浙教版（2024）九年级上册1.1 二次函数当堂检测题

这是一份浙教版（2024）九年级上册1.1 二次函数当堂检测题，共126页。

题型一：图形问题
题型二：图形运动问题
题型三：拱桥问题
题型四：销售问题
题型五：投球问题
题型六：喷水问题
【考点剖析】
题型一：图形问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）果农小张准备投资观光采摘水果项目：在如图的正方形果园（阴影部分）中种植水果，在正方形果园四周建造宽2.5m的观光道路．建造道路的成本为80元/m2，第一季水果销售，预计平均每平方米获得毛利润20元．
(1)当果园边长为米时，设第一季水果销售的毛利润减去道路建造成本后的利润为元，求与之间的函数解析式．
(2)当为何值时，的值最小？
(3)要使得，求的最小值（精确到，）．
2．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）如图1所示，装置是王老师设计的用来画二次函数图像的工具．直角三角板可以在直板L上滑动，其中，在边处，存在像拉链一样可以展开的细线，一端固定在定点A处．点P处为拉链展开处，且随着三角板的移动，开始时，点D，A，B在同一直线上，点P为中点．点P处的铅笔头可以画出点P移动的轨迹．在画轨迹时，需保持细线拉直，如图2．
(1)根据题意得，与的关系为：___________；
(2)若已知点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点；
①用x，y表示出和的长；
②若长，那么三角板向右滑动的最大距离是多少？
3．（2023·浙江·九年级专题练习）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；
（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？
4．（2023·浙江杭州·校考一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
5．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）．在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元．
(1)的长为______米（用含x的代数式表示）；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由．
6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标：若不存在，请说明理由．
7．（2023秋·浙江宁波·九年级校考期末）已知抛物线．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
题型二：图形运动问题
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）如图，正方形的边长为，点P，Q同时从点A出发，速度均为，若点P沿向点C运动，点Q沿向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，在中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为______．
三、解答题
3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣2＋m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）．
(1)求点P的坐标，并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？
(2)若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围．
4．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表．
(1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式；
(2)经过多少秒时，路程为0.225米？
(3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度）
5．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；
（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．
6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求直线BD的解析式；
（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．抛物线经过点与点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．
8．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点M抛物线的顶点．
（1）连接，求与对称轴的交点D坐标．
（2）点是对称轴上的一个动点，求的最小值．
9．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为C，点B为抛物线对称轴上一动点．
（1）抛物线的函数表达式为________，抛物线的对称轴为________．
（2）线段绕点B顺时针旋转得到，当点P落在抛物线上时，求出点B坐标．
（3）当点B在x轴上时，M，N是抛物线上的两个动点，M在N的右侧，若以B，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M的横坐标．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，用S表示的面积，t表示移动的时间．
(1)求秒时，的面积；
(2)求S关于t的函数关系式，并求面积的最大值；
(3)当t为何值时，PQ的距离最短，并求这个最短距离．
11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．
（1）当m＝0时
①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为 ；
②点（，﹣）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝ ；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为6，求m的值．
13．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三：拱桥问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为10m，一身高为1.8m的同学站在门内，在离门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高h．
2．（2023春·浙江衢州·九年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校联考阶段练习）横跨“信安湖”上的衢江大桥主桥采用V型腿钢构加拱桥组合结构形式，其中主拱线形呈抛物线状．图2是图1的示意图．已知拱线与桥面的两交点A，B之间的距离为，拱线的最高点距桥面，为两桥墩，与之间的距离为．
(1)建立适当的平面直角坐标系，并求出拱线所在抛物线的解析式．
(2)当桥墩露出水面部分高，此时水面与桥面的距离为多少米？
3．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)求支柱的长度．
(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
4．（2023·浙江温州·统考模拟预测）如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）
（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？
5．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
6．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到的最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
题型四：销售问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）某超市以20元/千克的价格购进一批绿色食品，在整个销售旺季的40天里，设第天的销售单价为元/千克，与满足如下关系：，
(1)第几天时销售单价为24元/千克？
(2)如图，设第天的销售量为千克，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若超市第天销售该绿色食品获得的利润为元，求关于的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少？
2．（2023·浙江·九年级专题练习）某创意公司开发了一种成本为20元/个的新型智力开发玩具，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
(2)在“六一节”来临之际，为使利润最大，该公司应将销售价格定为多少元？
3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．当每件涨价元，所得利润．
(1)当每件降价元，试求所得利润关于的函数关系式．
(2)是否存在值，使？若存在，求出的值，否则说明理由．
4．（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）某超市销售某种儿童玩具，每件进价为50元．根据市场调查发现：该玩具销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件．要求销售单价不得低于成本，且不高于110元．
(1)求该儿童玩具每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
(2)设超市每月销售这种玩具可获利W（元），当销售单价x为多少时W最大？W最大值是多少？
5．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）“味香园”葡萄基地是宁波市最大的葡萄生产基地，“味香园”葡萄以品种多，质量好而声名远播．某“味香园”农户准备将“巨峰”和“美人指”两种葡萄装箱销售，推出了两种方案：2千克“巨峰”和3千克“美人指”装一箱按批发价每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”装一箱按批发价每箱92元．
(1)求“巨峰”和“美人指”两种葡萄批发价每千克分别是多少元？
(2)某经销商在“味香园”按批发价购入一批“巨峰”葡萄进行销售，经调查发现：当销售价为每千克24元进行销售时，每天能卖出80千克；销售单价每降价0.2元，每天能多卖出4千克．求销售价定为每千克多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元？
6．（2023秋·浙江温州·九年级期末）红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①填空：与之间的函数关系式是___________；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?
7．（2023·浙江·九年级专题练习）某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）．在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：
(1)若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______（不用写自变量x的取值范围）；
(2)若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
(3)为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）
8．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为元，请用含的代数式表示该玩具的销售量______．
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．
(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：
方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；
方案②：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．
9．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)设每千克涨价为x元，每天的总盈利为y元．若涨价x为整数，则总盈利y最大值为多少？
(2)若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价多少元？
10．（2023·浙江·九年级专题练习）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
(3)该店主从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，同时最大限度的让利于顾客，求销售单价x应定为多少？
11．（2023·浙江宁波·模拟预测）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值．
12．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：
为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，．已知该纪念品成本价为20元/件．
(1)求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；
(2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第10天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
题型五：投球问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．
在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
2．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，足球运动员在点处将球射向球门，球射门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．
(1)求球运动路线的函数表达式．
(2)若球门在点正前方10米，球门高度是2.44米，问该球能否射入球门？
3．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网．小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点与障碍平台之间的距离为，障碍平台高为，若小冲此次训练时足球正好在前方的点处达到最高点，离地面最高距离为，以地面所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求过O，C，B三点的抛物线表达式；
(2)此时障碍平台与球门之间的距离为，已知球门高为，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门．
4．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度．
(1)求出该抛物线的解析式和自变量的取值范围；
(2)当球离抛出地的水平距离为时，球的高度是多少？
(3)当球的高度为时，球离抛出地的水平距离是多少？
5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．
(1)当时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求的取值范围．
6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1，已知排球场的长度为，宽，位于球场中线处的球网的高度为．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，，球飞行到达最高点F处时，其高度为，F与C的水平之距为，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小忽略不计）．
(1)当他站在底线中点O处向正前方发球时，
①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）．
②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由．
(2)假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（，结果保留两位小数）
7．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：
则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；
②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？
(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线中c的值不变，要提高成绩应使a，b的值做怎样的调整?
