高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系测试题，共52页。


知识点01 正交基底与单位正交基底
【即学即练1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=j+k,c=k+i，若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是（ ）
A．(10,12,14)B．(14,12,10)
C．(12,14,10)D．(4,3,2)
【答案】C
【分析】根据向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4得到p=12i+14j+10k，即可得到向量p在基底i,j,k下的坐标.
【详解】因为向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4，所以p=8a+6b+4c=8i+j+6j+k+4k+i=12i+14j+10k，所以向量p在基底i,j,k下的坐标为12,14,10.
故选：C.
【即学即练2】（20-21高二·江苏·课后作业）已知i,j,k为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：
(1)a=-2i+8j+3k；
(2)b=-5i+2k．
【答案】(1)-2,8,3
(2)-5,0,2
【分析】根据向量的坐标表示直接写出坐标.
【详解】（1）a=-2i+8j+3k=-2,8,3
（2）b=-5i+2k=-5,0,2
知识点02 空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xy平面、yz平面和xz平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【即学即练3】（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为3,4,2，则AC1的坐标为 ．
【答案】(-3,4,2)
【分析】根据已知先求B1坐标，再结合图形可得A,C1坐标，进而求得答案.
【详解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DB1=(3,4,2)，D为坐标原点，则B1(3,4,2)，
因此A(3,0,0),C1(0,4,2)，所以AC1=(-3,4,2).
故答案为：(-3,4,2)
【即学即练4】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz．求点E、F的坐标．

【答案】E1,0,2，F0,3,2
【分析】利用空间直角坐标系结合空间想象能力求解.
【详解】由题意，AD=AA1=2，AB=6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点，∴E1,0,2，F0,3,2．
知识点03 空间直角坐标系中的点坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。
【即学即练5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点B3,-1,0,AB=-2,-5,3，则点A坐标为（ ）
A．1,-6,3B．5,4,-3
C．-1,6,-3D．2,5,-3
【答案】B
【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解.
【详解】设Ax,y,z，
则AB=3-x,-1-y,-z=-2,-5,3，
所以3-x=-2-1-y=-5-z=3，解得x=5y=4z=-3，
所以点A坐标为5,4,-3.
故选：B.
【即学即练6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点A(1,-2,-3)关于x轴的对称点为（ ）
A．(-1,2,3)B．(1,2,-3)C．(1,2,3)D．(-1,-2,-3)
【答案】C
【分析】直接根据空间直角坐标系对称点的特征即可得对称点的坐标．
【详解】点A(1,-2,-3)关于x轴的对称点为(1,2,3)，
故选：C．
知识点04 空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))；
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦当a≠0且b≠0时，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=OB-OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//b⟺b=λa⟺x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝eq \r(x2＋y2＋z2)．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．
【即学即练7】（23-24高一下·天津·阶段练习）已知A2,-4,-1，B=-1,5,1，C3,-4,1，令a=CA，b=CB，则a+b对应的坐标为（ ）
A．5,-9,2B．-5,9,-2C．5,9,-2D．5,-9,-2
【答案】B
【分析】根据空间向量坐标运算公式计算即可.
【详解】因为A2,-4,-1，B=-1,5,1，C3,-4,1，
所以a=CA=-1,0,-2，b=CB=-4,9,0，
所以a+b=-5,9,-2.
故选：B
【即学即练8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）已知向量a=1,0,3,b=0,-1,2,c=3,1,0则a⋅b-c=（ ）
A．－3B．3C．9D．0
【答案】B
【分析】利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为b-c=-3,-2,2，所以a⋅b-c=1,0,3⋅-3,-2,2=-3+6=3.
故选：B.
难点：空间向量与动点问题
示例1：（多选）（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为B1C1边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）．
A．不存在点P，使得D1P⊥AD1
B．过三点A,M,D1的正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为98
C．若D1P⊥B1D,则P点在正方形ABCD内运动轨迹长为22
D．点N在棱BB1上，且B1N=4NB，若D1P⊥NP，则点P的轨迹是圆
【答案】AB
【分析】对于A，利用空间向量分析判断，对于B，取BB1中点Q，连接D1M,MQ,AQ，可得A、M、D1、Q四点共面，然后求出其面积判断，对于C，利用空间向量可得P点在正方形ABCD内运动轨迹为线段AC，对于D，利用空间向量得轨迹为圆：x-122+y-122=310被四边形ABCD截得的4段圆弧.
【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设Px,y,0,0≤x,y≤1，则D1(0,0,1),A(1,0,0),D1P=(x,y,-1),AD1=(-1,0,1)，
若D1P⊥AD1，则D1P⋅AD1=0，即x=-1，与题意矛盾，所以A正确；
对于B，取BB1中点Q，连接D1M,MQ,AQ，
因为D1A//MQ，所以可得A、M、D1、Q四点共面，
所以过三点A、M、D1的正方体ABCD-A1B1C1D1的截面为以MQ,AD1为底的等腰梯形，AD1=2,MQ=22,D1M=D1C12+C1M2=52,过点Q作QH⊥D1A，
所以AH=AD1-MQ2=24，所以梯形的高为QH=522-242=324，
所以S=12×22+2×324=98，所以B正确，
对于C，设Px,y,0，x≥0,y≥0，则D(0,0,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1)，
所以D1P=(x,y,-1),B1D=(-1,-1,-1)，
因为D1P⊥B1D,所以D1P⋅B1D=-x-y+1=0，即x+y-1=0(0≤x,y≤1)，
所以P点在正方形ABCD内运动轨迹为线段AC，其长为2，所以C错误，
对于D，N1,1,15,NP=x-1,y-1,-15,∵D1P⊥NP,∴D1P⋅NP=0，
即x(x-1)+y(y-1)+15=0，可得轨迹为圆：x-122+y-122=310，
所以圆心12,12,r=3010>12AB=12，
又x,y∈[0,1]，所以轨迹为圆：x-122+y-122=310被四边形ABCD截得的4段圆弧，所以D错误.
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用空间向量求出点的轨迹方程，由此即可顺利得解.
【题型1：空间向量的坐标表示】
例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知点A2,0,1,B0,2,0,C0,0,3,D1,1,0,E0,0,a，直线DE平行△ABC所在的平面，则a=（ ）
A．12B．32C．2D．52
【答案】D
【分析】由题意设DE=xAB+yAC，从而得到方程组，求出答案.
【详解】AB=-2,2,-1,AC=-2,0,2,DE=-1,-1,a，
由已知可得DE=xAB+yAC，所以-1,-1,a=-2x,2x,-x+-2y,0,2y，
所以-2x-2y=-12x=-1-x+2y=a，解得x=-12y=1a=52.
故选：D
变式1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,-4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC=（ ）
A．(-2,0,0)B．(-2,3,0)C．(-2,0,-4)D．(1,0,-4)
【答案】A
【分析】由对称性得出点C坐标，进而得出AC.
【详解】点A(1,3,-4)关于原点中心对称的点为B-1,-3,4，
则点B关于x轴对称的点为C-1,3,-4，AC= (-2,0,0).
故选：A
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）若M1,0,2，N2,m+1,3，P2,2,n+1三点共线，则m+n=（ ）
A．4B．-2C．1D．3
【答案】D
【分析】利用向量共线的坐标运算，求出m,n即可.
【详解】若M1,0,2，N2,m+1,3，P2,2,n+1三点共线，
由MN=1,m+1,1，MP=1,2,n-1，则有MP//MN，得11=m+12=1n-1，
解得m=1,n=2，所以m+n=3.
故选：D
变式3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3，以直线DA,DC,DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论中不正确的是（ ）
A．点A关于直线DD1对称的点为(-4,0,0)B．点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)
C．点B1的坐标为(3,5,4)D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
【答案】C
【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论.
