2022-2023学年北京市大兴区亦庄实验中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市大兴区亦庄实验中学高二（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为若一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  古希腊的数学家特埃特图斯，约前前通过如图来构造无理数，，，记，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，，那么，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，是方程的两个根，且，为锐角，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为若的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示月份，和是正整数，，．
统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：
该地区月平均最高气温最高的月份与最低的月份相差摄氏度；
月份该地区月平均最高气温为摄氏度，随后逐月递增直到月份达到最高；
每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同．
则的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知函数在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论：
在区间上有且仅有个不同的零点；
的最小正周期可能是；
的取值范围是；
在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  ______ ．

12.  函数的对称中心是______ ．

13.  已知，则 ______ ．

14.  如图，正六边形的边长为，______．

15.  已知函数，则函数的图象的对称轴方程为______ 设直线是函数的图象在轴右侧第一条对称轴，直线与的图象交于点，设函数的图象在轴右侧第一、二个对称中心分别为点、，点是函数的图象上位于、之间的动点，则的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知向量、满足，，且．
求向量及；
求向量与的夹角的余弦．

17.  本小题分
已知，且是第_____象限角．
从一，二，三，四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，
解答以下问题：
Ⅰ求，的值；
Ⅱ化简求值：

18.  本小题分
函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
求图中，的值；
求不等式的解集．

19.  本小题分
已知，，．
求函数的对称轴；
求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；
若求函数的单调减区间．

20.  本小题分
如图，在中，已知，，．

求；
已知点是上一点，满足，点是边上一点，满足．
当时，求；
是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
Ⅰ设函数，求证：；
Ⅱ记向量的相伴函数为，当且时，求的值；
Ⅲ将Ⅰ中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变得到的图象已知，，问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因，则，得．
故选：．
因，则，后由数量积的坐标运算法则可得答案．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
利用同角三角函数基本关系式将正切转化成正弦与余弦的比，即可解出．
本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查扇形的弧长与面积公式，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
依题意，可求得，利用扇形的弧长公式与面积公式可求得答案．

【解答】

解：时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为，
，
一个扇形的圆心角为，弧长为，设其半径为，
则，
，
该扇形的面积，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

由题意，利用直角三角形中的边角关系，两角和的余弦公式，计算的值即可．
本题主要考查了直角三角形中的边角关系，两角和的余弦公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

【解答】

解：由题意，可得，，
，，
故，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：因为，
，
，
所以．
故选：．
利用两角和的余弦公式，二倍角公式化简即可求解．
本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，则，
故选：．
由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
，
，为锐角，可得：，
．
故选：．
先利用韦达定理，求出和的值，利用正切的两角和公式求出的值，根据角的范围可求．
本题的考点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，主要考查一元二次方程的根与系数的关系，考查正切的两角和公式及特殊角的三角函数，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，求得的值．

【解答】

解：由题意知，，，．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：由题意，可得，
解得，，
由，解得，
当时，，，
解得，，
因为．
所以，
故G，，．
故选：．
由题意得，解得，的值，利用周期公式，解得，由时，，，结合范围，可求的值，即可得解函数解析式，从而得解．
本题考查了余弦函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

令，则，由函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，可求出判断，再利用三角函数的性质可依次判断．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的综合能力，属于中档题．

【解答】

解：由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，
由，得，则，，，，
即，，故正确；
对于，，，
，当时，在区间上有且仅有个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故错误；
对于，周期，由，，故正确；

对于，，，
又，所以在区间上不一定单调递增，故错误．
故正确序号为：，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
利用诱导公式与两角和的正弦公式即可求得答案．
本题考查两角和的正弦，熟练逆用公式是关键，属于中档题．
 

12.【答案】， 

【解析】解：对于函数，令，，
求得，，
可得函数的图象 的对称中心是，，
故答案为：，．
由题意，利用正切函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，可得，
，，
故答案为：．
根据求得，结合，确定答案．
本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数的周期性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意，，，
则．
故答案为：．
由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可．
本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】   

【解析】解：对于函数，
由，解得，
故函数的图象的对称轴方程为，
由，解得，即点，
由，解得，即点，
由，解得，即点，
设点，其中，
，，

故答案为：；
根据已知条件，结合余弦函数对称轴的性质，以及平面向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查余弦函数对称轴的性质，以及平面向量的数量积公式，属于中档题．
 

16.【答案】解：，；
且，
，所以；
由题意，，设向量与向量的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦为． 

【解析】利用向量的模的运算法则，求解向量的数量积即可；
利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的求法，是基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ，为第三象限或第四象限，
若选，，；
若选，，；
Ⅱ原式． 

【解析】Ⅰ由题意可知，为第三象限或第四象限，再分别利用同角三角函数间的基本关系求解；
Ⅱ利用诱导公式化简求值．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：由图象知，，则，
即，则，
即，
，即，
，
，
，
则，即，

函数的周期，
，
．
，可得，
，，解得，，
不等式的解集为． 

【解析】根据三角函数的图象确定，和的值即可得解函数的解析式．
根据三角函数的图象进行求解即可．
由题意解，由正弦函数的图象和性质可即可得解．
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，根据条件求出，和的值求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可得
，
令，
解得的对称轴方程为，；
由可知，
当，即时，
取得最小值，
此时自变量的取值集合为；
由可知，
令，
解得，，又
，，
所求单调减区间为， 

【解析】先化简，再通过三角函数的图像性质即可求解；
根据三角函数的图像性质即可求解；
先求在上的所有单调减区间，再将其与定义域求交即可得解．
本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图像性质，属中档题．
 

20.【答案】解：中，，，，
由余弦定理得：


．
，即；
时，，，
、分别是，的中点，
，
，



；
假设存在非零实数，使得，
由得，

；
又，

；
，

，
解得或不合题意，舍去，
即存在非零实数，使得． 

【解析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．
利用余弦定理求出的长即得；
时，、分别是，的中点，利用、分别表示出和，进而即可求出；
假设存在非零实数，使得，利用、分别表示出和，求出时的值即可．
 

21.【答案】，
是“相伴向量” 的“相伴函数”，
记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为，
．
记向量的相伴函数为，
，
当且时，
，，
．
由可得，，
将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
将横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变
得到，
设，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
当且仅当时，等式成立，
图像上存在点，使得． 

【解析】通过三角函数的两角差公式展开，并整理成“相伴函数”，即可证明，根据已知条件，并运用三角函数的同角和公式，即可求解，先通过对函数进行平移、伸缩变换得到，再运用向量垂直，其所对应的向量坐标乘积和为零，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象平移、变换、以及三角函数的同角和公式，并且根据向量垂直，其所对应的向量坐标乘积和为零，是解决本题的关键，本题知识点多，需要学生灵活使用，属于难题．