2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4B．（x+2）2+（y+3）2＝16
C．（x+2）2+（y+3）2＝4D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16
2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
4．（5分）设圆M的圆心为（3，﹣5），且与直线x﹣7y+2＝0相切，则圆M的方程为（ ）
A．（x+3）2+（y﹣5）2＝32B．（x+3）2+（y+5）2＝32
C．x2+y2﹣6x+10y+2＝0D．x2+y2﹣6x+10y﹣2＝0
5．（5分）已知三点A（1，2，1）、B（1，5，1）、C（1，2，7），则（ ）
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（ ）
A．（1，﹣1，3）B．（1，﹣1，﹣3）C．（2，﹣3，6）D．（﹣2，3，﹣6）
7．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知椭圆+＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|等于（ ）
A．2B．4C．7D．14
9．（5分）短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．12B．24C．24D．18
10．（5分）已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ）
A．ce﹣cB．2ce﹣2cC．﹣cD．﹣2c
11．（5分）关于曲线C：x2﹣xy+y2＝1有下列四个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C关于原点对称；
③曲线C上任意一点的横坐标不大于1；
④曲线C上任意一点到原点的距离不超过．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（5分）已知（m，n）为直线x+y﹣1＝0上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
二、填空题（每题5分，共30分）
13．（5分）经过点（﹣1，1）且与圆x2+y2﹣4y+2＝0相切的直线的一般方程为 ．
14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为 ．
15．（5分）已知向量，，，则＝ ．
16．（5分）若直线l：kx﹣y﹣2＝0与曲线C：＝x﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是 ．
17．（5分）如图，在四面体P﹣ABC中，M在线段PC上，满足PM＝2MC，N是AB的中点，D是线段MN上一点，且，若，则x+y+z＝ ．
18．（5分）在棱长为1的正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且＝，λ∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①C，M，N，Q四点共面；
②三棱锥A﹣DMN的体积与λ的取值有关；
③当∠QMC＝90°时，λ＝0；
④当λ＝时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为．
其中正确的有 （填写序号）．
三、解答题（每题15分，共60分）
19．（15分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
（2）求过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程．
20．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO＝2，PO＝，PB⊥PD．
（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．
21．（15分）已知椭圆C：与椭圆＝1有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求实数m的值．
22．（15分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x＝4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．
2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4B．（x+2）2+（y+3）2＝16
C．（x+2）2+（y+3）2＝4D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16
【分析】根据圆的标准方程的定义，即可解出．
【解答】解：圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，
所以圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝42＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的标准方程，学生的数学运算能力，属于基础题．
2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【解答】解：直线x+y+1＝0的斜率k＝﹣1，
∴直线x+y+1＝0的倾斜角α＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．
3．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【分析】由点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，得a2+b2＞1，求得圆O的圆心到直线ax+by＝1的距离d＝＜1．则答案可求．
【解答】解：∵点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，∴a2+b2＞1．
∴圆O：x2+y2＝1的圆心O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d＝＜1．
则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是相交．
故选：A．