【详解】由图可得A4,0,0，则点A关于直线DD1对称的点为(-4,0,0)，故A正确；
由于C10,5,3,B4,5,0，所以点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)，故B正确；
点B1的坐标为(4,5,3)，故C不正确；
由于点C0,5,0，则点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，故D正确.
故选：C.
变式4．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，以D为原点，DA,DC,DD'所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面A'BC'内的是（ ）
A．23,23,13B．34,34,12C．12,12,12D．-1,32,1
【答案】B
【分析】建立空间坐标系，标出点坐标，由共面向量定理得，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使BP=λBA'+μBC'，依次验证即可.
【详解】在正方体中，以D为原点DA,DC,DD'所在直线为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系；

则A'(1,0,1),B(1,1,0),C'(0,1,1)，则BA'=(0,-1,1),BC'=(-1,0,1)，
若点P(x,y,z)，在平面A'BC'中，则由共面向量定理得，
存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使BP=λBA'+μBC'，所以x-1=λ⋅0+μ⋅(-1)=-1μy-1=λ⋅(-1)+μ⋅0=-1λz=λ⋅1+μ⋅1=λ+μ，即x=1-μy=1-λz=λ+μ，
在A中，代入点坐标23,23,13，无解，故A错误；
在B中，代入点坐标34,34,12，可解出λ=14μ=14，故B正确；
在C中，代入点坐标12,12,12，无解，故C错误；
在D中，代入点坐标-1,32,1，无解，故D错误
故选：B
变式5．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设a1=2m-j+k，a2=m+3j-2k，a3=-2m+j-3k，a4=3m+2j+5k，其中m，j，k是两两垂直的单位向量，若a4=λa1+μa2+va3，则实数λ，μ，v的值分别是（ ）
A．1，-2，3B．-2，1，-3
C．-2，1，3D．-1，2，3
【答案】B
【分析】根据空间向量的坐标运算以及向量相等，即可求得答案.
【详解】由题意可分别以m，j，k为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则a1=(2,-1,1)，a2=(1,3,-2)，a3=(-2,1,-3)，a4=(3,2,5)，
则a4=λa1+μa2+va3可得(3,2,5)=λ(2,-1,1)+μ(1,3,-2)+v(-2,1,-3)，
即得3=2λ+μ-2ν2=-λ+3μ+ν5=λ-2μ-3ν，解得λ=-2μ=1ν=-3，
故选：B
变式6．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量a=-3,2,m,b=-1,-1,3,c=1,-4,n，若a,b,c共面，则m+n= ．
【答案】6
【分析】
根据向量共面列方程，化简求得m+n的值.
【详解】
若a,b,c共面，则存在实数x,y，使得c=xa+yb，
即1,-4,n=x-3,2,m+y-1,-1,3=-3x-y,2x-y,mx+3y．
所以-3x-y=12x-y=-4mx+3y=n，解得x=-1,y=2,-m+6=n．所以m+n=6．
故答案为：6
变式7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点A0,-2,1,B2,-3,0,C2,0,1，则顶点D的坐标为 ．
【答案】(0,1,2)
【分析】设D的坐标为(x,y,z)，根据AD=BC，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】设D的坐标为(x,y,z)，
平行四边形ABCD的顶点A0,-2,1,B2,-3,0,C2,0,1，
故AD=BC，即(x,y+2,z-1)=(0,3,1)，
则x=0y+2=3z-1=1,∴x=0y=1z=2，即D的坐标为(0,1,2)，
故答案为：(0,1,2)
变式8．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知直线l经过A-2,1,1，B1,0,-3两点，直线l上一点P，使得AP=-AB，则点P坐标 ．
【答案】-5,2,5
【分析】利用空间向量的坐标、向量的相等、向量的运算分析运算即可得解.
【详解】解：设Px,y,z，则AP=x+2,y-1,z-1，AB=3,-1,-4，
∴由AP=-AB得：x+2,y-1,z-1=-3,-1,-4=-3,1,4，
∴x+2=-3y-1=1z-1=4，解得：x=-5y=2z=5，
∴点P坐标为：-5,2,5.
故答案为：-5,2,5.
【题型2：空间向量的加减数乘与数量积】
例2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则MN⋅PC= .
【答案】-8
【分析】考虑到此题中条件适合建系，故通过建系后求出空间向量的坐标计算数量积即得.
【详解】
如图，由题意可以AB,AD,AP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,4),C(2,2,0),
因M为AB的中点，N为PD的中点，故M(1,0,0),N(0,1,2),于是MN=(-1,1,2),PC=(2,2,-4)，则MN⋅PC=-2+2-8=-8.
故答案为：-8.
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知O为原点，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，点Q在直线OP上运动，则QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．12,34,13B．12,23,13C．43,43,83D．43,43,73
【答案】C
【分析】利用向量OQ//OP表示出点Q坐标，再求出QA，QB的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】因点Q在直线OP上运动，则OQ//OP，设OQ=tOP=(t,t,2t)，于是有Q(t,t,2t)，
因为OA=(1,2,3)，OB=(2,1,2)，所以A1,2,3，B2,1,2，
因此QA=(1-t,2-t,3-2t)，QB=(2-t,1-t,2-2t)，
于是得QA⋅QB=(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t)
=6t2-16t+10=6t-432-23，
则当t=43时，QA⋅QBmin=-23，此时点Q43,43,83，
所以当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为43,43,83.
故选：C
变式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PC⊥平面ABCD，M在棱PC上，AD=2，则AM⋅BC=（ ）
A．-4B．4C．-32D．32
【答案】B
【分析】以C为原点，建立空间直角坐标系，设CD=a,CM=c，求得向量AM,BC，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】如图所示，以C为原点，CD,CB,CP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，由AD=2，设CD=a,CM=c，
可得C(0,0,0),B(0,2,0),A(a,2,0),M(0,0,c)，则AM=(-a,-2,c),BC=(0,-2,0)，
所以AM⋅BC=-2×-2=4．
故选：B．
变式3．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2,AC=AA1=3,BE=EA1,CF=2FA1，则AE⋅BF=（ ）
A．-1B．1C．-3D．12
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系后计算即可得.
【详解】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，∵AB=2,AC=AA1=3,BE=EA1,CF=2FA1，
∴A0,0,0,B2,0,0,C0,3,0,A10,0,3,E1,0,32,F0,1,2，
∴AE=1,0,32,BF=-2,1,2，∴AE⋅BF=1×-2+0×1+32×2=1.
故选：B．
变式4．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1=C1D1=2，C1B1=1，点P为线段B1C上一点，则C1P⋅D1P的值可以为（ ）
A．13B．45C．23D．2
【答案】BD
【分析】以点C1为坐标原点，分别以C1D1、C1B1、C1C所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设B1P=λB1C，其中0≤λ≤1，求出向量C1P的坐标，利用二次函数的基本性质可求出C1P⋅D1P的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】以点C1为坐标原点，分别以C1D1、C1B1、C1C所在直线为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则C10,0,0、D12,0,0、C0,0,2、B10,1,0，
设B1P=λB1C=λ0,-1,2=0,-λ,2λ，其中0≤λ≤1，
则C1P=C1B1+B1P=0,1,0+0,-λ,2λ=0,1-λ,2λ，
D1P=D1C1+C1P=-2,0,0+0,1-λ,2λ=-2,1-λ,2λ，
所以，C1P⋅D1P=1-λ2+4λ2=5λ2-2λ+1=5λ-152+45，
因为0≤λ≤1，则-15≤λ-15≤45，所以，0≤λ-152≤1625，
所以，C1P⋅D1P=5λ-152+45∈45,4，
故选：BD．
变式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B，则OA⋅OB= ．
【答案】12
【分析】根据题意，得到B(2,1,3)，求得OA=(2,-1,3),OB=(2,1,3)，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，可得点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B(2,1,3)，
则OA=(2,-1,3),OB=(2,1,3)，所以OA⋅OB=(2,-1,3)⋅(2,1,3)=12.
