2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知＝（x，1，3），＝（1，3，9），如果与为共线向量，则x＝（ ）
A．1B．C．D．
2．（4分）已知集合A＝{y|y＝ex}，集合B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∪B＝（ ）
A．RB．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
3．（4分）已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，则m∥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
4．（4分）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计、发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90）的学生数是（ ）
A．30B．45C．60D．100
5．（4分）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条直线所成的角θ满足（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知平面，其中P0（1，1，1），法向量，则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（2，0，1）B．（2，0，2）C．（﹣1，1，0）D．（0，2，0）
7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是线段B1D1上一点，则点M到平面A1BD的距离是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）
A．B．C．D．π+1
9．（4分）已知函数f（x）＝2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．
10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是（ ）
A．点P可以是棱BB1的中点
B．线段MP的最大值为
C．点P的轨迹是正方形
D．点P轨迹的长度为
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）复数z＝1+2i的虚部是 ，复数在复平面内对应的点在第 象限．
12．（5分）若向量，，，且，，共面，则m＝ ．
13．（5分）圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于 ．
14．（5分）已知在空间直角坐标系O﹣xyz（O为坐标原点）中，点A（1，1，﹣1），点B（1，﹣1，1），则z轴与平面OAB所成的线面角大小为 ．
15．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥B1﹣BED1的体积为定值；
②存在点E，使得B1D⊥平面BED1；
③对每一个点E，在棱DC上总存在一点P，使得AP∥平面BED1；
④M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面α垂直于DM，则截面α的面积的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共3小题，共40分.
16．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，∠VCA＝90°，M，N分别为VA，VB的中点．
（1）求证：AB∥平面CMN；
（2）求证：AB⊥VC．
17．（14分）已知函数f（x）＝asin2x+2cs2x，且满足f（x）的图象过点（﹣，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．
18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．
（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的余弦值：
（3）点M在线段B1C上，且，点N在线段A1B上，若MN∥平面A1ACC1，求的值．
四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
19．（5分）袋中装有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），从袋中随机摸出3个球，摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是 ．
20．（5分）声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 倍．
21．（5分）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1（单位：dm），小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：dm2）的最大值是 ．
22．（5分）设函数f（x）＝．
①若a＝1，则f（x）的最小值为 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
五、解答题：本大题共2小题，共25分.
23．（12分）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
24．（13分）给定正整数n≥2，设集合M＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．对于集合M中的任意元素β＝（x1，x2，…，xn）和γ＝（y1，y2，…，yn），记β•γ＝x1y1+x2y2+…+xnyn．
设A⊆M，且集合A＝{αi|αi＝（ti1，ti2，…，tin），i＝1，2，…，n}，对于A中任意元素αi，αj，若则称A具有性质T（n，p）．
（Ⅰ）判断集合A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T（3，2）？说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在具有性质T（4，p）的集合A，并加以证明；
（Ⅲ）若集合A具有性质T（n，p），证明：t1j+t2j+…+tnj＝p（j＝1，2，…，n）．
