2021-2022学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷，共16页。

A．cs2xB．2cs2xC．﹣cs2xD．﹣2cs2x
2．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（ ）
A．3B．5C．10D．20
3．（4分）已知函数，则等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．0
4．（4分）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4分）一个小球从5m的高处下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y＝﹣4.9t2，则t＝1s时小球的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．﹣4.9B．﹣9.8C．4.9D．9.8
6．（4分）已知函数f（x）＝x（x﹣1）2，则（ ）
A．f（x）有极小值，无极大值
B．f（x）有极大值，无极小值
C．f（x）既有极小值又有极大值
D．f（x）无极小值也无极大值
7．（4分）将（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）展开，则x3的系数等于（ ）
A．﹣10B．﹣12C．12D．10
8．（4分）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5＝（ ）
A．121B．﹣122C．﹣121D．122
9．（4分）“x＞0”是“x+sinx＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．（4分）某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8300﹣170p﹣p2，则最大毛利润为（ ）（毛利润＝销售收入﹣进货支出）
A．30元B．60元C．28000元D．23000元
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）＝ .（结果用数字作答）
12．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于 ．
13．（5分）从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是 .（结果用数字作答）
14．（5分）已知f（x）＝ex.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线过坐标原点，则x0＝ ；若命题“对∀x∈R，f（x）﹣kx≥0恒成立”为假命题，则k的一个值可以是 ．
15．（5分）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色．有如下结论：
①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种．
则正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）（1）（x﹣1）7展开式中第几项的系数最大，并写出这一项；
（2）求（x+1）（x﹣1）7展开式中x2项的系数．
17．（13分）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成三位自然数．
（1）各位数字可以重复的三位数有多少个？
（2）比300大且各位数字不重复的三位偶数有多少个？
18．（13分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，2]上的最小值与最大值．
19．（15分）已知函数，a∈R．
（1）若a＝4，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
20．（15分）已知函数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）画出函数y＝f（x）的大致图像，并结合图像，判断方程的解的个数．
21．（16分）已知函数f（x）＝ex﹣mx﹣1，m∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0，求m的值；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）＞0，求m的取值范围；
（3）讨论f（x）在区间（0，1）上的零点个数．
2021-2022学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）设f（x）＝sin2x，则f'（x）＝（ ）
A．cs2xB．2cs2xC．﹣cs2xD．﹣2cs2x
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝sin2x，
∴f'（x）＝2cs2x，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，属基础题．
2．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（ ）
A．3B．5C．10D．20
【分析】根据集合的子集的定义判断即可．
【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，
从5个数中取2个数，
有＝10种方法，
则A的含有2个元素的子集的个数是10个，
故选：C．
【点评】本题考查了集合的子集的定义，考查组合问题，是基础题．
3．（4分）已知函数，则等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．0
【分析】利用导数的定义求解．
【解答】解：∵，∴f'（x）＝﹣，
由导数的定义可知＝f'（1）＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．
4．（4分）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用导数的几何意义即可求解．
【解答】解：由导函数图象知，f′（x）≥0，∴f（x）单调递增，∴排除C选项，
又f′（0）＝0，∴f（x）在x＝0处的切线斜率为0，∴排除AB选项，
又f′（x）先减后增，∴f（x）的切线斜率先减少后增加，
故D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义，数形结合思想，属基础题．
5．（4分）一个小球从5m的高处下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y＝﹣4.9t2，则t＝1s时小球的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．﹣4.9B．﹣9.8C．4.9D．9.8
【分析】利用导数的实际意义求解．
【解答】解：∵y＝﹣4.9t2，∴y'＝﹣9.8t，
∴t＝1s时小球的瞬时速度为﹣9.8m/s，
故选：B．
【点评】本题主要考查了变化的快慢与变化率，属于基础题．
6．（4分）已知函数f（x）＝x（x﹣1）2，则（ ）
A．f（x）有极小值，无极大值
B．f（x）有极大值，无极小值
C．f（x）既有极小值又有极大值
D．f（x）无极小值也无极大值
【分析】对函数f（x）求导，判断函数f（x）的单调性，由此可得极值情况．
【解答】解：f′（x）＝（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝3x2﹣4x+1，
令f′（x）＝0，解得x＝1或，
∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴f（x）既有极小值又有极大值．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（4分）将（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）展开，则x3的系数等于（ ）
A．﹣10B．﹣12C．12D．10
【分析】将（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）展开，可得x3的系数．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝（x2﹣5x+4）（x2﹣5x+6）＝（x2﹣5x）2+10（x2﹣5x）+24＝x2（x2﹣10x+25）+10（x2﹣5x）+24＝x4﹣10x3+35x2﹣50x+24，
∴展开式中x3的系数为﹣10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式相乘展开，属于基础题．
8．（4分）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5＝（ ）
A．121B．﹣122C．﹣121D．122
【分析】分别令x＝1，x＝﹣1，建立方程联立即可求解．
【解答】解：令x＝1，则a0+a1+...+a5＝（1﹣2）5＝﹣1①，
令x＝﹣1，则a0﹣a1+...﹣a5＝（1+2）5＝243②，
则①﹣②可得：a1+a3+a5＝﹣122，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
9．（4分）“x＞0”是“x+sinx＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】问题转化为y＝﹣x和y＝sinx的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案．
【解答】解：若x+sinx＞0，
只需y＝﹣x的图象在y＝sinx的下方即可，
画出函数y＝﹣x和y＝sinx的图象，如图示：
，
由图象得：x＞0是x+sinx＞0的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题．
10．（4分）某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8300﹣170p﹣p2，则最大毛利润为（ ）（毛利润＝销售收入﹣进货支出）
A．30元B．60元C．28000元D．23000元
【分析】毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．
【解答】解：由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即：
L（p）＝pQ﹣20Q＝Q（p﹣20）＝（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）
＝﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，
所以L′（p）＝﹣3p2﹣300p+11700．
令L′（p）＝0，解得p＝30或p＝﹣130（舍去）．
此时，L（30）＝23000．
因为在p＝30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．
所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，
故选D．
【点评】本题主要考查函数模型及其应用，利用导数求函数最值的方法等知识，属于中等题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）＝ 6 .（结果用数字作答）
【分析】利用排列数的计算公式即可得出结论．
【解答】解：原式＝5×4×3×2×1﹣19×3×2×1＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了排列数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于 ﹣20 ．
【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）rx6﹣2r
令6﹣2r＝0可得r＝3
常数项为（﹣1）3＝﹣20
故答案为：﹣20
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．
13．（5分）从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是 42 .（结果用数字作答）
【分析】利用排列数计算公式即可得出结论．
【解答】解：由题意可得：不同的安排方法数＝＝7×6＝42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了排列数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知f（x）＝ex.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线过坐标原点，则x0＝ 1 ；若命题“对∀x∈R，f（x）﹣kx≥0恒成立”为假命题，则k的一个值可以是 3（答案不唯一，只需满足k＜0，或t＞e即可） ．
【分析】由已知，根据给的函数解析式，写出过点（x0，f（x0））的切线方程，然后把点（0，0）求解x0即可；对于f（x）≥kx在∀x∈R不恒成立，可取f（x）＝ex在点（0，0）处的切线方程，然后令其切线方程的斜率小于k，求解出满足的范围，在范围内任取一数即可．
【解答】解：由已知可得，，所以，
所以曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为，
将（0，0）代入得：，解得x0＝1，
设直线y＝k0x与曲线f（x）＝ex相切，
原命题对“∀x∈R，f（x）﹣kx≥0恒成立”为假命题，只需满足k＞k0即可，
设切点为（x0，f（x0）），即，
，
由①②得x0＝1，
所以k0＝e，所以k＞k0＝e，所以k可以取3．
当k＜0时，f（x）≥kx对于∀x∈R不恒成立，所以也满足；
故答案为：1；3（答案不唯一，只需满足k＜0，或t＞e即可）．
【点评】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（5分）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色．有如下结论：
①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种．
则正确结论的序号是 ①② ．
【分析】根据计数原理从6条鱼选两条涂红色可确定①；从①中减掉相邻的种数可得②；分类讨论，再利用加法原理可得③结论．
【解答】解：①若恰有2条鱼被涂成了红色，则剩余4条鱼被涂成了蓝色，共有种涂色方法，
故①正确；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，可从①中减掉相邻的鱼被涂成红色的情况种数，
共有种方法；故②正确；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，
当红色用1次，有6种涂色方法，
当红色用2次，有种涂色方法，
当红色用3次，有种涂色方法，
当红色用4次，有种涂色方法，
当红色用5次，有6种涂色方法，
共有6+15+20+15+6＝62种方法，故③错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查了计数原理的应用，属于基础题．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）（1）（x﹣1）7展开式中第几项的系数最大，并写出这一项；