8．（2023·浙江·九年级专题练习）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
(1)在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式
(2)请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
(3)此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（m）与时间（s）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？
题型六：喷水问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江杭州·九年级期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
2．（2023秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
3．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
4．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）根据以下素材，探索完成任务．
5．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
6．（2023·浙江·九年级专题练习）某公园有一喷水装置，从点向前上方喷水，喷出的水柱为抛物线，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点落在轴上，轴上的点处竖立着立柱，，水柱经上升后下降恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．
(1)求喷水装置的长和立柱离喷水装置的水平距离的长；
(2)当减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了多少米？
7．（2023·浙江台州·统考一模）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
材料
甲
乙
价格（元/）
60
30
t（秒）
0
0.4
0.8
1
1.2
1.6
…
s（米）
0
0.016
0.064
0.1
0.144
0.256
…
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
价格（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
销售价格x（元/件）
80
90
100
110
日销售量y（件）
240
220
200
180
获利比较
最多投入资金
最少投入资金
方案①获利较多时
______元．
0元
方案②获利较多时
______元．
______元．
（元/件）
（件）
10000
9500
9000
第x天
1
2
3
4
5
6
7
…
销售量y（件）
220
240
260
280
300
320
340
…
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
水平距离（m）
0
2
6
10
14
18
铅垂高度（m）
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2
为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1
确定水柱的形状
在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2
确定喷灌器的位置
求出喷灌器与围墙的距．
任务3
拟定喷头升降方案
调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1
x（米）
0
2
3
4
y（米）
1
2
1.75
1
如图1，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线。记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：
素材2
公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1
确定喷泉形状
结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2
探究喷头升降方案
为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如素材一的图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2
若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1
确定喷灌器的位置
求出喷灌器与围墙的距离．
任务2
拟定喷头升降方案
调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
如何设计喷水装置的高度？
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2
如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：①水柱的最高点与点P的高度差为；
②不能碰到图2中的水柱；
③落水点G，M的间距满足：．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
探究落水点位置
在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3
拟定喷水装置的高度
求出喷水装置的高度．
重难点专项突破03实际问题与二次函数（6种题型）
【题型细目表】
题型一：图形问题
题型二：图形运动问题
题型三：拱桥问题
题型四：销售问题
题型五：投球问题
题型六：喷水问题
【考点剖析】
题型一：图形问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）果农小张准备投资观光采摘水果项目：在如图的正方形果园（阴影部分）中种植水果，在正方形果园四周建造宽2.5m的观光道路．建造道路的成本为80元/m2，第一季水果销售，预计平均每平方米获得毛利润20元．
(1)当果园边长为米时，设第一季水果销售的毛利润减去道路建造成本后的利润为元，求与之间的函数解析式．
(2)当为何值时，的值最小？
(3)要使得，求的最小值（精确到，）．
【答案】(1)
(2)当时，最小
(3)边长的最小值为43
【分析】（1）根据题意，数形结合即可得到与之间的函数解析式；
（2）将（1）中化为顶点式为，由二次函数图像与性质即可得到答案；
（3）由（1）可知，满足条件的值，先解出，再由二次函数图像与性质求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，，
与之间的函数解析式
；
（2）解：由（1）知
，
,抛物线开口向上，
当时，有最小值；
（3）解：由（1）知，当时，，解得，
，（负值，舍弃），
由二次函数图像与性质可知，要使得，的最小值约为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数解实际应用题、二次函数图像与性质、二次函数与方程及不等式的关系等知识，读懂题意，准确找到函数关系式是解决问题的关键．
2．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）如图1所示，装置是王老师设计的用来画二次函数图像的工具．直角三角板可以在直板L上滑动，其中，在边处，存在像拉链一样可以展开的细线，一端固定在定点A处．点P处为拉链展开处，且随着三角板的移动，开始时，点D，A，B在同一直线上，点P为中点．点P处的铅笔头可以画出点P移动的轨迹．在画轨迹时，需保持细线拉直，如图2．
(1)根据题意得，与的关系为：___________；
(2)若已知点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点；
①用x，y表示出和的长；
②若长，那么三角板向右滑动的最大距离是多少？
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】（1）根据题意可得点在的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得答案；
（2）①根据点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点，则可得点，，进而得出答案；
②根据，从而得出点的纵坐标最大为，根据题意得出抛物线解析式，进而得出点横坐标的最大距离．
【详解】（1）解：根据题意点在的垂直平分线上，
∴，
故答案为：；
（2）①∵点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点，
∴，，
∴，；
②由（1）得，即，
∴，
整理得，
∵，
∴得最大值为，
∴点的纵坐标最大为，
∴，
解得：，
∴此时点的横坐标为，
∴三角板向右滑动的最大距离为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，垂直平分线的性质，读懂题意，清楚理解题目中所给的信息是解本题的关键．
3．（2023·浙江·九年级专题练习）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；
（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）①；②饲养场的宽为11米；（2）饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
【分析】（1）①根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度．
②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可．
（2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值．
【详解】解：（1）①∵饲养场BDEF是一个“日”形，
∴四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形．
∴DE=BF，DB=GH=EF．
∵EF=x，
∴DB=GH=EF=x．
又∵AB=3，
∴．
∴．
∴．
故答案为：（）．
②∵要求所围成的饲养场的面积为66平方米，
∴．
∴．
解得，，
∵点在线段上，且BC=9，
∴，即．
解得．
∴x=11，即饲养场的宽为11米．
答：饲养场的宽为11米．
（2）设饲养场的面积为，的长为米．
①当点在线段上时，
根据（1）可得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，且当时，随的增大而减小．
∵当点在线段上时，需满足，
∴时，有最大值，最大值为（平方米）．
此时，满足点F在线段BC上．
②当点在线段的延长线上时，设DE为y米，
由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，，