2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）已知＝（x，1，3），＝（1，3，9），如果与为共线向量，则x＝（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合空间向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：＝（x，1，3），＝（1，3，9），如果与为共线向量，
则，解得x＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量共线的性质，属于基础题．
2．（4分）已知集合A＝{y|y＝ex}，集合B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∪B＝（ ）
A．RB．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
【分析】化简集合A，B，根据并集运算求解．
【解答】解：因为A＝{y|y＝ex}＝（0，+∞），B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝（1，+∞），
所以A∪B＝（0，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3．（4分）已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，则m∥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的性质对选项分别分析选择．
【解答】解：对于A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行，如果是交线，则在α内，故A错误；
对于B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂β；故B错误；
对于C，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故C错误；
对于D，若α∥β，m⊥α，利用面面平行的性质以及项目存在的性质可以判断m⊥β；故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了面面垂直、面面平行、线面平行的性质的运用；注意定理运用时的条件，考虑特殊位置．
4．（4分）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计、发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90）的学生数是（ ）
A．30B．45C．60D．100
【分析】由频率之和为1先求出x，再由成绩在[80，90）的频率可求成绩在该区间的学生数．
【解答】解：由题意得，10×（0.005+0.01+0.015+x+0.04）＝1，
解得x＝0.03，
则学生成绩在区间[80，90）的频率为10×0.03＝0.3，
因为共抽取200名学生，
所以成绩在区间[80，90）的学生数为200×0.3＝60．
故选：C．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
5．（4分）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条直线所成的角θ满足（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据空间向量求异面直线的夹角的运算即可求出异面直线夹角的余弦值．
【解答】解：因为两条异面直线的方向向量分别是，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的应用，重点考查了异面直线的夹角的运算，属基础题．
6．（4分）已知平面，其中P0（1，1，1），法向量，则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（2，0，1）B．（2，0，2）C．（﹣1，1，0）D．（0，2，0）
【分析】根据向量垂直则向量数量积为0，逐个代入验证即可．
【解答】解：若点在平面α内，则，
对于A：＝（1，﹣1，0）•（﹣1，1，2）＝﹣2，所以A选项的点不在平面α内；
对于B：，满足要求，所以在平面内；
对于C：，满足要求，所以在平面内；
对于D：，满足要求，所以在平面内．
故选：A．
【点评】本题考查了平面法向量的定义，向量数量积的坐标运算，是基础题．
7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是线段B1D1上一点，则点M到平面A1BD的距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面A1BD的法向量，利用空间向量法求解即可．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），，，
设平面A1BD的法向量，
则，取x＝1可得平面A1BD的一个法向量，
因为M是线段B1D1上一点，设，
所以，
所以点M到平面A1BD的距离．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
8．（4分）如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）
A．B．C．D．π+1
【分析】分析该组合体的组成可得该几何体体积是个球的体积与一个正方体体积之和，计算可得结果．
【解答】解：该组合体的体积V＝V球+V正方体﹣V球＝+V正方体＝×+13＝+1，
故选：A．
【点评】本题考查了几何体体积的计算，属于基础题．
9．（4分）已知函数f（x）＝2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．
【分析】先根据x的范围求出ωx的范围，根据函数f（x）在区间[]上的最小值为﹣2，可得到﹣ω≤﹣，即ω≥，然后对ω分大于0和小于0两种情况讨论最值可确定答案．
【解答】解：当ω＞0时，﹣ω≤ωx≤ω，
由题意知﹣ω≤﹣，即ω≥，
当ω＜0时，ω≤ωx≤﹣ω，
由题意知ω≤﹣，即ω≤﹣2，
综上知，ω的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题．考查三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点一定要强化复习．
10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是（ ）
A．点P可以是棱BB1的中点
B．线段MP的最大值为
C．点P的轨迹是正方形
D．点P轨迹的长度为