故答案为：12.
变式6．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知空间向量a=1,0,2,b=-2,1,3，则a-2b= .
【答案】5,-2,-4
【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示即可得解.
【详解】由a=1,0,2,b=-2,1,3，得a-2b=5,-2,-4.
故答案为：5,-2,-4
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知a=-1,2,0，b=2,0,1，则2a+3b⋅a-b= .
【答案】-7
【分析】首先求出2a+3b、a-b的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为a=-1,2,0，b=2,0,1，
所以2a+3b=2-1,2,0+32,0,1=4,4,3，
a-b=-1,2,0-2,0,1=-3,2,-1，
所以2a+3b⋅a-b=4×-3+4×2+3×-1=-7.
故答案为：-7
变式8．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知向量a=1,1,x，b=1,1,2，c=1,-1,1，若a+c⋅b=-1，则实数x= ．
【答案】-52
【分析】利用空间向量坐标运算以及数量积的坐标表示，可求出结果.
【详解】由a=1,1,x，c=1,-1,1可得a+c=2,0,x+1，
所以a+c⋅b=1×2+1×0+2x+1=-1，
解得x=-52.
故答案为：-52
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
【题型3：空间向量的模长】
例3．（23-24高二下·上海·期中）已知AB=0,1,2，则AB= .
【答案】5
【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案.
【详解】因为AB=0,1,2，所以AB=02+12+22=5，
故答案为：5.
变式1．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A1,0,2，B0,2,1，点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么CD的最小值是（ ）
A．55B．255C．22D．2
【答案】B
【分析】设Cx,0,0，D0,y,0，应用向量垂直的坐标表示可得x+2y=2，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求CD最小值.
【详解】设Cx,0,0，D0,y,0，且A1,0,2，B0,2,1，
∴AD=-1,y,-2，BC=x,-2,-1，又AD⊥BC，
∴AD⋅BC=-x-2y+2=0，即x+2y=2．
∵CD=-x,y,0，
∴CD=x2+y2=2-2y2+y2=5y2-8y+4=5y-452+45≥255，
当且仅当y=45时等号成立.
故选：B
变式2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，A(-1,2,0)，点B(-1,1,2)关于y轴的对称点为C，则|AC|=（ ）
A．5B．11C．3D．10
【答案】C
【分析】根据空间坐标系中的对称性求得点C的坐标，计算即得AC的坐标和模长.
【详解】因点B(-1,1,2)关于y轴的对称点为C(1,1,-2)，A(-1,2,0)，
则AC=(2,-1,-2)，故|AC|=22+(-1)2+(-2)2=3.
故选：C.
变式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=3EC，点P在底面正方形ABCD上移动（包含边界），且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）

A．319010B．22C．32D．1663
【答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可.
【详解】
依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则D10,0,3,E1,3,0,B13,3,3，
设Px,y,0x,y∈0,3，
所以B1P=x-3,y-3,-3,D1E=1,3,-3，
即B1P⋅D1E=x+3y-3=0⇒x=3-3y，所以0≤3-3y≤3⇒y∈0,1，
而B1P=x-32+y-32+9=10y2-6y+18，
由二次函数的单调性可知t=10y2-6y+18=10y-3102+18-910，
当y=1时，tmax=22，则B1Pmax=22.
故选：B
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为（ ）

A．24B．22C．104D．52
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立EF的函数关系求解即可.
【详解】三棱锥A-BCD中，过C作Cz⊥平面BCD，由∠BCD=π2，知BC⊥CD，
以C为原点，直线CD,CB,Cz分别为x,y,z建立空间直角坐标系，如图，

由AB⊥平面BCD，得AB//Cz，则C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),A(0,2,1),P(0,1,12)，
令DE=tDP=t(-1,1,12)=(-t,t,t2)，则E(1-t,t,t2)，设F(0,2,m)，
于是|EF|=(1-t)2+(2-t)2+(m-t2)2=2(t-32)2+12+(m-t2)2≥22，
当且仅当t=32,m=t2=34时取等号，所以线段EF的最小值为22.
故选：B
变式5．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知a=2,1,0，b=-1,0,1.则a+b= .
【答案】3
【分析】应用空间向量加法和模的坐标公式计算即可.
【详解】根据题意，a+b=1,1,1，
所以a+b=12+12+12=3.
故答案为：3
变式6．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，点P坐标可记为x,y,z：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为r,θ,z．如图所示，空间直角坐标x,y,z与柱面坐标r,θ,z之间的变换公式为：x=rcsθ,y=rsinθ,z=z．则在柱面坐标系中，点A1,π2,2与点B2,θ,-1两点距离的最小值为 .

【答案】10
【分析】先将两点的空间直角坐标求出来，结合向量的模、正弦函数的最值即可得解.
【详解】由题意点A1,π2,2与点B2,θ,-1的空间直角坐标分别为0,1,2,2csθ,2sinθ,-1，
所以AB=4cs2θ+2sinθ-12+9=14-4sinθ≥10，等号成立当且仅当sinθ=1.
故答案为：10.
变式7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0)，|λa+b|=29，则λ= .
【答案】3或-2
【分析】先求出λa+b，再求出λa+b，然后求出λ即可.
【详解】λa+b=0,-λ,λ+4,1,0=4,1-λ,λ，
所以λa+b=42+1-λ2+λ2=29，解得λ=3或者λ=-2，
故答案为：3或-2
变式8．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1．
(1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度；
(2)求线段AP长度的最小值．
【答案】(1)2
(2)62
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，再由向量模长的坐标公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由向量模长的坐标公式，代入计算，即可求解.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标
系，则A1,0,0，B1,1,0，D10,0,1．
设M0,1,m，Px,y,1，则AP=x-1,y,1，BD1=-1,-1,1，BM=-1,0,m．因为AP⊥平面MBD1，
所以AP⋅BM=0,AP⋅BD1=0,得1-x+m=0,2-x-y=0.
当点M与点C重合时，m=0，x=y=1，此时AP=0,1,1，
则AP的长度为12+12=2.
（2）AP=x-12+y2+1=2y2-2y+2=2y-122+32≥62，
即线段AP长度的最小值为62.
【题型4：空间向量的夹角】
例4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量a=1,2,2，b=-2,1,-1.
(1)求a⋅b；
(2)求2a-b；
(3)求csa,b.
【答案】(1)-2
(2)52
(3)-69
【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解.
【详解】（1）a⋅b=-2+2-2=-2;
（2）2a-b=2,4,4--2,1,-1=4,3,5,
则2a-b=16+9+25=52；
（3）a=1+4+4=3,b=4+1+1=6，则csa,b=a⋅bab=-23×6=-69
变式1．（23-24高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知{i→,j→,k→}是空间的一个单位正交基底，且AB→=-i→+j→-k→，CD→=2i→+j→+k→，则AB与CD夹角的余弦值为（ ）
A．12B．-13C．33D．-23
【答案】D
【分析】设AB→与CD→夹角为θ，利用空间向量数量积坐标表示从而求解.
【详解】由题意得i→,j→,k→是空间的一个单位正交基底，
所以AB→=-i→+j→-k→=-1,1,-1，CD→=2i→+j→+k→=2,1,1，
设AB→与CD→的夹角为θ，θ∈0,π，
所以csθ=AB→·CD→AB→CD→=-2+1-13×6=-23，故D项错误.