∵BC=9，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴．
∴．
∵，
∴当时，有最大值，最大值为（平方米）．
此时，满足点F在线段BC的延长线上．
∵，
∴饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义．
4．（2023·浙江杭州·校考一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）．在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元．
(1)的长为______米（用含x的代数式表示）；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由．
【答案】(1)
(2)
(3)够用，理由见详解．
【分析】（1）通过线段的数量关系直接求解．
（2）根据数量关系直接列函数即可．
（3）先根据二次函数的图像与性质求出函数最小值，直接比大小即可．
【详解】（1），，四个阴影部分是四个全等的矩形，
，，
，
故答案为：；
（2）每个矩形阴影部分面积为，
中心区正方形的面积为，
，
由题可知，，解得，
；
（3）
，对称轴为，
中心区的边长不小于3，
，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，，
1万幅作品消耗的费用为690万；
，
当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用．
【点睛】此题考查实际问题和二次函数中的图形问题，用到了数形结合的思想，将图形的面积用二次函数表示出来，解题关键是在自变量的取值范围中取到二次函数的最大值，自变量的取值范围容易被忽略，是易错点．
6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，；当时， ；当时，；；（3）存在，； ；；．
【分析】（1）分别令代入解析式求出坐标即可；
（2）当为轴对称图形时时，要进行分论讨论所有存在的情况，求出点的坐标，根据两根式求出解析式；
（2）利用分论讨论思想和图形关于轴的对称性来求解．
【详解】解：（1）当时，，解得：；当时，；
，
（2）当时，有一种情况：
设，，由两点间距离公式得：
，
解得：（与重合，舍去）
、、
根据两根式，设抛物线的解析式为：，
将点代入上式，解得：，
当时，有一种情况：
同理：设，，由两点之间的距离公式得：
，
解得：，
、、
由两根式，设抛物线的方程为：，
将点代入上式，解得：，
当时，有两种情况：
同理：设，，由两点之间的距离公式得：
，解得：，分论如下：
、、
由两根式，抛物线的方程设为：，
将点代入上式，解得：，
、、
由两根式，抛物线的方程设为：，
将点代入上式，解得：
，
（3）由（2）知，抛物线解析式为
当为正方形一边时，设，
，
①当在x轴上方，且为正方形一边时，，根据对称性；
有；
②当在x轴下方，且为正方形一边时，，根据对称性：
有；
当为正方形对角线时时，设
，解得：，
③当在x轴上方，且为正方形对角线时，，
有；
④当在x轴下方，且为正方形对角线时，，
有．
【点睛】本题考查了求解函数与坐标轴的交点坐标，分类讨论求解二次函数的解析式，动点问题，是函数与几何问题的综合题型，题目较难，解题的关键是：利用数形结合的思想，进行分类讨论，逐一解决．
7．（2023秋·浙江宁波·九年级校考期末）已知抛物线．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3，B（0，3），C（﹣1，0）
(2)y＝﹣x+3，P的坐标为（1，2）
(3)D（，）或（，）．
【分析】（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m可求得m的值，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐标；然后根据抛物线的对称性求得对称轴，进而确定点C的坐标；
（2）先用待定系数法即可求得直线AB的解析式，把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；
（3）过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，表示出DE，然后根据三角形面积公式得到关于x的方程，解方程求得x的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）．
（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
∵把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）．
（3）解：∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB于E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴DE=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+2x
∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，
∴S△ABD＝S△ABC＝，
∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴DE·（3-x）+DE·x=（﹣x2+3x）×3＝，解得x＝，
∴y＝﹣x2+2x+3＝或
∵在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y）
∴D（，）或（，）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积等知识点，求出相关点的坐标是解题的关键．
题型二：图形运动问题
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）如图，正方形的边长为，点P，Q同时从点A出发，速度均为，若点P沿向点C运动，点Q沿向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：当Q、P两点分别在、上时，可得，；当Q、P两点分别在、上时，连接，可得，，根据的面积为正方形的面积减去面积、面积和面积，进而有，，综上可以求出S与t的关系式，即可求解．
【详解】解：当Q、P两点分别在、上时，，，
的面积为：，；
当Q、P两点分别在、上时，连接，如图所示：
根据题意有：，则，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
同理可得，
∵根据的面积为正方形的面积减去面积、面积和面积，
∴，
∴，
∴，，
则有，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的知识，掌握函数图象的性质以及分类讨论是解答本题的关键．
二、填空题
2．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，在中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为______．
【答案】1或
【分析】因为、运动到不同位置时，的面积不同，所以对的取值范围进行分类，，，，然后进行分别求解即可.
【详解】解：四边形是平行四边形，由图得：
∴，，
当时，，
，
是等边三角形，
，
，
解得，（舍去）；
当时，如图，
，，

，
，
解得：（舍去）；
当时，如图，
，，，
∴
，
，
解得：或（舍去）；
综上所述得：当时， 或．
【点睛】本题考查了动点在平行四边形中产生的面积问题，求二次函数解析式，掌握“化动为静”是解题的关键．
三、解答题
3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣2＋m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）．
(1)求点P的坐标，并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？
(2)若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围．
【答案】(1)点P坐标为（m，﹣2），点P的运动轨迹为直线y＝﹣2
(2)﹣2＜m＜或6﹣＜m＜8
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线顶点坐标可得抛物线平移规律，通过数形结合方法求解．
【详解】（1）解：∵y＝x2﹣2mx﹣2+m2＝（x﹣m）2﹣2，
∴点P坐标为（m，﹣2），点P的运动轨迹为直线y＝﹣2．
（2）解：∵点B坐标为（6，2），
∴点A坐标为（6，0），点C坐标为（0，2），
随着m增大，抛物线自左向右移动，
如图，当抛物线右侧经过点C时，将（0，2）代入y＝x2﹣2mx﹣2+m2可得2＝﹣2+m2，
解得m＝2（舍）或m＝﹣2，
m增大，图象右移过程中，当抛物线左侧经过原点时，0＝﹣2+m2，
解得m＝﹣（舍）或m＝，
∴﹣2＜m＜符合题意．
当抛物线右侧经过A（6，0）时，0＝36﹣12m﹣2+m2，
解得m＝6+（舍）或m＝6﹣，
当抛物线左侧经过B（6，2）时，2＝36﹣12m﹣2+m2，
解得m＝4（舍）或m＝8，
∴6﹣＜m＜8符合题意．
综上所述，﹣2＜m＜或6﹣＜m＜8．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，根据二次函数图象由参数变化而平移的规律，数形结合求解．
4．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表．
(1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式；
(2)经过多少秒时，路程为0.225米？
(3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度）
【答案】(1)二次函数，
(2)1.5秒
(3)7秒
【分析】（1）先根据一次函数和反比例函数的性质排除不是这两种函数，即符合二次函数关系，然后用待定系数法求解即可；
（2）把代入解析式求解即可；
（3）根据两球滚过的路程差为1.6米列方程求解即可．
【详解】（1）∵，
∴s与t不是一次函数关系．
∵，
∴s与t不是反比例函数关系，
∴s与t是二次函数关系，
设，
把代入得
，
解得，
∴；
（2）把代入，得
，
解得（负值舍去），
答∶经过1.5秒．
（3）由题意得∶
，
解得．
答：总时间为7秒．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的应用，求出二次函数解析式是解答本题的关键．
5．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；
（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）D（﹣2，3）;（3）B1的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．
【分析】当x＝0时，当y＝0时求出A，B点在代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c，即可求解.