【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项B，通过分析判断可得点P不可能是棱BB1的中点，从而判断选项A，又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，可判断选项C和选项D．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的中点，
则D（0，0，0），，
所以，
设P（x，y，z），则，
因为MP⊥CN，
所以，
当x＝1时，z＝，
当x＝0时，z＝，
取，
连结EF，FG，GH，HE，
则，，
所以四边形EFGH为矩形，
则，
即EF⊥CN，EH⊥CN，又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，
所以CN⊥平面EFGH，
又，
所以M为EG的中点，则M∈平面EFGH，
所以为使MP⊥CN，必有点P∈平面EFGH，
又点P在正方体表面上运动，
所以点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱BB1的中点，
故选项A错误；
又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，
所以EF≠EH，则点P的轨迹不是正方形，且矩形EFGH的周长为，
故选项C错误，选项D正确；
因为，，
又MP⊥CN，则，
所以，点P在正方体表面运动，则，解得，且0≤y≤1，
所以MP＝，
故当或z＝，y＝0或1时，MP取得最大值为，
故选项B错误；
故选：D．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了空间中点、线、面位置关系的应用，直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用，对于空间中的一些长度问题，经常会选用空间向量来求解，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需各点的坐标和向量的坐标．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）复数z＝1+2i的虚部是 2 ，复数在复平面内对应的点在第 四 象限．
【分析】由复数的实部与虚部的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义可得．
【解答】解：复数z＝1+2i的虚部是2，
，在复平面对应的点为（1，﹣2）在第四象限．
故答案为：2；四．
【点评】本题考查复数的定义，考查共轭复数的应用，属于基础题．
12．（5分）若向量，，，且，，共面，则m＝ 5 ．
【分析】设＝x+y，则（1，2，2）＝（3x﹣y，x+3y，﹣x+my），列方程组能求出m．
【解答】解：∵向量，，，且，，共面，
∴设＝x+y，则（1，2，2）＝（3x﹣y，x+3y，﹣x+my），
∴，解得x＝，y＝，m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于 π ．
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为2，
∴母线长为：，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×1×＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
14．（5分）已知在空间直角坐标系O﹣xyz（O为坐标原点）中，点A（1，1，﹣1），点B（1，﹣1，1），则z轴与平面OAB所成的线面角大小为 ．
【分析】先求出平面法向量，再求z轴与平面法向量夹角的余弦值，最后求线面角．
【解答】解：因为O（0，0，0），A（1，1，﹣1），B（1，﹣1，1），
所以，
设平面OAB的法向量为，
则，，所以，
即，解得，
令z＝1，得x＝0，y＝1，所以，
又z轴的一个方向向量为，
设z轴与平面OAB的夹角为，
所以，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与平面所成角，属于中档题．
15．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥B1﹣BED1的体积为定值；
②存在点E，使得B1D⊥平面BED1；
③对每一个点E，在棱DC上总存在一点P，使得AP∥平面BED1；
④M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面α垂直于DM，则截面α的面积的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
【分析】对于①，由AA1∥BB1，得AA1∥平面BB1D1，从而点E到平面BB1D1的距离为h＝，再由＝＝，由此能求出三棱锥B1﹣BED1的体积为定值；对于②，当E为棱AA1的中点时，取BD1的中点为F，连接EF，推导出EF⊥B1D，由正方体性质得BD1⊥B1D不成立，从而不存在点E，使得B1D⊥平面BED1，故；对于③，当E与点A重合时，无论点P在何位置，直线AP与平面BED1相交；对于④，推导出A1C⊥DM，由余弦定理、截面面积能求出结果．
【解答】解：对于①，如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1，BB1⊂平面BB1D1，∴AA1∥平面BB1D1，
∵点E是棱AA1上的一个动点，∴点E到平面BB1D1的距离为h＝，
＝＝，
∴三棱锥B1﹣BED1的体积V＝，故①正确；
对于②，当E为棱AA1的中点时，取BD1的中点为F，连接EF，如图，
则EF∥AC，又AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BDD1B1，又B1D⊂平面BDD1B1，∴EF⊥B1D，
由正方体性质得BDD1B1是矩形，不是正方体，
∴BD1⊥B1D不成立，又EF∩BD1＝F，
∴不存在点E，使得B1D⊥平面BED1，故②错误；
对于③，当E与点A重合时，无论点P在何位置，直线AP与平面BED1相交，故③错误；
对于④，根据题意，作图如下，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C⊥平面BDC1，∴A1C⊥DM，
设D1G＝x，则，CG＝，
则△A1GC中，cs∠A1GC＝＝，
sin∠A1GC＝＝，
则该截面面积S＝2×A1G•CG•sin∠A1GC＝＝•，
∵x∈[0，1]，当x＝时，Smin＝，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：本大题共3小题，共40分.