【点评】本题考查点与圆、直线与圆位置关系的应用，是基础题．
4．（5分）设圆M的圆心为（3，﹣5），且与直线x﹣7y+2＝0相切，则圆M的方程为（ ）
A．（x+3）2+（y﹣5）2＝32B．（x+3）2+（y+5）2＝32
C．x2+y2﹣6x+10y+2＝0D．x2+y2﹣6x+10y﹣2＝0
【分析】令圆的标准方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，可得到满足题意圆的方程．
【解答】解：令圆C的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为圆M的圆心为（3，﹣5），且与直线x﹣7y+2＝0相切，
则圆M的半径r＝＝4，
即r2＝32，
因此，圆C的方程为（x﹣3）2+（y+5）2＝32，
即x2+y2﹣6x+10y+2＝0；
故选：C．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
5．（5分）已知三点A（1，2，1）、B（1，5，1）、C（1，2，7），则（ ）
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
【分析】先利用两点间距离公式分别求出AB，AC，BC的长，再由勾股定理得到三点构成直角三角形．
【解答】解：∵三点A（1，2，1）、B（1，5，1）、C（1，2，7），
∴AB＝＝3，
AC＝＝6，
BC＝＝3，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴三点构成直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查三点构成的三角形的形状的判断，考查两点间距离公式、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（ ）
A．（1，﹣1，3）B．（1，﹣1，﹣3）C．（2，﹣3，6）D．（﹣2，3，﹣6）
【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法能求出平面AEF的法向量．
【解答】解：设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量为．
则A（1，0，0），，，
所以，，
则，
不妨取x＝1，则y＝﹣1，z＝3，故．
故选：A．
【点评】本题考查平面的法向量的求法，考查空间向量的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．
在△OEH中，OE＝，HE＝，OH＝．
由余弦定理，可得cs∠OEH＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．
8．（5分）已知椭圆+＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|等于（ ）
A．2B．4C．7D．14
【分析】根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a﹣|PF1|＝10，在△PF1F2中利用中位线定理，即可得到的|OM|值．
【解答】解：∵椭圆+＝1中，a＝10，
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝20，
结合|PF1|＝6，得|PF2|＝2a﹣|PF1|＝20﹣6＝14，
∵OM是△PF1F2的中位线，
∴|OM|＝|PF2|＝×14＝7．
故选：C．
【点评】本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查了椭圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
9．（5分）短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．12B．24C．24D．18
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆的定义求解．
【解答】解：已知椭圆的短轴长为4，离心率为，
则，
即a＝6，
则三角形ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝24．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题．
10．（5分）已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ）
A．ce﹣cB．2ce﹣2cC．﹣cD．﹣2c
【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论．
【解答】解：∵地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，
椭圆的长半轴长为，
∴则地球到太阳的最小距离为：（﹣2c）＝．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．（5分）关于曲线C：x2﹣xy+y2＝1有下列四个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C关于原点对称；
③曲线C上任意一点的横坐标不大于1；
④曲线C上任意一点到原点的距离不超过．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意，根据曲线方程，利用对称性设点代入检验是否符合曲线方程可判断①②，结合判别式可取特殊点代入排除③，根据两点距离公式及基本不等式可判定④．
【解答】解：不妨设曲线上一点A（x0，y0），
此时，
设A关于y轴对称的点为B（﹣x0，y0），
将点B代入曲线C可得，
随x0变化的值不一定始终为1，故①错误；
同理，设A关于原点对称的点为B（﹣x0，﹣y0），
将点B代入曲线C可得恒成立，故②正确；
易知曲线方程y＝，
可得﹣≤x≤，
令，可得，
解得y＝，
即曲线C上有一点，故③错误；
易知，
整理得，故④正确．
综上，结论正确的有②④．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力．
12．（5分）已知（m，n）为直线x+y﹣1＝0上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】转化为两点间的距离之和，求出对称点，即可求解结论．
【解答】解：设P（m，n）为直线x+y﹣1＝0上的一点，则为点P（m，n）到原点O和到点A（﹣2，0）的距离之和，