取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，因为B、B′关于x轴对称，所以AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，设AB′：y＝kx﹣2，代入A点求出k值，则，再由直线BD和抛物线交于点D列方程组求出，再根据象限即可求解.
因为△BOC绕点M逆时针旋转90°，所以∥x轴，∥y轴，分类讨论当B1、O1在抛物线上时和当B1、C1在抛物线上时两种情况.
【详解】解：（1）y＝，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，
∵B、B′关于x轴对称，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，
设AB′：y＝kx﹣2，
代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣，
则BD：y＝﹣x+2，
解得，，
∴D（﹣2，3）．
（3）∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，
∴B1O1∥x轴，O1C1∥y轴，
当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，
∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，
解得x＝﹣，
则B1（﹣，）；
当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，
C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，
∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，
则B1（﹣3，2），
∴B1的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数综合题，灵活运用是关键.
6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求直线BD的解析式；
（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x﹣3；（2）当x＝时，四边形BOCP面积最大值为，此时点P（，）；（3）存在，点P的坐标为（，）或（，）或（0，3）．
【分析】（1）对于y＝−x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3，令y＝−x2＋2x＋3＝0，解得x＝−1或3，进而求解；
（2）由四边形BOCP面积＝S△OBC＋S△PHC＋S△PHB＝×OB•OC＋×PH×OB＝×3×3＋×3×（−x2＋2x＋3＋x−3）＝﹣x2+x+，即可求解；
（3）分∠PBD为直角、∠PDB为直角两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3， 故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
∵点D与点C关于x轴对称，故点D（0，﹣3），
设直线BD的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BD的表达式为y＝x﹣3；
（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则四边形BOCP面积＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝×OB•OC+×PH×OB＝×3×3+×3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x+，
∵﹣＜0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x＝时，四边形BOCP面积最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
①当∠PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为（0，3）；
②当∠PDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，
当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，
故设直线PD的表达式为y＝﹣x+t，
将点D的坐标代入上式得，﹣3＝0+t，解得t＝﹣3， 故直线PD的表达式为y＝﹣x﹣3 ②，
联立①②并解得：x＝，
故点P的坐标为（，）或（，），
综上，点P的坐标为（，）或（，）或（0，3）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
7．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．抛物线经过点与点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意可知点B、D的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；
（2）先分别表示出点P、Q的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知点B、D的坐标分别为（2，0），（0，2），
将（2，0），（0，2）代入，得
解得
∴二次函数的表达式为；
（2）∵正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，
∴点P的横坐标为-m，点Q的横坐标为2-m，
当x=-m时，，
当x=2-m时，
∵点纵坐标是点纵坐标的2倍，
∴
解得，（舍去）
∴m的值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，正方形的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．
8．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点M抛物线的顶点．
（1）连接，求与对称轴的交点D坐标．
（2）点是对称轴上的一个动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出点B、C的坐标和对称轴，从而可得点D的横坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，然后将点D的横坐标代入直线BC的函数解析式即可得其纵坐标；
（2）先根据二次函数的对称性可得点C关于对称轴的对称点的坐标，然后根据两点之间线段最短、两点之间的距离公式求解即可得．
【详解】（1）对于二次函数，
当时，，解得或，
则，
当时，，则，
二次函数化成顶点式为，
则二次函数的对称轴为，
点D为BC与二次函数的对称轴的交点，
点D的横坐标为1，
设直线BC的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线BC的函数解析式为，
将代入得：，
即点D的坐标为；
（2）如图，作点C关于对称轴MN的对称点，连接，
由二次函数的对称性得：点一定在此二次函数的图象上，其纵坐标与点C的纵坐标相同，且，
则，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
设点的坐标为，
二次函数的对称轴为，点C的坐标为，
，
解得，即，
则最小值，
故的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的对称性找出最小值是解题关键．
9．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为C，点B为抛物线对称轴上一动点．
（1）抛物线的函数表达式为________，抛物线的对称轴为________．
（2）线段绕点B顺时针旋转得到，当点P落在抛物线上时，求出点B坐标．
（3）当点B在x轴上时，M，N是抛物线上的两个动点，M在N的右侧，若以B，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M的横坐标．
【答案】（1），直线；（2）；（3）M的横坐标为或
【分析】（1）把代入函数解析式，求出a的值即可得函数关系式，再进行配方可得函数的对称轴；
（2）设，过B作轴垂足为E，过点P作垂足为F，证明得，可得，代入抛物线解析式得方程，求解即可；
（3）分两种情况，根据平行四边形的判定与性质求解即可．
【详解】解：（1）把代入得，
解得，a=-0.25
∴抛物线的函数表达式为，
由
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：，直线；
（2）∵点B为抛物线对称轴上一动点
∴设
过B作轴垂足为E，过点P作垂足为F
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，∵点P落在抛物线上，
∴把代入，整理得

得
所以
（3）①如图，当为边时，∵四边形是平行四边形，
∴
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点C
∴设点，则N坐标为
∵点N在抛物线上，
∴把代入得，
解得
②如图，当为对角线时，
∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∴设点，则N坐标为
∵点N在抛物线上，
∴把代入得，
解得
所以点M的横坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，用S表示的面积，t表示移动的时间．
(1)求秒时，的面积；
(2)求S关于t的函数关系式，并求面积的最大值；
(3)当t为何值时，PQ的距离最短，并求这个最短距离．
【答案】(1)5cm2
(2)，最大值 cm2
(3)当时，PQ的最小值为cm
【分析】（1）根据三角形面积公式代入数据即可得出结论；
（2）根据三角形面积公式代入数据，再利用二次函数的性质即可得出结论；
（3）根据勾股定理及二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
，
．
（2）解：，
，
最大值．
（3）解：，
当时，PQ的最小值为cm．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，根据已知求出，是解题的关键．
11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），直角三角形；（2）；（3）M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．