16．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，∠VCA＝90°，M，N分别为VA，VB的中点．
（1）求证：AB∥平面CMN；
（2）求证：AB⊥VC．
【分析】（1）证明MN∥AB，根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）根据面面垂直的性质可得VC⊥平面ABC，从而可得VC⊥AB．
【解答】证明：（1）因为M，N分别为的棱VA，VB的中点，所以MN∥AB，
又MN⊂平面CMN，AB⊄平面CMN，所以AB∥平面CMN；
（2）由∠VCA＝90°知，VC⊥AC，
又因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，VC⊂平面VAC，
所以VC⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以VC⊥AB．
【点评】本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质，属于基础题．
17．（14分）已知函数f（x）＝asin2x+2cs2x，且满足f（x）的图象过点（﹣，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由f（﹣）＝0列式求得a值，代入函数解析式，再由辅助角公式化积，则函数的解析式及最小正周期可求；
（Ⅱ）由x的范围求得2x+的范围，再由函数f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为3，可得2m+，求解不等式可得实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，f（﹣）＝asin（）+2＝，
解得a＝．
∴f（x）＝sin2x+2cs2x＝＝．
∴f（x）的最小正周期T＝；
（Ⅱ）由x∈[﹣，m]，得2x+∈[0，2m+]，
∵函数f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为3，
∴sin（）在区间[﹣，m]上的最大值为1，
则2m+，即m．
∴实数m的取值范围是[，+∞）．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．
18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．
（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的余弦值：
（3）点M在线段B1C上，且，点N在线段A1B上，若MN∥平面A1ACC1，求的值．
【分析】（1）先证明BC1⊥B1C与A1B1⊥BC1，由线面垂直的判定定理求证即可．
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面B1A1C的法向量与平面ACC1A1的法向量，利用向量法求二面角即可．
（3）由MN∥平面A1ACC1，利用向量法，求出的值．
【解答】解：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，
因为平面ABC∥平面A1B1C1
所以BB1⊥平面A1B1C1，
又A1B1⊂平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，
所以BB1⊥A1B1，且BB1⊥B1C1，
又A1B1⊥B1C1，
因为BB1∩B1C1＝B1，
所以A1B1⊥平面BBC1B1，
因为BC1⊂平面BBC1B1，
所以A1B1⊥BC1，
由BB1＝AA1＝BC，则侧面BB1C1C为正方形，
所以BC1⊥B1C，
因为A1B1∩B1C＝B1，A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C．
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
A（0，2，0）C（2，0，0）C1（2，0，2），B（0，0，0），B1（0，0，2），A1（0，2，2），
所以，，，，
设平面ACC1A1的法向量，
则，
取x1＝1，则y1＝1，z1＝0，
所以＝（1，1，0），
设平面B1A1C的法向量，
则，
取x2＝1，则y2＝0，z＝1，
所以，
设二面角B1﹣A1C﹣C1的平面角为θ，
则，
因为二面角B1﹣A1C﹣C1为锐二面角，
所以二面角B1﹣A1C﹣C1的余弦值为．
（3）点M在线段B1C上，且，点N在线段A1B上，
设M（a，b，c），N（x，y，z），
设，则，，且0≤λ≤1，
且，
即（2，0，﹣2）＝3（a，b，c﹣2），（x，y﹣2，z﹣2）＝λ（0，﹣2，﹣2），
解得，N（0，2﹣2λ，2﹣2λ），
，
因为MN∥平面ACC1A1，且，
所以，解得．
所以的值为．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
19．（5分）袋中装有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），从袋中随机摸出3个球，摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是 ．
【分析】列出摸取的全部基本事件，找到符合要求的基本事件，根据古典概型求解．