故选：D.
变式2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，在正方形中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且AE=BF，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．现将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF从AB滑动到CD的过程中，∠AGC的大小（ ）

A．先变小后变大B．先变大后变小C．不发生变化D．由小变大
【答案】C
【分析】以E为原点，EA，EF，ED所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE=a，利用空间向量的数量积可判断.
【详解】设正方形的边长为1，AE=a，
Aa,0,0，C0,1,1-a，G0,a,0，F0,1,0，Ba,1,0，
AG=-a,a,0，GC=0,a-1,a-1，
cs∠AGC=AG⋅GCAGGC=aa-12a⋅2a-1=12，
由面面垂直关系可知∠AGC=120°，即角度不会发生变化，所以C正确；
故选：C.

变式3．（多选）（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1,∠BCA=90∘，棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点，则（ ）

A．BN=3B．BA1⋅MC1=0C．VB-C1MN=32D．csBA1,CB1=3010
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量的坐标运算即可求解ABD，根据等体积法即可求解C.
【详解】以C为坐标原点，以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，

由题意得N(1,0,1),B(0,1,0)，∴|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3．A正确
A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2),M12,12,2．
∴ BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2)，MC1=12,12,0,
故BA1⋅MC1=12-12+0=0，B正确，
∴ BA1⋅CB1=3．|BA1|=6，|CB1|=5，所以csBA1,CB1=36⋅5=3010．D正确
VB-C1MN=VC1-BMN=13S△BMN⋅C1M=13S▱ABB1A1-S△NMA1-S△BB1M-S△ABN⋅C1M
=13×2×2-12×22×1-12×22×2-12×2×1×22=14,故C错误，
故选：ABD
变式4．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，O是菱形ABCD的中心，AB=2，∠ABC=2π3，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，以O为原点，OB，OC，OD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）

A．E0,-32,12B．F32,12,0
C．EF=12,3,-12D．cs∠EOF=-34
【答案】ACD
【分析】根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A、B、C，由空间向量的数量积公式求夹角可判定D .
【详解】由题意可知：AC=23,BD=2，
所以A0,-3,0,C0,3,0,B1,0,0,D0,0,1⇒E0,-32,12,F12,32,0，
则OE=0,-32,12，OF=12,32,0，EF=12,3,-12，
易知∠EOF为钝角，所以cs∠EOF=-csOE,OF=-OE⋅OFOEOF=-34.
综上A、C、D三项正确，B项错误.
故选：ACD
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）若a=-1,λ,-2，b=2,-2,-1，a与b的夹角为π3，则λ的值为 ．
【答案】-3357/-3735
【分析】根据空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】因为a=-1,λ,-2，b=2,-2,-1，a与b的夹角为π3，
所以csπ3=a⋅bab=-1×2-2λ+-2×-1-12+λ2+-22×22+-22+-12=-2λ35+λ2=12，
解得λ=-3357，
故答案为：-3357.
变式6．（2024高二上·全国·专题练习）已知向量a=3,0,1，b=k,2,0，若a与b夹角为π3，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示得到关于k的方程，解之即可得解.
【详解】因为a=3,0,1，b=k,2,0，且a与b夹角为π3，
则a=3+1=2，b=k2+4，a⋅b=3k，
所以csa,b=csπ3=a⋅bab=3k2k2+4=12，
由题可知k>0，解得k=2.
故答案为：2.
变式7．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知OA=1,0,0，OB=1,1,0, OC=1,1,1，点M在直线OC上运动，则csOA,MB的最大值为 .
【答案】22
【分析】设OM=tOC=t,t,t，根据夹角公式csOA,MB=OA⋅MBOAMB，代入坐标运算，求其最值即可.
【详解】设OM=tOC=t,t,t，
则MB=OB-OM=1-t,1-t,-t，
所以csOA,MB=OA⋅MBOAMB=1-t1-t2+1-t2+t2，
既然求最大值，必有1-t>0，令1-t=m,m>0，
则
=13-2m+1m2=11m-12+2≤12，
当m=1，即t=0时取等号，所以csOA,MB的最大值为22.
故答案为：22.
【题型5：空间向量的投影】
例5．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，则向量a在向量b上的投影向量c=（ ）
A．313,-316,-316B．-313,316,316
C．313,316,316D．-313,-316,-316
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】由向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，得a⋅b=9×2+8×1+5×1=31，而b⃗2=6，
向量a在向量b上的投影向量c=a⋅b|b|2b=316(2,1,1)=(313,316,316).
故选：C
变式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量a=(2,1,-3)，则向量a在坐标平面xOz上的投影向量是（ ）
A．(0,2,1)B．(2,1,0)
C．(0,1,-3)D．(2,0,-3)
【答案】D
【分析】由空间点在坐标平面上投影的性质确定向量a在平面xOz上的投影向量.
【详解】若a=(2,1,-3)起点为原点，则终点为(2,1,-3)，该点在平面xOz上投影坐标为(2,0,-3)，
所以向量a在平面xOz上的投影向量是(2,0,-3).
故选：D
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量a=1,1,2,b=-3,2,0，则a+b在a上的投影向量为（ ）
A．32,32,322B．1510,1510,3010
C．34,34,324D．-25,35,25
【答案】C
【分析】由投影向量的概念求解即可.
【详解】∵a=1,1,2,b=-3,2,0,a+b=(-2,3,2)，
∴a+b⋅a=-2×1+3×1+2×2=3，a=12+12+22=2，
∴a+b在a上的投影向量为(a+b)⋅aaaa=341,1,2=34,34,324，
故选：C.
变式3．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆台OO1的轴截面为等腰梯形ABCD,AB=2CD,E在上底面的圆周上，且∠CO1E=45∘，则AE在AB上的投影向量为（ ）
A．3+28ABB．4+28AB
C．3+38ABD．4+38AB
【答案】B
【分析】连接OO1，以点O为原点建立空间直角坐标系，如图所示，根据空间向量数量积的坐标公式及投影向量的定义即可得解.
【详解】如图，连接OO1，则OO1⊥底面圆O，
以点O为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设圆台OO1的高为h，CD=4a，则AB=8a，
故A0,-4a,0,B0,4a,0,E-2a,2a,h，
则AB=0,8a,0,AE=-2a,4+2a,h，
所以AB⋅AE=84+2a2，
所以AE在AB上的投影向量为AB⋅AEAB⋅ABAB=84+2a264a2AB=4+28AB.
故选：B.
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A2,0,0,B1,1,-2,C2,3,1，则（ ）
A．AC=23
B．异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530
C．AB⋅BC=-5
D．OB在BC上的投影向量的模为31111
【答案】BC
【分析】根据向量的模、向量的夹角、向量的数量积及投影向量判断选项即可.
【详解】因为AC=2-22+3-02+1-02=10≠23，故A错误；
因为OB=1,1,-2,AC=0,3,1，所以csOB,AC=OB⋅ACOBAC=0+3-26⋅10=1530，
所以异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530，故B正确；
因为AB⋅BC=-1,1,-2⋅1,2,3=-1+2-6=-5，故C正确；
由投影向量的定义知，OB在BC上的投影向量的模为OB⋅BCBC=1,1,-2⋅1,2,314=31414，故D错误.
故选：BC
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量a=2,-3,0，b=0,3,4，则向量a在向量b方向上的投影向量为 ．
【答案】0,-2725,-3625
【分析】先求出向量a在b方向上的投影,再求出与b同向的单位向量，进而求出向量a在b方向上的投影向量.