【详解】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理证出AC2+BC2=AB2，则△ABC是直角三角形；
（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10﹣t，由已知条件证明Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
（3）分当BM=BA，AM=AB，MA=MB三种情况分类讨论，由两点间的距离公式计算即可，
解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
∴A（5，0），B（0，10），
∵抛物线过原点，
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，
∵抛物线过点A（5，0），C（8，4），
∴，∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如图1，
当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，
由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
AC=OA，PA=QA，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP=CQ，
∴2t=10﹣t，
∴t=，
∴当运动时间为时，PA=QA；
（3）存在，
∵y=x2﹣x，
∴抛物线的对称轴为x=，
∵A（5，0），B（0，10），
∴AB=5
设点M（，m），
①若BM=BA时，
∴（）2+（m﹣10）2=125，
∴m1=，m2=，
∴M1（，），M2（，），
②若AM=AB时，
∴（）2+m2=125，
∴m3=，m4=﹣，
∴M3（，），M4（，﹣），
③若MA=MB时，
∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，
∴m=5，
∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
∴点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣），
“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点．
12．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．
（1）当m＝0时
①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为 ；
②点（，﹣）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝ ；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为6，求m的值．
【答案】（1）①y＝x+1；②a＝；（2）-1；（3）m的值为或．
【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝x﹣1旋转变换可得相关函数为y＝x+1；
②将（，﹣）代入可得a的值，
（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
（3）在相关函数中，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
【详解】解：（1）①∵一次函数y＝x﹣1，k=1,过（0，-1）
∴绕点P（0，0）旋转180°后k不变，过（0，1）
∴关于点P的相关函数为y＝x+1，
故答案为：y＝x+1；
②∵，
∴y＝﹣ax2﹣ax+1关于点P（0，0）的相关函数为，
∵点A（，﹣）在函数的图象上，
∴，
解得a＝，
（2）∵函数y＝（x﹣1）2+2的顶点为（1，2），函数y＝﹣（x+3）2﹣2的顶点为（﹣3，﹣2），
这两点关于中心对称，
∴，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（3）∵，
∴关于点P（m，0）的相关函数为，
①当，即m≤﹣2时，y有最大值是6，
∴，
∴，（不符合题意，舍去），
②当时，即﹣2＜m≤4时，当时，y有最大值是6，
∴
∴，（不符合题意，舍去），
③当，即m＞4时，当x＝m+2时，y有最大值是6，
∴，
∴（不符合题意，舍去），
综上，m的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质问题以及中心对称，（3）是本题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题．
13．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点E的坐标为（，），S△ABF＝；（3）存在，P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，．．．8分
∴当t＝时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，），
∴S△ABF＝＝＝；
（3）存在，
∵y＝x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x=1，
设P（1，m），分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，
解得：m=8，
∴P（1，8）；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4﹣1）2+（m﹣52，
解得：m=﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（1+1）2+m2=（4+1）2+52，
解得：m=6或m=﹣1，
∴P（1，6）或P（1，﹣1）
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
题型三：拱桥问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为10m，一身高为1.8m的同学站在门内，在离门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高h．
【答案】5m
【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经过原点等等．
【详解】解：如图建立平面直角坐标系
设抛物线解析式为.
由题意知B、C两点坐标分别为，
把B、C两点坐标代入抛物线解析式得
，
解得．
∴抛物线的解析式为．
∴该大门的高h为5m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，建立适当的直角坐标系，根据题目所给数据求点的坐标，再求抛物线解析式，从而解答题目的问题．
2．（2023春·浙江衢州·九年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校联考阶段练习）横跨“信安湖”上的衢江大桥主桥采用V型腿钢构加拱桥组合结构形式，其中主拱线形呈抛物线状．图2是图1的示意图．已知拱线与桥面的两交点A，B之间的距离为，拱线的最高点距桥面，为两桥墩，与之间的距离为．
(1)建立适当的平面直角坐标系，并求出拱线所在抛物线的解析式．
(2)当桥墩露出水面部分高，此时水面与桥面的距离为多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系，得出，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出点C的横坐标为，代入（1）中解析式求解，然后结合题意即可得出结果．
【详解】（1）解：如图所示，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
∵交点A，B之间的距离为，拱线的最高点距桥面，
∴，
设抛物线的解析式为，将点代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵与之间的距离为．
∴点C的横坐标为，
当时，
∵桥墩露出水面部分高，
∴，
∴水面与桥面的距离为．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，建立适当的直角坐标系确定解析式是解题关键．
3．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)求支柱的长度．
(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
【答案】(1)
(2)5.5米
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入求得a的值，即可得出函数关系式；
（2）将代入函数关系式求得y的值，可求出支柱的长度；
（3）将代入函数关系式求得y的值，再与进行比较即可．
【详解】（1）设抛物线的函数表达式为．
把代入得：，
解得．
抛物线的函数表达式为．·
（2）当x=5时，．，
∴（米）．
（3）不能，理由如下：
当时，．
∴这艘货船不能顺利通过拱桥．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
4．（2023·浙江温州·统考模拟预测）如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）
（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？
【答案】（1）；（2）不能并列通过两艘游轮；（3）12
【详解】（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则A、B、F的坐标分别为（-50，0），（50，0），（0，20），设抛物线的解析式为y=ax2+20，将B的坐标代入求出a即可.
（2）求出x=30时的函数值，即可判断函数值大于等于16可以通过，小于16不能通过.
（3）求出x=±30、±20、±40的函数值，即可判断.
解：（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
则A、B、F的坐标分别是（-50， 0），（50， 0），（0，20）．
设抛物线的解析式为y=ax2+20，
将B的坐标代入得 ：.
∴ 抛物线的表达式是y=+20．
（2）把x=28+2=30代入解析式，，
∵12.8＜16 ∴ 不能并列通过两艘游轮.
（3）由（2）得，当x=±30时，y=12.8，
又∵当x=±20时，＞13，
∴水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱.
∵当x=±40时，，
∴没在水面下的立柱总长为2×[(13-7.2)+(13-12.8)]=12 米.