【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，2只白色乒乓球标记为1、2，
从5个球中随机摸出3个球的基本事件为：
ABC、AB1、AB2、AC1、AC2、A12、BC1、BC2、B12、C12，共10个，
其中2个黄球1个白球的基本事件为AB1、AB2、AC1、AC2、BC1、BC2，共6个，
所以摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型的计算公式，列举法表示基本事件的方法，是基础题．
20．（5分）声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 108 倍．
【分析】根据所给声音强度与声音的等级的函数关系求解．
【解答】解：由，即，
得声音强度，
设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x1，x2，
所以强度之比．
故答案为：108．
【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21．（5分）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1（单位：dm），小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：dm2）的最大值是 ．
【分析】根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC，分别交VA，VC于F，E，在平面VBC内，过E作EQ∥VB，交BC于Q，在平面VAB内，过F作FD∥VB，交BC于D，连接DQ，进而根据题意，△VEF∽△VCA，设其相似比为k，则＝＝＝k，再证明四边形FEQD是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可．
【解答】解：根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于F，E，
在平面VBC内，过E作EQ∥VB交BC于Q，
在平面VAB内，过F作FD∥VB交BC于D，连接DQ，如图，
∵EF∥AC，则∠VEF＝∠VCA，∠VFE＝∠VAC，∴△VEF∽△VCA，
设其相似比为k，则＝＝k，
∵VA⊥VC，∴在Rt△VAC中，AC2＝VA2+VC2，
∵VA＝VB＝VC＝1，∴AC＝，即EF＝，
∵FD∥VB，∴∠AFD＝∠AVB，∴，
∵＝＝1﹣k，
同理△CEQ∽△AVB，即＝1﹣k，
∵VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC，
∴VB⊥平面VAC，
∵FD∥VB，EQ∥VB，∴FD⊥平面VAC，EQ⊥平面VAC，
∵EF⊂平面VAC，∴FD⊥EF，EQ⊥FE，
∵＝＝k，＝k，
∴，
∵∠B＝∠B，∴△BDQ∽△BAC，∴DQ∥AC，
∵EF∥AC，∴EF∥DQ，
∵FD⊥EF，EQ⊥FE，∴FD⊥DQ，EQ⊥DQ，
∴四边形FEQD矩形，即S矩形FEQD＝EF•FD＝（1﹣k）＝﹣（k﹣）2+，
∴由二次函数的性质知当k＝时，SFEQD有最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（5分）设函数f（x）＝．
①若a＝1，则f（x）的最小值为 ﹣1 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 （﹣∞，0]∪[，1） ．
【分析】①代入a的值，求出f（x）在各个区间的最小值即可判断；
②通过讨论a的范围，再讨论x≥1和x＜1的情况，求出满足f（x）恰有2个零点的a的范围即可．
【解答】解：①若a＝1，x≥1时，f（x）＝lg2x﹣1，f（x）在[1，+∞）递增，f（x）的最小值是f（1）＝﹣1，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣1）（x﹣3）＝5（x2﹣4x+3），f（x）在（﹣∞，1）递减，f（x）＞f（1），
故f（x）的最小值是﹣1；
②a＝0时，x≥1时，f（x）＝lg2x，f（x）递增，f（x）有1个零点是x＝1，
x＜1时，f（x）＝5x2，f（x）有1个零点是x＝0，
故a＝0时，f（x）恰有2个零点，符合题意；
a＞0时，x≥1时，f（x）＝lg2x﹣a，f（x）递增，f（x）≥f（1）＝﹣a＜0，f（x）在[1，+∞）1个零点，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a），若f（x）在（﹣∞，1）恰有1个零点，
则零点是x＝a＜1，3a＞1，解得：＜a＜1，
a＜0时，x≥1时，f（x）＝lg2x﹣a，f（x）递增，f（x）≥f（1）＝﹣a＞0，f（x）在[1，+∞）0个零点，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a）恰有2个零点，则x＝a＜0，x＝3a＜0，符合题意，
当a＝时，f（x）＝，
当x＜1时，函数1个零点是，
当x＞1时，函数1个零点是，共2个零点，
故a＝符合题意，
综上，若f（x）恰有2个零点，则a≤0或≤a＜1，
故答案为：﹣1，（﹣∞，0]∪[，1）．
【点评】本题考查了求函数最值问题，考查函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
五、解答题：本大题共2小题，共25分.