【详解】由题意，向量a在b方向上的投影为：a⋅b|b|=-932+42=-95，|b|=5，
则与b同向的单位向量为0,35,45，
所以向量a在b方向上的投影向量为：-95×0,35,45=0,-2725,-3625.
故答案为：0,-2725,-3625
变式6．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量a在向量b上的投影向量是-32b，且b=1,1,-1，则a⋅b= .
【答案】-323/-332
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为b=1,1,-1，则b=3，且向量a在向量b上的投影向量为a⋅a⋅ba⋅b⋅bb=a⋅bb2⋅b=-32b，
即a⋅b3⋅b=-32b，
所以a⋅b=-323.
故答案为：-323
变式7.（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则AE在AC方向上的投影向量的模的取值范围为 ．

【答案】22,2
【分析】以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点Ea,1,1，其中0≤a≤1，利用空间向量数量积的坐标运算可求得AE在AC方向上的投影向量的模的取值范围.
【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A1,0,0、C0,1,0，设点Ea,1,1，其中0≤a≤1，
所以，AC=-1,1,0，AE=a-1,1,1，
所以，AE在AC方向上的投影向量的模为
AE⋅csAE,AC=AE⋅AE⋅ACAE⋅AC=AE⋅ACAC=2-a2=2-a2∈22,2.
故答案为：22,2.
【题型6：空间向量的平行、垂直与锐角、钝角问题】
例6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设x,y∈R，向量 a=x,1,1,b=1,-1,y,c=2,-2,2,且a⊥c,b//c，则x+y的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为a⊥c，
所以2x-2+2=0⇒x=0，
又b//c，
所以设b=λc，即1=2λ-1=-2λy=2λ⇒λ=12y=1，
所以x+y=1，
故选：B.
变式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量a=k,1,2，b=k,0,-2，则“k=2”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示结合充分、必要条件分析求解.
【详解】若a⊥b，则a⋅b=k2-4=0，解得k=±2，
显然“k=2”可以推出“k=±2”， “k=±2”不可以推出“k=2”，
所以“k=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.
故选：A.
变式2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知空间向量a=1,2,-2、b=3,λ,μ-1，若a//b，则λ+μ= ．
【答案】1
【分析】依题意可得b=ta，从而得到方程组，解得即可.
【详解】因为a=1,2,-2、b=3,λ,μ-1且a//b，
所以b=ta，则3,λ,μ-1=t1,2,-2，即3=tλ=2tμ-1=-2t，解得t=3λ=6μ=-5，
所以λ+μ=6+-5=1.
故答案为：1
变式3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知a=m+1,1,-1，b=1,n,3，其中m>0，n>0，若a⊥b，则1m+4n的最小值为 ．
【答案】92
【分析】
根据向量垂直的坐标形式可得m,n的等量关系，利用基本不等式可求1m+4n的最小值.
【详解】因为a⊥b，故m+1+n-3=0即m+n=2，
故1m+4n=121m+4nm+n=125+nm+4mn≥92，
当且仅当m=23,n=43时等号成立，故1m+4n的最小值为92，
故答案为：92.
变式4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）若空间向量a=1,1,x，b=2,x,4，向量a、b夹角为锐角，则x的取值范围是
【答案】-25,2∪2,+∞
【分析】依题意可得a⋅b>0且a与b不同向，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为向量a=1,1,x，b=2,x,4，且a、b夹角为锐角，
所以a⋅b>0且a与b不同向，
当a⋅b>0时，则1×2+x+4x>0，解得x>-25，
当a与b同向时，则a=tbt>0，即2t=1tx=14t=x，解得t=12x=2，
综上可得-252，即x的取值范围是-25,2∪2,+∞.
故答案为：-25,2∪2,+∞
变式5．（22-23高二下·江苏·课后作业）若a=2,-1,4，b=-1,t,-2，若a与b的夹角是钝角，则t的值的取值范围为 .
【答案】-10,12∪12,+∞
【分析】由a与b的夹角是钝角转化为a⋅b<0且a与b不反向.
【详解】已知a=2,-1,4，b=-1,t,-2，
因为a与b的夹角是钝角，所以csa,b<0，即a⋅b<0，
即a⋅b=2×-1-t+4×-2=-t-10<0，解得t>-10.
若a与b的夹角为180°，则存在λ，使a=λb，
所以2=-λ-1=λt4=-2λ，解得λ=-2，t=12.
所以t>-10，且t≠12.
故t的取值范围是-10,12∪12,+∞.
变式6．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点A2,0,-2，B1,-1,-2，C3,0,-4，设a=AB，b=AC.
(1)已知a+kb⊥b，求k的值；
(2)若c=6，且c∥BC，求c的坐标.
【答案】(1)15
(2)c=(4,2,-4)或(-4,-2,4)
【分析】（1）问题转化为a+kb⋅b=0，求k.
（2）根据向量的模的计算和向量共线，求c的坐标.
【详解】（1）由题知a=AB=-1,-1,0，b=AC=1,0,-2，
所以a+kb=k-1,-1,-2k，
因为a+kb⊥b，
所以a+kb⋅b=0 ⇒ k-1+4k=0 ⇒ k=15.
（2）因为c∥BC， BC=2,1,-2，
所以c=λBC=2λ,λ,-2λ，λ∈R，
因为c=6，所以2λ2+λ2+-2λ2=9λ2=36，解得λ=±2 ，
所以c=4,2,-4或-4,-2,4.
变式7．（22-23高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知a→=x,1,1,b→=1,y,1,c→=2,-4,2,x,y∈R，且a⊥b,b∥c.
(1)求a+b；
(2)求向量a+b与2a+b-c夹角的大小.
【答案】(1)3
(2)π2
【分析】（1）先根据a⊥b,b∥c求出a,b坐标，进而求出a+b的坐标，则模可求；
（2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角.
【详解】（1）∵b ∥ c,∴12=y-4,∴y=-2,∴b=1,-2,1，
∵a⊥b,∴a⋅b=x-2+1=0,∴x=1,∴a=1,1,1，
∴a+b=2,-1,2,∴a+b=4+1+4=3；
（2）由（1）可得2a+b-c=1,4,1，
∴a+b⋅2a+b-c=2×1+-1×4+2×1=0，
∴向量a+b与2a+b-c垂直，
即向量a+b与2a+b-c夹角的大小为π2.
变式8．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知a=x,1,0，b=-1,y,2，c=2,-2,1，b=5，a⊥c，
(1)若a+kb、2a+b共线，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
【答案】(1)k=12
(2)-1,12∪12,+∞
【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及a⋅c=0可求出x、y的值，可得出向量a、b的坐标，根据a+kb、2a+b共线，可得出关于实数k的不等式，解之即可；
（2）分析可知a+kb⋅2a+b>0以及a+kb、2a+b不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数k的取值范围.
【详解】（1）解：因为a=x,1,0，b=-1,y,2，c=2,-2,1，b=5，a⊥c，
则b=1+y2+4=5，可得y=0，a⋅c=2x-2=0，解得x=1，
所以a=1,1,0，b=-1,0,2，所以a+kb=1-k,1,2k，2a+b=1,2,2，
因为a+kb//2a+b，所以1-k1=12=2k2，解得k=12．
（2）解；由（1）知，a+kb=1-k,1,2k，2a+b=1,2,2，
因为向量a+kb与2a+b所成角为锐角，
所以a+kb⋅2a+b=1-k×1+1×2+2×2k=3k+3>0，解得k>-1，
又当k=12时，a+kb//2a+b，
所以实数k的范围为-1,12∪12,+∞．
【题型7：最值与取值范围问题】
例7．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线l和平面α，且l∥α，l的方向向量为l=2,m,1，平面α的一个法向量为n=-1,1,n，m>0,n>0，则1m+1n的最小值为（ ）
A．2B．4C．42D．22
【答案】A
【分析】利用空间向量法解决线面平行，得到m+n=2，再利用代换1法，来求最小值.