（2）求（x+1）（x﹣1）7展开式中x2项的系数．
【分析】（1）求出展开式的通项公式，根据二项式系数的性质即可求解；（2）求出含x2的项，由此即可求解．
【解答】解：（1）展开式的通项公式为T，
所以展开式中第5项的系数最大，即为C＝35x3，
（2）展开式中含x2的项为x×+1×＝﹣14x2
所以x2的系数为﹣14．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
17．（13分）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成三位自然数．
（1）各位数字可以重复的三位数有多少个？
（2）比300大且各位数字不重复的三位偶数有多少个？
【分析】（1）利用分步计数原理，即可求解；
（2）分百位是3，5或4两种情况，计算三位偶数的个数．
【解答】解：（1）百位有5种方法，十位和个位都有6种方法，所以共有5×6×6＝180种方法；
（2）百位是3或5时，个位有3种方法，十位有4种方法，所以满足条件的偶数有2×3×4＝24种方法，
当百位是4时，个位有2种方法，十位有4种方法，满足条件的偶数有1×2×4＝8种方法，
共有24+8＝32种方法．
【点评】本题考查排列组合，考查学生的推理能力，属于中档题．
18．（13分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，2]上的最小值与最大值．
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
（2）结合（1）的单调性可求函数的最值．
【解答】解：（1）f′（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
易得，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间（﹣∞，﹣3），（1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣3，1）；
（2）由（1）得函数在[﹣3，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
故当x＝1时，函数取得最小值，
因为f（﹣3）＝11，f（2）＝，
故函数的最大值11．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
19．（15分）已知函数，a∈R．
（1）若a＝4，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）当a＝4时，f（x）＝x+，求导得f′（x）＝1﹣，则切线的方程为y﹣f（1）＝k切（x﹣1），化简即可得出答案．
（2）求导得f′（x）＝1﹣＝，分两种情况：①当a≤0时，②当a＞0时，分析f（x）的单调性．
【解答】解：（1）当a＝4时，f（x）＝x+，f′（x）＝1﹣，
所以f（1）＝5，f′（1）＝﹣3，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣5＝﹣3（x﹣1），即y＝﹣3x+8．
（2）函数f（x）＝x+的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
f′（x）＝1﹣＝，
①当a≤0时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），
②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝±，
随着x的变化，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以a≤0时，f（x）单调递增区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），
当a＞0时，f（x）单调递增区间为（﹣∞，﹣）和（，+∞），单调递减区间为（﹣，0）和（0，）．
【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，解题中需要理清思路，属于中档题．
20．（15分）已知函数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）画出函数y＝f（x）的大致图像，并结合图像，判断方程的解的个数．
【分析】（1）对函数f（x）求导，判断其单调性，由此可得极值情况；
（2）根据函数f（x）的单调性和极值作出图象，结合图象可得方程的解的个数．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得x＞e，
∴函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x＝e处取得极大值，无极小值；
（2）由于x＝1是函数唯一的零点，且x＞1时，f（x）＞0，0＜x＜1时，f（x）＜0，
根据函数f（x）的单调性和极值作出大致图象如下图所示，
由图象可知，方程有2个解．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
21．（16分）已知函数f（x）＝ex﹣mx﹣1，m∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0，求m的值；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）＞0，求m的取值范围；
（3）讨论f（x）在区间（0，1）上的零点个数．
【分析】（1）依题意，f′（0）＝0，由此建立关于m的方程，解出即可；
（2）f′（x）＝ex﹣m，分m≤1及m＞1讨论函数f（x）的单调性，进而判断再（0，+∞）上的最值情况，由此可得解；
（3）根据（2）的结论，分m≤1及m＞1讨论得出答案．
【解答】解：（1）∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0，
∴f′（0）＝0，即e0﹣m＝0，解得m＝1；
（2）由f（x）＝ex﹣mx﹣1，得f′（x）＝ex﹣m，
由于y＝ex在（0，+∞）上单调递增，则ex＞1，
①当m≤1时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f（x）＞f（0）＝0；
②当m＞1时，令f′（x）＝0，解得x＝lnm，
易知函数f（x）在（0，lnm）单调递减，在（lnm，+∞）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，1]；
（3）根据（2）的结论，
①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x）有唯一零点x＝0，
∴f（x）在区间（0，1）上无零点；
②当m＞1时，
若f（1）＞0，即1＜m＜e﹣1时，f（x）在区间（0，1）上有一个零点；
若f（1）≤0，即m≥e﹣1时，f（x）在区间（0，1）上没有零点；
综上，当m∈（﹣∞，﹣1]∪[e﹣1，+∞）时，f（x）在区间（0，1）上没有零点；
当m∈（1，e﹣1）时，f（x）在区间（0，1）上有一个零点．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
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（﹣∞，﹣）
﹣
（﹣，0）
（0，）
（，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
单调递减
极小值
单调递增