“点睛”本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
5．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到的最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)①水柱达到的最大高度8米；②
【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解；
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．．
【详解】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为．
当时，把代入函数表达式，得．
第一象限内水柱的函数表达式为．
②把代入，得得
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为．
．
把代入，得，
．
水柱达到的最大高度8米．
②把代入，得．
要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为．
，
，解得．
．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
题型四：销售问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）某超市以20元/千克的价格购进一批绿色食品，在整个销售旺季的40天里，设第天的销售单价为元/千克，与满足如下关系：，
(1)第几天时销售单价为24元/千克？
(2)如图，设第天的销售量为千克，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若超市第天销售该绿色食品获得的利润为元，求关于的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)第35天销售单价为24元/千克；
(2)，第20天的利润最大，最大利润是1250元
【分析】（1）把代入，解方程即可求得；
（2）根据图象求得与之间的关系，然后根据利润等于售价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答即可求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意知，
解得：，
第35天销售单价为24元/千克；
（2）当时，设，
把点代入得，
解得
，
由题意可知：当时，
，
当时，，w取得最大值1000元；
当时，
，
当时，，w取得最大值1250元；
综上可得：，
第20天的利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
2．（2023·浙江·九年级专题练习）某创意公司开发了一种成本为20元/个的新型智力开发玩具，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
(2)在“六一节”来临之际，为使利润最大，该公司应将销售价格定为多少元？
【答案】(1)y与x的解析式为
(2)为使利润最大，该公司应将销售价格定为50元/个
【分析】（1）根据表格中数据可判断是一次函数，利用待定系数法即可解决问题．
（2）设公司获得利润为w元，根据每个玩具的利润×销售量=总利润列出函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）根据表格中数据可知，y与x是一次函数关系，
设y与x的解析式为，
则，解得，
∴y与x的解析式为；
（2）设公司获得利润为w元，
则，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为90万元，
答：为使利润最大，该公司应将销售价格定为50元/个．
【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质，解决实际问题中的最值问题．
3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．当每件涨价元，所得利润．
(1)当每件降价元，试求所得利润关于的函数关系式．
(2)是否存在值，使？若存在，求出的值，否则说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在．理由见解析
【分析】（1）根据“每件商品的利润×数量=总利润”列出函数关系式；
（2）根据一元二次方程根的判别式或结合二次函数的最值进行分析说理．
【详解】（1）；
（2）方法1：不存在．
理由：令，
∴，即，
∵，
∴原方程无实数根，即不存在
方法2：不存在．
理由：令，
∴，即
∵方程无实数根
∴即不存在．
方法3：不存在．
理由：∵的最大值为6125元，
∴不存在．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
4．（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）某超市销售某种儿童玩具，每件进价为50元．根据市场调查发现：该玩具销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件．要求销售单价不得低于成本，且不高于110元．
(1)求该儿童玩具每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
(2)设超市每月销售这种玩具可获利W（元），当销售单价x为多少时W最大？W最大值是多少？
【答案】(1)
(2)销售单价定为80元时，每月有最大利润4500元
【分析】（1）利用该商品每月的销售量降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；；
（2）设每月所获利润为W，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】（1），
，
（2），

，
，此图象开口向下，
当时，有最大值为4500，
答：销售单价定为80元时，每月有最大利润4500元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
5．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）“味香园”葡萄基地是宁波市最大的葡萄生产基地，“味香园”葡萄以品种多，质量好而声名远播．某“味香园”农户准备将“巨峰”和“美人指”两种葡萄装箱销售，推出了两种方案：2千克“巨峰”和3千克“美人指”装一箱按批发价每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”装一箱按批发价每箱92元．
(1)求“巨峰”和“美人指”两种葡萄批发价每千克分别是多少元？
(2)某经销商在“味香园”按批发价购入一批“巨峰”葡萄进行销售，经调查发现：当销售价为每千克24元进行销售时，每天能卖出80千克；销售单价每降价0.2元，每天能多卖出4千克．求销售价定为每千克多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)“巨峰”批发价每千克16元，“美人指”批发价每千克22元
(2)销售价为每千克22元时，最大，且为720元
【分析】（1）设“巨峰”批发价每千克x元，“美人指”批发价每千克y元，根据“2千克“巨峰”和3千克“美人指”装一箱按批发价每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”装一箱按批发价每箱92元”列出方程组，解之即可；
（2）设销售价定为每千克a元，每天的利润为w元，列出函数表达式，根据二次函数的性质可得结果．
【详解】（1）解：设“巨峰”批发价每千克x元，“美人指”批发价每千克y元，
由题意可得：，
解得：，
∴“巨峰”批发价每千克16元，“美人指”批发价每千克22元；
（2）设销售价定为每千克a元，每天的利润为w元，
由题意可得：，
∵，
∴开口向上，
∴当时，即销售价为每千克22元时，最大，且为720元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数表达式．
6．（2023秋·浙江温州·九年级期末）红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①填空：与之间的函数关系式是___________；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
(2)①；②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【详解】（1）解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
（2）解：①，
答：y与x之间的函数解析式为：；
②∵，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴，
∴，
∵时，y随x的增大而增大，
∴当时，．
．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．（2023·浙江·九年级专题练习）某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）．在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：
(1)若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______（不用写自变量x的取值范围）；
(2)若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
(3)为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）
【答案】(1)
(2)应定价100元
(3)135元
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出方程进行求解即可；
（3）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，确定二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，
由图表可知：在一次函数的图象上，
则：，解得：，
∴；
（2）解：由题意，得：，
解得，，
∵公司尽可能多让利给顾客，
∴应定价100元；
（3）解：由题意，得
，
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为8450．
答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，正确的列出一次函数解析式，一元二次方程，二次函数的解析式，是解题的关键．
8．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为元，请用含的代数式表示该玩具的销售量______．
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．
(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：
方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；
方案②：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．
【答案】(1)
(2)元
(3)见解析
【分析】（1）根据销售量由原销量－因价格上涨而减少的销量可得；
（2）根据利润=销售量×每件的利润，即可解决问题，根据题意确定自变的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题；
（3）设投入资金为元，先表示出两种方案的获取利润表达式，再分类讨论可得．
【详解】（1）根据题意，得：销售单价为元时，销售量为；
故答案为：；
（2）设商场获得的利润为
根据题意解得，时，元
（3）设投入资金为元，则：
；
；
当时，即，解得，此时获利相同；
当时，即，解得，此时①获利多；
当时，即，解得，此时②获利多．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，搞清楚销售量与售价之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，注意自变量的取值范围．
9．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)设每千克涨价为x元，每天的总盈利为y元．若涨价x为整数，则总盈利y最大值为多少？
(2)若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价多少元？
【答案】(1)6120
(2)每千克应涨价10元或5元
【分析】（1）根据等量关系“总利润=每千克利润×数量”，列出y与x之间的函数关系，然后再利用二次函数的性质解答即可；
（2）把代入（1）的解析式，根据题意即可解答．
【详解】（1）解：设每千克涨价x元，获利y元 则

∵
∴抛物线开口向下，x为整数，
∴当或8时，y最大值为．
（2）解： 当时，
解得：．
所以每千克应涨价10元或5元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解答本题的关键．
10．（2023·浙江·九年级专题练习）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
(3)该店主从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，同时最大限度的让利于顾客，求销售单价x应定为多少？
【答案】(1)