【详解】由l∥α得：l⋅n=0⇒2,m,1⋅-1,1,n=-2+m+n=0⇒m+n=2，
所以1m+1n=121m+1nm+n=122+nm+mn
因为m>0,n>0，所以nm+mn≥2nm⋅mn=2，
所以1m+1n≥122+2=2，当且仅当m=n=1等号成立，
故选：A.
变式1.（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥D1-ABCD中，D1D⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且D1D=DA=DC=3，E，F分别为D1B的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则PE+PF的最小值为（ ）
A．11B．522C．1+6D．33
【答案】A
【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出P点在BD上时，PE+PF取得最小值，作出点F2,2,1的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案.
【详解】因为D1D⊥平面ABCD，DA,DC⊂平面ABCD，
所以D1D⊥DA，D1D⊥DC，
又四边形ABCD是正方形，所以DA⊥DC，
以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则E1,1,2,F2,2,1，
过点E,F分别为EG⊥BD，FH⊥BD于点G,H，
则EG⊥平面ABCD，FH⊥平面ABCD，
过点P作PJ⊥DH于点J，连接PG,PH,JE,JF，
则PE=EG2+GJ2+PJ2，PF=FH2+HJ2+PJ2，
PE+PF=EG2+GJ2+PJ2+FH2+HJ2+PJ2，其中PJ≥0，
故PE+PF要想取得最小值，则PJ=0，即只需P点在BD上，
其中F2,2,1关于直线BD的对称点为Q2,2,-1，
连接EQ，此时PE+PF取得最小值，最小值为EQ，
其中EQ=2-12+2-12+-1-22=11.
故选：A
变式2．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量e1=t,2t,2,e2=2t-2,-t,-1，则下列结论正确的是（ ）
A．若e1⊥e2，则t=-1B．若e1 ∥ e2，则t=45
C．e1的最大值2D．e1的最小值2
【答案】AB
【分析】利用向量数量积运算的坐标表示，即可判断选项.
【详解】A.若e1⊥e2，则e1⋅e2=t2t-2-2t2-2=0，得t=-1，故A正确；
B.若e1 ∥ e2，则e1=λe2，即t,2t,2=λ2t-2,-t,-1，得
t=λ2t-22t=-λt2=-λ，解得：λ=-2,t=45，故B正确；
CD.e1=t2+4t2+4=5t2+4≥2，当t=0时，e1的最小值2，故CD错误；
故选：AB
变式3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点O0,0,0，A1,2,2，B2,1,1，P1,0,2，点Q在直线OP上运动，当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标是 ．
【答案】(910,0,95)/(0.9,0,1.8)
【分析】
令Q(x,y,z)，根据题设OQ=λOP=(λ,0,2λ)，λ∈R，进而有Q(λ,0,2λ)，利用数量积的坐标表示及二次函数性质求QA⋅QB取得最小值时对应参数值，即可得结果.
【详解】由题设，OP=(1,0,2)，则OQ=λOP=(λ,0,2λ)，λ∈R，
令Q(x,y,z)，则OQ=(x,y,z)，所以x=λ,y=0,z=2λ，则Q(λ,0,2λ)，
故QA=(1-λ,2,2-2λ),QB=(2-λ,1,1-2λ)，
所以QA⋅QB=(1-λ)(2-λ)+2+2(1-λ)(1-2λ) =λ2-3λ+2+2+2(2λ2-3λ+1)
=5λ2-9λ+6=5(λ-910)2+3920，
故当λ=910时，QA⋅QB取得最小值，此时Q坐标为(910,0,95).
故答案为：(910,0,95)
变式4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E满足A1E=2EB1，点F在平面BC1D内，则|A1F+|EF|的最小值为 .
【答案】6
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得A1C⊥平面BC1D，记A1C与平面BC1D交于点H，连接A1C1，C1O,，AC，得到A1H=2HC，结合点A13,0,3关于平面BC1D对称的点为G-1,4,-1，进而求得A1F+EF的最小值.
【详解】以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，
如图所示，则A13,0,3，E3,2,3，C0,3,0，
因为BD⊥AC，BD⊥A1A，且AC∩A1A=A，则BD⊥平面A1AC，
又因为A1C⊂平面A1AC，所以BD⊥A1C，
同理得BC1⊥平面A1B1C，因为A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，
因为BD∩BC1=B，且BD,BC1⊂平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D，
记A1C与平面BC1D交于点H，连接A1C1，C1O，AC，且AC∩BD=O，
则A1HHC=A1C1OC=21，可得A1H=2HC，
由得点A13,0,3关于平面BC1D对称的点为G-1,4,-1，
所以A1F+EF的最小值为EG=(3+1)2+(2-4)2+(3+1)2=6.
故答案为：6.
变式5．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2，SD⊥底面ABCD，点E、F分别为SC、AB的中点，若线段SD上存在点G，使得GE⊥GF，则线段SD的长度最小值为 .
【答案】4
【分析】建立空间直角坐标系，设SD=a且DG=λ，求得GE=0,1,a2-λ,GF=2,1,-λ，结合GE⋅GF=0，列出方程，利用基本不等式，即可求解.
【详解】以D为原点，以DA,DC,DS所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设SD=a,a>0，DG=λ,0<λ则S0,0,a,G0,0,λ,E0,1,a2,F2,1,0，
则GE=0,1,a2-λ,GF=2,1,-λ，
因为GE⊥GF，所以GE⋅GF=1-λa2-λ=0，
则a=2λ+1λ≥2×2λ⋅1λ=4，当且仅当λ=1λ时，即λ=1时，等号成立，
所以a≥4，即SD≥4，所以SD长度的最小值为4.
故答案为：4.
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系O-xyz中，有两点A(0,-2,4),B(2,1,5),P是xOy平面上任意一点，则AP+BP的最小值为 .
【答案】94
【分析】求出点B2,1,5关于平面xOy的对称点B1，再根据AP+BP=AP+B1P≥AB1即可得解.
【详解】如图，点B2,1,5关于平面xOy的对称点为B12,1,-5，
则AP+BP=AP+B1P≥AB1=4+9+81=94，
当且仅当A,P,B1三点共线时取等号，
所以AP+BP的最小值为94.
故答案为：94.
变式7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知A(1,-2,1)，向量a=(-3,4,12)，且满足AB=2a
(1)求点B的坐标；
(2)若点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，当MA⋅MB取最小值时，求点M的坐标．
【答案】(1)B-5,6,25
(2)M76,-73,76
【分析】（1）设Bx,y,z，由向量共线列方程组，解出即可；
（2）由向量的坐标运算分别求出MA,MB，再由坐标计算MA⋅MB结合二次函数求出最值即可；
【详解】（1）设Bx,y,z，则AB=x-1,y+2,z-1，
因为AB=2a．
所以x-1=-6y+2=8z-1=24，解得x=-5y=6z=25．
所以B-5,6,25；
（2）因为点M在直线OA(O为坐标原点）上运动，
所以OM=λOA=λ,-2λ,λ．
所以MA=OA-OM=1-λ,-2+2λ,1-λ，
MB=OB-OM=-5-λ,6+2λ,25-λ．
所以
MA⋅MB=(1-λ)(-5-λ)+(-2+2λ)(6+2λ)+(1-λ)(25-λ)
=6λ2-14λ+8=6(λ-76)2-16．
∴当λ=76时，MA⋅MB取得最小值．
∴M76,-73,76．
一、单选题
1．（河南省开封市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题）已知a=2,-1,3，b=4,2,x，且a⊥b，则x=（ ）
A．-6B．-2C．2D．6
【答案】B
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求x.