即|PO|+|PA|．
设O（0，0）关于直线x+y﹣1＝0对称的点为B（a，b），则，得，即B（1，1）．
易得|PO|＝|PB|，当A，P，B三点共线时，|PO|+|PA|取到最小值，且最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查点关于直线的对称点，考查计算能力，属于基础题．
二、填空题（每题5分，共30分）
13．（5分）经过点（﹣1，1）且与圆x2+y2﹣4y+2＝0相切的直线的一般方程为 x+y＝0 ．
【分析】求出圆心坐标，由题意可得切线与圆心及点（﹣1，1）所在的直线垂直且切点为点（﹣1，1），进而可得出答案．
【解答】解：由x2+y2﹣4y+2＝0，可得x2+（y﹣2）2＝2，则圆心M（0，2），
且点N（﹣1，1）在该圆上，，
则切线的斜率为﹣1，
故所求的切线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0．
故答案为：x+y＝0．
【点评】本题考查圆的切线问题，属于基础题．
14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为 ﹣4 ．
【分析】由直线l1与直线l2互相垂直，可得关于a的方程，解方程可得a值，由垂足（1，c）在l1上，可得关于c的方程，解方程可得c值，再由垂足（1，﹣2）在l2上可得2+10+b＝0，可得关于b的方程，解方程可得b值，代入要求的式子计算可得答案．
【解答】解：∵直线l1与直线l2互相垂直，
∴2a+4×（﹣5）＝0，解得a＝10，
∴l1：10x+4y﹣2＝0，
∵垂足（1，c）在l1上，
∴10+4c﹣2＝0，解得c＝﹣2，
再由垂足（1，﹣2）在l2上可得2+10+b＝0，
解得b＝﹣12，
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故答案为：﹣4
【点评】本题考查直线的一般式方程与垂直关系，涉及直线的交点问题，属基础题．
15．（5分）已知向量，，，则＝ 1 ．
【分析】根据向量的模计算得x＝0，再计算数量积得到答案．
【解答】解：，，解得x＝0，故，
．
故答案为：1
【点评】本题考查向量的模以及数量积的相关计算，属于基础题．
16．（5分）若直线l：kx﹣y﹣2＝0与曲线C：＝x﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是 （2，4]∪{} ．
【分析】将直线化成斜截式，可得直线经过点（0，﹣2），将曲线方程化简整理，得该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围．
【解答】解：直线kx﹣y﹣2＝0化成y＝kx﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2），
而曲线C：＝x﹣1，可变形整理为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（x≥1）
∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分
设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k1，又直线过点（1，0）
由点（1，1）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d＝＝1，解得k1＝，
当直线过点A（1，0）时直线斜率为k2＝＝2，
当直线过点C（1，2）时直线斜率为k＝＝4，
结合图形可得直线与曲线有一个公共点时k的范围为（2，4]∪{}
故答案为：（2，4]∪{}．
【点评】本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
17．（5分）如图，在四面体P﹣ABC中，M在线段PC上，满足PM＝2MC，N是AB的中点，D是线段MN上一点，且，若，则x+y+z＝ ．
【分析】由向量的线性运算求解即可．
【解答】解：在四面体P﹣ABC中，M在线段PC上，满足PM＝2MC，N是AB的中点，D是线段MN上一点，且，
则
＝
＝
＝
＝
＝，
又，
则x+y+z＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的线性运算，属基础题．
18．（5分）在棱长为1的正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且＝，λ∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①C，M，N，Q四点共面；
②三棱锥A﹣DMN的体积与λ的取值有关；
③当∠QMC＝90°时，λ＝0；
④当λ＝时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为．
其中正确的有 ①③ （填写序号）．
【分析】对①，根据相交直线确定唯一平面即可判断；
对②，转化顶点即可判断；
对③，根据三垂线定理即可判断；
对④，当λ＝时，Q为A1D1的中点，过Q作QP∥A1C1，且QP∩D1C1＝P，则易证QP∥AC，从而易得过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，再计算等腰梯形ACPQ的面积即可判断．
【解答】解：对①，易知M∈AC，又AQ∩NC＝N，
∴C，M，N，Q四点共面，∴①正确；
对②，∵三棱锥A﹣DMN的体积等于三棱锥N﹣ADM的体积，
又易知N到底面的距离等于定值，而△ADM的面积一定，
∴三棱锥A﹣DMN的体积为定值，∴②错误；
对③，当∠QMC＝90°时，根据三垂线定理易知Q在底面的射影为D，
∴Q与D1重合，∴λ＝0．∴C正确；
对④，当λ＝时，Q为A1D1的中点，
过Q作QP∥A1C1，且QP∩D1C1＝P，则易证QP∥AC，
∴易得过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，
又易知QP＝，AC＝，AQ＝CP＝，
从而可得等腰梯形ACPQ的高为，
∴截面等腰梯形ACPQ的面积为＝，∴④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查相交直线确定唯一平面，转化顶点求锥体的体积，三垂线定理的应用，平面的拓展，属基础题．
三、解答题（每题15分，共60分）
19．（15分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
（2）求过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程．