23．（12分）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理：边转化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；
（Ⅱ）条件①，可得角C是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转化成边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，利用余弦定理，即可求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）因为bsin2A＝asin B，由正弦定理得，sinBsin2A＝sinAsin B，
又B∈（0，π），所以sinB≠0，得到sin2A＝sinA，
又sin2A＝2sinAcsA，所以2sinAcsA＝sinA，
又A∈（0，π），所以sinA≠0，得到csA＝，所以A＝；
（Ⅱ）选条件①：sinC＝；
由（1）知，A＝，根据正弦定理知，＝＝＝＞1，即c＞a，
所以角C有锐角或钝角两种情况，△ABC存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件②：；
因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
又，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
选条件③：csC＝；
因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
由csC＝，得到sinC＝＝＝，
又sinB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin AcsC+csAsin C，由（1）知A＝，
所以sinB＝×+×＝，
又由正弦定理得＝＝＝，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
【点评】本题考查正余弦定理，属于中档题．
24．（13分）给定正整数n≥2，设集合M＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．对于集合M中的任意元素β＝（x1，x2，…，xn）和γ＝（y1，y2，…，yn），记β•γ＝x1y1+x2y2+…+xnyn．
设A⊆M，且集合A＝{αi|αi＝（ti1，ti2，…，tin），i＝1，2，…，n}，对于A中任意元素αi，αj，若则称A具有性质T（n，p）．
（Ⅰ）判断集合A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T（3，2）？说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在具有性质T（4，p）的集合A，并加以证明；
（Ⅲ）若集合A具有性质T（n，p），证明：t1j+t2j+…+tnj＝p（j＝1，2，…，n）．
【分析】（Ⅰ）根据性质T（3，2）的概念，验证即可说明；
（Ⅱ）当n＝4时，集合A的元素有4个，由题可知p∈{0，1，2，3，4}，再分类讨论p的取值，结合T（4，p）的概念，即可求解；
（Ⅲ）根据性质T（n，p）的概念，分类讨论，证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵（1，1，0）•（1，1，0）＝1×1+1×1+0×0＝2，同理可得（1，0，1）•（1，0，1）＝（0，1，1）•（0，1，1）＝2，
而（1，1，0）•（1，0，1）＝1×1+1×0+0×1＝1，同理可得（1，1，0）•（0，1，1）＝（1，0，1）•（0，1，1）＝1，
∴集合A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}具有性质T（3，2）；
（Ⅱ）当n＝4时，集合A的元素有4个，由题可知p∈{0，1，2，3，4}，
假设集合A具有性质T（4，p），
则①当p＝0时，A＝{（0，0，0，0）}，矛盾；
②当p＝1时，A＝{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}，不具有性质T（4，1），矛盾；
③当p＝2时，A＝{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}，
∵（1，1，0，0）和（0，0，1，1）至多一个在A中；（1，0，1，0）和（0，1，0，1）至多一个在A中；
（1，0，0，1）和（0，1，1，0）至多一个在A中，故集合A的元素个数小于4，矛盾；
④当p＝3时，A＝{（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，不具有性质T（4，3），矛盾；
⑤p＝4时，A＝{（1，1，1，1）}，矛盾，
综合可得：不存在具有性质T（4，p）的集合A；
（Ⅲ）证明：设cj＝t1j+t2j+…tnj（j＝1，2，…，n），则c1+c2+…+cn＝np，
若p＝0，则A＝{（0，0，…，0）}，矛盾；
当p＝1时，A＝{（1，0，0，…，0）}，矛盾，故p≥2，
假设存在j使得cj≥p+1，不妨设j＝1，即c1≥p+1，
当c1＝n时，有cj＝0或cj＝1（j＝2，3，…，n）成立，
∴α1，α2，…，αn中分量为1的个数至多有n+（n﹣1）＝2n﹣1＜2n≤np，
当p+1≤c1＜n时，不妨设t11＝t21＝…＝tp+1，1＝1，tn1＝0，
∵αn•αn＝p，∴αn的各分量有p个1，不妨设tn2＝tn3＝…＝tn，p+1＝1，
由i≠j时，αi•αj＝1可知：∀q∈{2，3，…，p+1}，t1q，t2q，…tp+1，q中至多有一个1，
即α1，α2，…αp+1的前p+1个分量中，至多含有p+1+p＝2p+1个1，
又αi•αn＝1（i＝1，2，…，p+1），则α1，α2，…αp+1的前p+1个分量中，
含有（p+1）+（p+1）＝2p+2个1，矛盾，
∴cj≤p（j＝1，2，…，n），∵c1+c2+…+cn＝np，
∴cj＝p（j＝1，2，…，n），
∴t1j+t2j+…+tnj＝p（j＝1，2，…，n）．
【点评】本题考查集合的新定义，化归转化思想，归纳推理思想，分类讨论思想，反证法的应用，数学归纳法的应用，属难题．
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