圆心C到直线的距离取得最大值时，CP与直线垂直，
到直线距离的最大值
故选：
直线经过定点，由圆，可得圆心，半径可得圆心C到直线的距离取得最大值时，CP与直线垂直，进而得出结论．
本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线距离公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

11.【答案】5 

【解析】解：3与7的等差中项为
故答案为：
根据已知条件，结合等差中项的定义，即可求解．
本题主要考查等差中项的定义，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线关于y轴对称的直线的方程为
故答案为：
由已知结合直线关于直线对称的特点可求．
本题主要考查了直线关于直线的对称，属于基础题．
 

13.【答案】2 

【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
则
故答案为：
利用双曲线的渐近线方程求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：例如等比数列满足，但等比数列不是递增数列．
故答案为：答案不唯一
由已知结合等比数列的通项公式及数列单调性的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及数列的单调性，属于基础题．
 

15.【答案】②③④ 

【解析】解：设动点的坐标为，
因为曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于2的点的轨迹，
所以，
因为当时，，，所以曲线C不过坐标原点，故①错误；
因为将中的y用代入，该等式不变，所以曲线C关于x轴对称，故②正确；
令时，，故曲线C与x轴有2个交点，故③正确；
因为，所以，解得，
所以若点M在曲线C上，则，故④正确．
故答案为：②③④．
将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令，可判断①；根据代入可判断②；令可解x的值，进而可判断③；利用消元法，然后利用函数的单调性求最值可判断④．
本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：由题意可得AB的中点，且圆心，半径，
所以圆C的方程为：；
因为，所以过A定点的切线方程为，
即切线l的方程为： 

【解析】由A，B的坐标可得中点C的坐标，进而可得以AB为直径的圆的半径r的大小，求出圆的方程；
由可得直线AC的斜率，进而可得过A点的切线的斜率，求出过A点的切线方程．
本题考查圆的方程的求法及过一点与圆相切的直线方程的求法，属于基础题．
 

17.【答案】解：等差数列满足，，
，解得，
；
是等比数列，，，
，解得，
，
，
……

 

【解析】由题意解得，代入等差数列的通项公式即可求解；
由题意解得，代入等比数列的通项公式求得，利用等差数列和等比数列的求和公式即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：由抛物线C：的方程可得焦点，准线方程为；
由可得，
若选条件①：直线l的斜率为1，则直线l的方程为，设，，
联立，整理可得：，
显然成立，且，
由抛物线的性质可得；
若选条件②：线段AB的中点为，设，，
则，，即，
因为直线l过焦点F的弦长，
所以弦长 

【解析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程；
若选条件①，可得直线l的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和，由抛物线的性质可得弦长的值；若选条件②，由中点坐标，可得A，B的横坐标之和，由抛物线的性质可得的值．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与平温馨的综合应用，属于中档题．
 

19.【答案】证明：因为是长方体，
所以且，
可得四边形是平行四边形，
所以，
又平面，
平面，
所以平面；
解：建系如图，，，，
，，
令，
因为，，所以是平面的法向量，
平面的法向量是，
所以平面与平面夹角的余弦值为
解：，，
点到平面的距离，
所以点到平面的距离 

【解析】利用线面平行的判定定理即可证明；
用向量数量积计算两平面所成角余弦值；
用向量数量积点到平面的距离．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：由椭圆以及，
，又椭圆过点，
，解得，，，
椭圆C的方程为，离心率；
，又直线OP与直线l平行，设直线l的方程为，，，
由，消去y得，
，，直线MP的方程为，
令得，
故点，同理可得，
，F都在y轴右侧，


定值 

【解析】由已知可得，椭圆过点，可求b，进而可求椭圆C的方程和离心率；
设直线l的方程为，，，联立方程组可得，，直线MP的方程为，可得E点的坐标，同理可得F的坐标，进而计算可得为定值．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，
由，，其中，，，
则，；
若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，
若，则：1，2，4，8，16，32，，为满足的所有i中的最大值，即为，同理可得，
而为满足的所有j中的最小值，即为，则，此时，，符合题意；
当，则：1，3，9，27，81，243，，此时，，不满足；
当，则：1，4，16，64，256，，此时，，，，，即，，符合题意；
当时，则：1，q，，，，，，此时，，不满足；
综上可得，或4；
证明：若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，，
可得，，则，，，，，，，，，
所以，；因为，，，所以，
所以，，⋯，，⋯为等差数列，通项公式为，；
又，，因为，，，
可得，则，，⋯，，⋯是等差数列，且， 

【解析】由，的定义，结合的前四项，可得结论；
分别讨论，，，，写出的前几项，求得，，，，，检验可得结论；
由等差数列的通项公式求出前几项，求得，，，，，，即可得到结论．
本题考查数列的应用，以及等差数列和等比数列的通项公式，考查分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．