【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
（2）利用直线与圆相切，以及点到直线的距离公式的关系求解．
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0可得，圆心C（1，﹣2），半径，
圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为，
所以直线l与圆C相交，
直线l被圆C截得的弦长为．
（2）若过点（4，﹣1）的直线斜率不存在，则方程为x＝4，
此时圆心C（1，﹣2）到直线x＝4的距离为4﹣1＝3＝r，满足题意；
若过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线斜率存在，
则设切线方程为y+1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣1＝0，
则圆心到直线kx﹣y﹣4k﹣1＝0的距离为，解得，
所以切线方程为，即4x+3y﹣13＝0，
综上，过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程为x＝4或4x+3y﹣13＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
20．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO＝2，PO＝，PB⊥PD．
（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．
【分析】（1）以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，要求两条异面直线所成的角，在两条异面直线上构造方向向量，根据两条向量的夹角得到结果．
（2）设出平面的法向量，根据法向量与平面上的两条相交直线对应的向量垂直，列出关系式，写出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角得到面面角．
（3）设出M点的坐标，根据三点共线与垂直，得到关于未知数的方程组，解出方程组得到点M的坐标，求出对应的λ的值．
【解答】解：∵PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，）．
（1）∵＝（﹣1，﹣2，0），
∴＝2．
∴cs＜．
故直线PD与BC所成的角的余弦值为．
（2）设平面PAB的一个法向量，
由于，
由
取的一个法向量m＝（0，0，1），
∴cs＜m，n＞＝．
又二面角P﹣AB﹣C不是钝角．
∴所求二面角P﹣AB﹣C的大小为45°
（3）设M（x0，0，z0），由于P，M，C三点共线，可得z0＝，①
若PC⊥平面BMD成立
则必有OM⊥PC．
∴．
∴x0+＝0②
由①②知x0＝﹣
∴．∴λ＝＝2．
故λ＝2时，PC⊥平面BMD．
【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，用空间向量求解夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了本题的理论推导的难度．
21．（15分）已知椭圆C：与椭圆＝1有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求实数m的值．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，方程思想，即可求解；
（2）联立直线与椭圆的方程，再根据弦长公式，根与系数的关系，方程思想，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为；
（2）联立，可得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，且Δ＝80﹣16m2＞0，∴m2＜5，
∴|AB|＝
＝＝＝，又m2＜5，
解得m2＝3，∴．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，方程思想，属中档题．
22．（15分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x＝4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由题设a＝2，c＝1，从而b2＝a2﹣c2＝3，即可得椭圆C前方程．
（Ⅱ）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）．设A（m，n），则B（m，﹣n）（n≠0），＝1．
由题意知AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y＝0，n（x﹣4）+（m﹣4）y＝0．由此入手能够推出点M恒在椭圆G上．
（ⅱ）设AM的方程为x＝ty+1，代入＝1得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0．设A（x1，y1），M（x2，y2），利用根与系数的关系能够求出△AMN面积的最大值．
【解答】解：
（Ⅰ）由题设a＝2，c＝1，从而b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C前方程为．
（Ⅱ）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）．
设A（m，n），则B（m，﹣n）（n≠0），＝1．①
AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y＝0，
n（x﹣4）+（m﹣4）y＝0．
设M（x0，y0），则有n（x0﹣1）﹣（m﹣1）y0＝0，②
n（x0﹣4）+（m﹣4）y0＝0，③
由②，③得
x0＝
＝
＝
＝
＝1
所以点M恒在椭圆G上．
（ⅱ）设AM的方程为x＝ty+1，
代入＝1，得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0．
设A（x1，y1），M（x2，y2），则有．
＝，
令3t2+4＝λ（λ≥4），则|y1﹣y2|＝＝，
∵λ≥4，，∴当，即λ＝4，t＝0时，|y1﹣y2|有最大值3，此时AM过点F，△AMN的面积有最大值．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．
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