【详解】因为a=2,-1,3，b=4,2,x，a⊥b，
所以a⋅b=8-2+3x=0，所以x=-2.
故选：B.
2．（23-24高一下·湖南·期末）已知A-2,1,3,B1,-1,4，则AB=（ ）
A．3,0,1B．-1,-2,1C．-1,0,7D．3,-2,1
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算即可.
【详解】由题意可得AB=1,-1,4--2,1,3=3,-2,1.
故选：D.
3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面xOy的对称点是（ ）
A．-1,-2,3B．-1,2,3C．1,-2,3D．1,2,-3
【答案】D
【分析】根据点x,y,z关于平面xOy的对称点是x,y,-z分析求解.
【详解】由题意可知：点P1,2,3关于平面xOy的对称点是1,2,-3.
故选：D.
4．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：a=-3,2,5，b=1,5,-1，则a-2b=（ ）
A．-4,-3,4B．-5,-8,7
C．-5,-8,3D．-1,-3,6
【答案】B
【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可.
【详解】因为a=-3,2,5，b=1,5,-1，
所以a-2b=(-3,2,5)-2(1,5,-1)
=(-3,2,5)-(2,10,-2)
=(-5,-8,7)，
故选：B
5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量a=0,0,1，b=1,-1,1，向量a+b在向量a上的投影向量为（ ）．
A．0,0,2B．0,0,1
C．0,0,-1D．0,0,-2
【答案】A
【分析】根据投影向量的公式计算即可.
【详解】向量a+b在向量a上的投影向量为a+b⋅aa⋅aa=1,-1,2⋅0,0,11⋅0,0,11=0,0,2
故选：A
6．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点A1,1,1，B-1,0,4，C2,-2,3，则AB与CA的夹角为（ ）
A．π3B．π6C．2π3D．5π3
【答案】C
【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求AB与CA的夹角.
【详解】∵AB→=-2,-1,3，CA→=-1,3,-2
∴cs=AB→⋅CA→AB→⋅CA→=2-3-614=-12，
∴结合向量夹角范围易知：AB与CA的夹角为2π3．
故选：C
7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量AB=(1,m,-3)，AC=(-3,6,9)，若A，B，C三点共线，则m=（ ）
A．-3B．-2C．2D．3
【答案】B
【分析】根据条件得到AB=λAC，再利用向量相等，即可求出结果.
【详解】因为A，B，C三点共线，则AB=λAC，又向量AB=(1,m,-3)，AC=(-3,6,9)，
所以1=-3λm=6λ-3=9λ，解得λ=-13,m=-2，
故选：B.
8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量a=(1,0,2)，b=(-2,1,-2)，c=(0,1,λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题意得a与b不共线，所以由空间向量共面定理可知存在实数x,y，使c=xa+yb，然后将坐标代入化简可求出λ的值.
【详解】因为1-2≠01≠2-2
所以a=(1,0,2)与b=(-2,1,-2)不共线，
所以存在实数x,y，使c=xa+yb，
所以(0,1,λ)=x(1,0,2)+y(-2,1,-2)=(x-2y,y,2x-2y)，
所以x-2y=0y=12x-2y=λ，解得x=2y=1λ=2.
故选：B
二、多选题
9．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量a=2x,1,1,b=1,-y,2，则（ ）
A．若x=14,y=-2，则a//b
B．若x=1,y=1，则a⊥b
C．若x=12,y=1，则csa,b=23
D．若x=12,y=1，则向量a在向量b上的投影向量c=13,-13,23
【答案】ACD
【分析】代入x,y的值，得到向量a,b的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标.
【详解】向量a=2x,1,1,b=1,-y,2
若x=14,y=-2，则a=12,1,1,b=1,2,2，b=2a，所以a//b，A选项正确；
若x=1,y=1，a=2,1,1,b=1,-1,2，a⋅b=2-1+2≠0，不满足则a⊥b，B选项错误；
若x=12,y=1，a=1,1,1,b=1,-1,2，则csa,b=a⋅bab=1-1+23×6=23，C选项正确；
若x=12,y=1，a=1,1,1,b=1,-1,2，则向量a在向量b上的投影向量:
c=acsa,b⋅bb=3×23×1,-1,26=13,-13,23 ，D选项正确.
故选：ACD
10．（23-24高二上·重庆·期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量a，b，c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
B．在空间直角坐标系中，点P(-1,3,5)关于坐标平面yOz的对称点是N(1,3,5)
C．已知a=e1-2e2+e3，b=-e1+3e2+2e3，c=-3e1+7e2，e1,e2,e3为空间向量的一个基底，则向量a，b，c能共面
D．已知A(-1,1,2)，B(2,2,4)，C(3,-2,0)，则向量AC在向量AB上的投影向量是1114(3,1,2)
【答案】BC
【分析】
根据向量的数量积的几何意义，可判定A错误；根据空间直角坐标系的特征，可判定B正确；根据共面向量定理，可判定C正确；根据投影向量的计算方法，可判定D错误.
【详解】对于A中，根据向量的数量积的定义知a⋅b∈R,b⋅c∈R，
所以a⋅b⋅c与a⋅b⋅c分别表示与向量c和向量a共线的向量，
又因为向量c和a不一定共线，所以A不正确；
对于B中，根据空间直角坐标系的特征，点P(-1,3,5)关于坐标平面yOz的对称点是N(1,3,5)，所以B正确；
对于C中，由向量a=e1-2e2+e3，b=-e1+3e2+2e3，c=-3e1+7e2，
设c=xa+yb，即-3e1+7e2=x(e1-2e2+e3)+y(-e1+3e2+2e3)，
可得-3=x-y7=-2x+3y0=x+2y，此时x=-2,y=1，即c=-2a+b，所以向量a，b，c能共面，所以C正确；
对于D中，由A(-1,1,2)，B(2,2,4)，C(3,-2,0)，
可得AC=(4,-3,-2),AB=(3,1,2)，则AC⋅AB=5,AB=14，
所以向量AC在向量AB上的投影向量为AC⋅ABAB⋅ABAB=514(3,1,2)，所以D错误.
故选：BC.
11．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量a,b(a≠0,b≠0)，若a⊥b，则a⋅b=0
B．若空间四个点P,A,B,C，PC=14PA+34PB，则A,B,C三点共线
C．已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底
D．已知向量a=(1,1,x)，b=(-3,x,9)，若x<310，则〈a,b〉为钝角
【答案】ABC
【分析】由向量的数量积的定义及运算，可判定A正确；由空间向量的共面定理，可判定B正确；由空间向量的基底的定义，可判定C正确；根据向量的数量积运算公式和向量的夹角的定义，可判定D错误.
【详解】对于A中，根据向量的数量积的定义，若a⊥b，则a⋅b=0，所以A正确；
对于B中，由PC=14PA+34PB，则14PC-14PA=34PB-34PC，
即AC=3CB，因为AC与CB有公共点，所以A,B,C三点共线，所以B正确；
对于C中，因为{a,b,c}是空间的一组基底，则向量a,b,c不共面，
由m=a+c，令m=xa+yb，即a+c=xa+yb，此时方程无解，所以a,b,m不共面，
所以{a,b,m}也是空间的一组基底，所以C正确．
对于D中，若a,b为钝角，可得a⋅b<0，且a与b不共线，
由向量a=(1,1,x)，b=(-3,x,9)，若a⋅b<0，可得-3+x+9x<0，解得x<310，
当a与b共线时，设a=λb，即(1,1,x)=λ(-3,x,9)，可得1=-3λ1=xλx=9λ，解得x=-3
所以，当a与b不共线得x≠-3，所以当x<310且x≠-3时，〈a,b〉为钝角，所以D错误.