(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元
(3)捐款后每天剩余利润不低于元，为最大让利，销售单价为50元
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：
，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；
（3）依题意剩余利润为元，
∵捐款后每天剩余利润不低于元，
∵，随x增大而增大，
由得或，
∴捐款后每天剩余利润不低于元，，销售价最少50元．
答：捐款后每天剩余利润不低于元，为最大让利，销售单价为50元．
【点睛】本题考查列一次函数关系式，二次函数应用，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
11．（2023·浙江宁波·模拟预测）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值．
【答案】(1)
(2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元
(3)3，4，5，6
【分析】（1）用待定系数法即可求解即可；
（2）由，根据函数的性质即可求解；
（3）根据题意得，，则对称轴为直线，进而求解．
【详解】（1）解：设和的函数表达式为，
则，
解得，
故和的函数表达式为；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
由题意得 ，
解得，
则，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，x为正整数，
∴当时，有最大值，
最大值为，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元；
（3）根据题意得，，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
对称轴，大于等于，则对称轴大于等于，由于取整数，
实际上是二次函数的离散整数点，取，，时利润一直增大，
只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于就可以了，
故，
解得，
∵，
∴，
整数的值为3，4，5，6．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式等知识，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
12．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：
为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，．已知该纪念品成本价为20元/件．
(1)求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；
(2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第10天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
【答案】(1)，；
(2)这28天中第15天销售利润最大，最大利润为元；
(3)第20天时，利润最大值为元时，．
【分析】（1）由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，而销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由总利润等于销售量乘以每件产品的利润建立二次函数的关系式，再利用二次函数的性质解得即可；
（3）由题意可得：第10天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，设此时利润为：元，再建立二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案，当最大值为时，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，
设，把，，，代入可得：
，解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴z与x之间的函数关系式为：，
（2）设总利润为元，则


；
当时，取得最大值，
所以，第15天利润最大，最大值为：（元）．
（3）由题意可得：第10天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，
设此时利润为：元，则


当
又∵且，
∴随x的增大而减小，
当时，当最大值为时，
∴，
解得：，
综上：第20天时，利润最大值为元时，．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，理解题意，建立函数关系式是解本题的关键．
题型五：投球问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．
在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
【答案】（1）能射中球门；（2）他至少后退，才能阻止球员甲的射门．
【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．
【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4，3）， 设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-， 则抛物线是y=-（x-4）2+3，
当x=0时，y=-×16+3=3-=＜2.44米， 故能射中球门；
（2）当x=2时，y=-（2-4）2+3=＞2.52， ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y=2.52时，y=-（x-4）2+3=2.52， 解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去）， ∴2-1.6=0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键．
2．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，足球运动员在点处将球射向球门，球射门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．
(1)求球运动路线的函数表达式．
(2)若球门在点正前方10米，球门高度是2.44米，问该球能否射入球门？
【答案】(1)球运动路线的函数表达式为
(2)该球能射入球门
【分析】（1）根据题意设所求函数表达式为，再代入，求出的值即可得到答案；
（2）当时，求出的值，与2.44米比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为且经过原点，
可设所求函数表达式为，
把代入上式，得，
解得，
球运动路线的函数表达式为；
（2）解：当时，，
，
该球能射入球门．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
3．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网．小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点与障碍平台之间的距离为，障碍平台高为，若小冲此次训练时足球正好在前方的点处达到最高点，离地面最高距离为，以地面所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求过O，C，B三点的抛物线表达式；
(2)此时障碍平台与球门之间的距离为，已知球门高为，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门．
【答案】(1)抛物线表达式为；
(2)不能顺利射入球门．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，据此求解即可．
【详解】（1）解：依题意得，，，
设抛物线表达式为，
∴，解得，
∴抛物线表达式为；
（2）解：抛物线的对称轴为，
点B到对称轴的距离为，
∴第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，
∴第二段抛物线的表达式为，
当时，，
因此，不能顺利射入球门．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，图象的平移，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．
4．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度．
(1)求出该抛物线的解析式和自变量的取值范围；
(2)当球离抛出地的水平距离为时，球的高度是多少？
(3)当球的高度为时，球离抛出地的水平距离是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)当球的高度为时，球离抛出地的水平距离是或
【分析】（1）把抛物线设为顶点式，然后代入原点坐标求解即可；
（2）求出当时，的值即可得到答案；
（3）求出当时，的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：当时，，
∴当球离抛出地的水平距离为时，球的高度是；
（3）解：当时，
∴，
解得或，
∴当球的高度为时，球离抛出地的水平距离是或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．
(1)当时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求的取值范围．
【答案】(1)y与x的关系式为：
(2)当时，球能越过球网；当时，球不会出界，理由见解析
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：
【分析】（1）将点A的坐标和h的值代入二次函数解析式中即可解答；
（2）分别将x=9、x=18代入二次函数解析式中，求出y的值，然后比较大小即可得出结论；
（3）先将点A的坐标代入解析式中，用含h的式子表示出a，根据题意可知：当x=9时，y＞；当x=18时，y≤0，列出不等式组即可求出结论．
【详解】（1）解：由图象可知：点A的坐标为
将点和代入解析式中，得
,解得：
∴与的关系式为．
（2）解：球能越过球网，球不会出界，理由如下
将代入中，得
，
∴球能越过球网；
将代入中，得
，
∴该抛物线与x轴的右交点必在（18，0）的左侧，
∴球不会出界，
综上：球能越过球网，球不会出界．
（3）解：将点代入解析式中，得：
解得：
∴抛物线的解析式为
若球一定能越过球网，则当时， ；
∴，解得：
若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合，即当时，；
∴，解得
综上：若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键．
6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1，已知排球场的长度为，宽，位于球场中线处的球网的高度为．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，，球飞行到达最高点F处时，其高度为，F与C的水平之距为，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小忽略不计）．
(1)当他站在底线中点O处向正前方发球时，
①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）．
②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由．
(2)假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（，结果保留两位小数）
【答案】(1)①；②当时，，所以能过网；当时，，所以不出界
(2)
【分析】（1）①设抛物线解析式为：，直接利用待定系数法求解即可；
②根据题意得出，分别计算当时，当时的y值，进而与球网高度及0进行比较，即可求解；
（2）连接，先由勾股定理求出的长度，再分类讨论当球的落点在点M处时，设此时抛物线的解析式为，当球的落点在点N处时，设此时抛物线的解析式为，分别将M，N的坐标代入计算即可．
【详解】（1）①由题意得，
设抛物线解析式为：，
将代入得，
解得，
∴抛物线解析式为：；
②当时，，所以能过网；当时，，所以不出界；理由如下：
∵排球场的长度为，
∴，即点A的横坐标为9，
当时，，
所以能过网；
当时，，
所以不出界；
（2）如图，连接，
由题意得，，
∵，
∴，
当球的落点在点M处时，，
设此时抛物线的解析式为，
代入得，解得；
当球的落点在点N处时，，
设此时抛物线的解析式为，
代入得，解得;
综上，球员跳起的高度范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用—投球问题，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：
则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；
②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？
(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线中c的值不变，要提高成绩应使a，b的值做怎样的调整?