故选：ABC.
三、填空题
12．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知A(1,1,0),B(0,4,0),C(2,2,2)，则向量AB在AC上的投影向量的坐标是 .
【答案】13,13,23
【分析】
根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】AB=-1,3,0,AC=1,1,2，AB⋅AC=-1+3=2,AB=10,AC=6，
所以向量AB在AC上的投影向量的坐标是：
AB⋅ACAC⋅ACAC=26⋅1,1,26=13,13,23.
故答案为：13,13,23
13．（22-23高二上·北京·阶段练习）若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=0,-2,-1，b=2,0,4，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于 ．
【答案】25/0.4
【分析】利用空间向量的数量积与模长公式计算夹角即可.
【详解】设异面直线l1与l2的夹角为θ，则θ∈0,π2，
csθ=a⋅ba⋅b=45×25=25.
故答案为：25
14．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）已知空间向量a=1,0,2,b=-2,1,3，则a-b= ，a+b⋅a-2b= ．
【答案】 11 -27
【分析】利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】因为a=1,0,2,b=-2,1,3，
所以a+b=-1,1,5，a-b=3,-1,-1，a-2b=5,-2,-4，
所以a-b=9+1+1=11，a+b⋅a-2b=-5-2-20=-27.
故答案为：11；-27.
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点A-2,0,2，B-1,1,2，C-3,0,4，设a=AB，b=AC．
(1)若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值；
(2)若c=3，c//BC，求c．
【答案】(1)k=2或-52
(2)-2,-1,2或2,1,-2
【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设c=x,y,z，根据平行和模长得到方程组，求出答案.
【详解】（1）a=1,1,0,b=-1,0,2，
故ka+b=k,k,0+-1,0,2=k-1,k,2，
ka-2b=k,k,0--2,0,4=k+2,k,-4，
因为ka+b,ka-2b互相垂直，所以k-1k+2+k2-8=0，
解得k=2或-52；
（2）BC=-3,0,4--1,1,2=-2,-1,2，
设c=x,y,z，则x-2=y-1=z2且x2+y2+z2=9，
解得x=-2y=-1z=2或x=2y=1z=-2，
故c=-2,-1,2或c=2,1,-2；
16．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点A2,0,-2，B1,-1,-2，C3,0,-4，设a=AB，b=AC．
(1)若c=6，且c∥BC，求向量c；
(2)已知向量ka-b与b互相垂直，求k的值；
(3)若点P1,-1,m在平面ABC上，求m的值．
【答案】(1)c=4,2,-4或c=-4,-2,4
(2)k=-5
(3)m=-2
【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可；
（2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可；
（3）由点P1,-1,m在平面ABC上，设AP=λAB+μAC，解方程组求出m即可.
【详解】（1）BC=2,1,-2，设c=λBC，
因为c=6，而BC=3，所以λ=±2；
故c=4,2,-4或c=-4,-2,4
（2）a=AB=-1,-1,0，b=AC=1,0,-2，a⋅b=-1，
由ka-b与b互相垂直得：ka→-b→⋅b→=ka→⋅b→-b→2=0，
解得k=-5.
（3）点P1,-1,m在平面ABC上，AP=λAB+μAC，
-1,-1,m+2=λ-1,-1,0+μ1,0,-2，
-1=-λ+μ-1=-λm+2=-2μ，
解得：m=-2.
17．（23-24高二上·广西玉林·阶段练习）已知a=x,4,1,b=-2,y,-1,c=3,-2,z,a∥b,b⊥c．
(1)求实数x,y,z的值；
(2)求a+c与b+c夹角的余弦值．
【答案】(1)x=2,y=-4,z=2
(2)-219
【分析】（1）根据向量平行，设a=kb，进而得到方程组，求出x=2y=-4，根据向量垂直得到-6+8-z=0，求出z=2；
（2）先计算出a+c=5,2,3，b+c=1,-6,1，从而利用向量夹角公式求出答案.
【详解】（1）因为a//b，所以设a=kb，
即x,4,1=k-2,y,-1，所以x=-2k4=ky1=-k，解得x=2y=-4，
故a=2,4,1,b=-2,-4,-1
又b⊥c，所以b⋅c=0，即-6+8-z=0，
解得z=2．
（2）由（1）得a+c=5,2,3，b+c=1,-6,1，
设a+c与b+c的夹角为θ，
因为csθ=a+c⋅b+ca+c⋅b+c=5,2,3⋅1,-6,125+4+9⋅1+36+1=5-12+338×38=-438=-219，
所以a+c与b+c夹角的余弦值为-219.
18．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，顶点A位于坐标原点，若E是棱B1C1的中点，F是侧面CDD1C1的中心．

(1)求点E，F的坐标及EF；
(2)求向量EF在DC1→方向上的投影向量．
【答案】(1)E(1,12,1)，F(12,1,12)，EF=32；
(2)(-12,0,-12)．
【分析】（1）利用给定的图形直接求出点E，F的坐标，再利用向量的坐标表示并求出模作答.
（2）求出DC1→的坐标，再利用投影向量的意义求解作答.
【详解】（1）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱B1C1的中点E(1,12,1)，侧面CDD1C1的中心F(12,1,12)，
因此EF=(-12,12,-12)，所以EF=14+14+14=32.
（2）依题意，D0,1,0，C11,1,1，则DC1=1,0,1，EF⋅DC1=-12×1+(-12)×1=-1，|DC1|=2，
所以向量EF在DC1→方向上的投影向量为EF⋅DC1|DC1|⋅DC1|DC1|=-12DC1=(-12,0,-12).
19．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PBC为等腰直角三角形，且∠CPB=90°，四边形ABCD为直角梯形，满足AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2AD=4，PD=26．
(1)若点F为DC的中点，求cs〈AP,BF〉；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当EM⊥BF时，求|AM||AB|的值．
【答案】(1)-25
(2)34
【分析】（1）可证DC⊥PC，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出AP,BF的坐标后可求夹角的余弦值.
（2）设AM=tAB，则可用t表示M的坐标，再利用EM⋅BF=0可求t，从而可得两条线段的比值.
【详解】（1）因为△PBC为等腰直角三角形，∠CPB=90°，BC=CD=4，所以PC=PB=22，
又PD2=(26)2=24，PC2+CD2=(22)2+42=24，所以DC⊥PC．
而CD⊥AD，AD//BC，故CD⊥BC，
因PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，故CD⊥平面PBC.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示．
则P(22,0,0)，B(22,22,0)，F(0,0,2)，A(2,2,4)，B(22,22,0)．
则AP=(2,-2,-4)，BF=(-22,-22,2)，
所以cs〈AP,BF〉=AP⋅BF|AP|⋅|BF|=2×(-22)+(-2)×(-22)+(-4)×225×25=-25．
（2）由（1）知E(22,2,0)，设AM=tAB，
而AB=(2,2,-4)，所以AM=(2t,2t,-4t)，
所以M(2+2t,2+2t,4-4t)，所以EM=(2t-2,2t,4-4t)，
又BF=(-22,-22,2)，
因为EM⊥BF，故EM⋅BF=0，
所以-22×(2t-2)-22×2t+8-8t=0，解得t=34，
所以|AM||AB|=34．
课程标准
学习目标
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量的坐标运算，会计算向量的长度及两向量的夹角.
3.会利用向量的坐标关系，判定两个向量平行或垂直.
4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
5掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式和中点坐标公式
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示:掌握空间向量数量积的坐标表示
2.掌握空间向量的模、夹角
3.掌握空间向量坐标与空间向量平行与垂直的关系
正交基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示