【答案】(1)①，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；②，本次训练的成绩为
(2)有提高，理由见解析
(3)a变大，b变大
【分析】（1）①根据表格数据和题意可解答；②利用待定系数法求解即可；
（2）求出第二次着陆的距离，与第一次比较即可得出结论；
（3）可根据抛物线的最大垂直高度、对称轴的位置和着陆距离，结合前两次的函数解析式和结论可作出结论．
【详解】（1）解：①根据表格数据，当和时，y值相等，则直线是对称轴，
∴顶点坐标为，
由于顶点是抛物线的最高点，故实际意义为实心球抛出后达到的最大垂直高度，
故答案为：，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；
②设y与x近似满足的函数关系式为，
将，代入，得，解得，
∴y与x近似满足的函数关系式为；
令，由得，（负值舍去），
∴本次训练的成绩为；
（2）解：有提高，理由为：
对于函数，抛物线的顶点坐标为
令，由得，（负值舍去），
∵，，
∴第二次抛出的最大垂直高度大于第一次，着陆更远，成绩更集中，
即第二次训练成绩与第一次相比有提高；
（3）解：对于函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
由题意，，，着陆距离为（负值舍去），最大垂直高度为，
要提高成绩，只需提高最大垂直高度，对称轴尽可能的远离抛出位置，着陆距离尽可能的远，
结合第一次和第二次的抛物线方程，可将a变大，b变大．
【点睛】本题是二次函数的综合应用题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题等知识，解答的关键是理解题意，熟练运用二次函数的图象与性质分析解答．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
(1)在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式
(2)请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
(3)此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（m）与时间（s）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？
【答案】(1)；
(2)不达标
(3)不能
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解；
（3）分别把和代入，求出t的值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
即，
即该运动员铅垂高度的最大值为；
把点代入得：
，解得：，
∴满足的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∴该运动员的成绩不达标；
（3）解：当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或，
∴该运动员从起跳到落地所用时间为，
∵运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，
∴该运动员从起跳到落地不能完成动作．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
题型六：喷水问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江杭州·九年级期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【答案】(1)喷出的水流最高处距离地面4米；
(2)喷出的水流不会落在池外．理由见解析
【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度；
（2）令，则可以求得最大水平距离．
【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，y最大，
最大值为，
∴喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）解：令，则，
整理得，即，
解得或（舍去），
∵，
∴喷出的水流不会落在池外．
【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点的实际意义是解题的关键．
2．（2023秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【分析】（1）建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（3）由题意可得：，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值．
【详解】解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）令，得，解得：，
∴，
∴，
喷灌器OA与围墙的距离为5m；
（3）如图所示：
，
∴，
设，把代入得，解得：，
∴，
当时，，
∴，
设，把代入得，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
，即喷水口距离地面高度的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
3．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】；喷头距离湖面高度的最小值为米
【分析】任务1：根据表格数据得到抛物线，再直接代值计算即可；
任务2：根据函数解析式求出自变量范围内的最小值判断即可．
【详解】任务1：分析表格数据，可得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，将点代入，得，则，
∴该抛物线的解析式为
任务2：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，
由题意，当时，，
∴，解得，
喷头至少向上调节米，
∴（米），
答：喷头距离湖面高度的最小值为米．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题关键是根据表格数据直接求出函数解析式，再通过函数的图像判断最小值，来解决实际问题．
4．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：
【分析】（1），先建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（2），由题意可得：，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值．
【详解】解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为.
令，得，解得：，
∴，
∴，
喷灌器OA与围墙的距离为5m；
（2）如图所示：
，
∴，
设，把代入得，解得：，
∴，
当时，，
∴，
设，把代入得，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
，即喷水口距离地面高度的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】【任务1】；【任务2】（－4.2，1.8）；【任务3】6米
【分析】任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
任务2：令上述抛物线，得，求出，再依据即可得出结论；
任务3：设，根据题意得从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把把代入即可得出结论．
【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴．
∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，
∴左侧抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
∴即．
任务2：令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G的坐标为．
任务3：
如图2．
设，从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，
又∵抛物线形状相同，
∴抛物线表达式为，
把代入得，
解得或1.2（舍去），
∴，
把代入得，
∴喷水装置OP的高度为6米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·浙江·九年级专题练习）某公园有一喷水装置，从点向前上方喷水，喷出的水柱为抛物线，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点落在轴上，轴上的点处竖立着立柱，，水柱经上升后下降恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．
(1)求喷水装置的长和立柱离喷水装置的水平距离的长；
(2)当减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了多少米？
【答案】(1)长2米，长米；
(2)米．
【分析】（1）根据函数图像与抛物线解析式即可得到的长；
（2）根据抛物线的对称性得到对称轴，进而得到水平距离比原来近了多少．
【详解】（1）解：∵水柱所在的抛物线的函数表达式为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：喷水装置的长2米，立柱离喷水装置的水平距离的长为米．
（2）解：∵减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点，，，
∴，
∴根据抛物线的对称性即可得到点关于对称轴对称，
∴，，
∴，
∴此时对称轴为，
∵水柱恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．
∴，
∴对称轴为：，
∴水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了：（米），
答：减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·浙江台州·统考一模）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
【答案】(1)①建立坐标系见见解析，；②
(2)
【分析】（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
②令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（2）由题意可得：，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值，即可求出h的取值范围．
【详解】（1）①解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
②令，得，解得：，
∴，
∴，
喷灌器底端O到点B的距离为；
（2）如图所示：
，
∴，
设，把代入得，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
设，把代入得，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴
使水柱落在花坛的上方边上，h的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
材料
甲
乙
价格（元/）
60
30
t（秒）
0
0.4
0.8
1
1.2
1.6
…
s（米）
0
0.016
0.064
0.1
0.144
0.256
…
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
价格（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
销售价格x（元/件）
80
90
100
110
日销售量y（件）
240
220
200
180
获利比较
最多投入资金
最少投入资金
方案①获利较多时
______元．
0元
方案②获利较多时
______元．
______元．
获利比较
最多投入资金
最少投入资金
方案①获利较多时
10000元．
/
方案②获利较多时
11250元．
10000元．
（元/件）
（件）
10000
9500
9000
第x天
1
2
3
4
5
6
7
…
销售量y（件）
220
240
260
280
300
320
340
…
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
水平距离（m）
0
2
6
10
14
18
铅垂高度（m）
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2
为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1
确定水柱的形状
在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2
确定喷灌器的位置
求出喷灌器与围墙的距．
任务3
拟定喷头升降方案
调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1
x（米）
0
2
3
4
y（米）
1
2
1.75
1
如图1，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线。记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：
素材2
公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1
确定喷泉形状
结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2
探究喷头升降方案
为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如素材一的图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2
若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1
确定喷灌器的位置
求出喷灌器与围墙的距离．
任务2
拟定喷头升降方案
调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
如何设计喷水装置的高度？
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2
如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：①水柱的最高点与点P的高度差为；
②不能碰到图2中的水柱；
③落水点G，M的间距满足：．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
探究落水点位置
在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3
拟定喷水装置的高度
求出喷水装置的高度．