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    2021学年1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课时练习

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    这是一份2021学年1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课时练习,共5页。

    [A级 基础巩固]
    1.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b=( )
    A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
    C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
    解析:选A b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).
    2.已知a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= eq \r(29) ,且λ>0,则λ=( )
    A.2 B.3
    C.4 D.5
    解析:选B 由题意,得λa+b=(4,1-λ,λ).因为|λa+b|= eq \r(29) ,所以42+(1-λ)2+λ2=29,整理得λ2-λ-6=0.又λ>0,所以λ=3.
    3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为 eq \f(8,9) ,则λ=( )
    A.2 B.-2
    C.-2或 eq \f(2,55) D.2或- eq \f(2,55)
    解析:选C 由cs 〈a,b〉= eq \f(a·b,|a||b|) = eq \f(2-λ+4,\r(5+λ2)·\r(9)) = eq \f(8,9) ,
    解得λ=-2或λ= eq \f(2,55) .
    4.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|eq \(AB,\s\up7(―→))|的最小值为( )
    A.3 eq \r(3) B.3 eq \r(6)
    C.2 eq \r(3) D.2 eq \r(6)
    解析:选B |eq \(AB,\s\up7(―→))|= eq \r((2a-1)2+(-7-a)2+(-2+5)2)
    = eq \r(5a2+10a+59)
    = eq \r(5(a+1)2+54) ,
    当a=-1时,|eq \(AB,\s\up7(―→))|min= eq \r(54) =3 eq \r(6) .
    5.(多选)对于任意非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),以下说法错误的有( )
    A.若a⊥b,则x1x2+y1y2+z1z2=0
    B.若a∥b,则 eq \f(x1,x2) = eq \f(y1,y2) = eq \f(z1,z2)
    C.cs 〈a,b〉= eq \f(x1x2+y1y2+z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ))
    D.若x1=y1=z1=1,则a为单位向量
    解析:选BD 对于A选项,因为a⊥b,则a·b=x1x2+y1y2+z1z2=0,A选项正确;对于B选项,若x2=0,且y2≠0,z2≠0,若a∥b,但分式 eq \f(x1,x2) 无意义,B选项错误;对于C选项,由空间向量数量积的坐标运算可知cs 〈a,b〉= eq \f(x1x2+y1y2+z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) ,C选项正确;对于D选项,若x1=y1=z1=1,则|a|= eq \r(12+12+12) = eq \r(3) ,此时,a不是单位向量,D选项错误.
    6.已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则线段AB在yOz平面上的射影长为________.
    解析:点A(3,5,-7),B(-2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5,-7),B′(0,4,3),∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|= eq \r((0-0)2+(4-5)2+(3+7)2) = eq \r(101) .
    答案: eq \r(101)
    7.已知M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),设在线段M1M2上的一点M满足eq \(M1M2,\s\up7(――→))=4eq \(MM2,\s\up7(―→)),则向量eq \(OM,\s\up7(―→))的坐标为________.
    解析:设M(x,y,z),则eq \(M1M2,\s\up7(――→))=(1,-7,-2),
    eq \(MM2,\s\up7(―→))=(3-x,-2-y,-5-z).
    又∵eq \(M1M2,\s\up7(――→))=4eq \(MM2,\s\up7(―→)),∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1=4(3-x),,-7=4(-2-y),,-2=4(-5-z),)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(11,4),,y=-\f(1,4),,z=-\f(9,2).))
    答案: eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4),-\f(1,4),-\f(9,2)))
    8.在空间直角坐标系中,以O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2)为三棱锥的顶点,则此三棱锥的表面积为________.
    解析:由题意作出图形如图,S△AOC=S△BOC=S△AOB= eq \f(1,2) ×2×2=2,
    S△ABC= eq \f(\r(3),4) ×|eq \(AB,\s\up7(―→))|2= eq \f(\r(3),4) ×8=2 eq \r(3) ,
    故三棱锥的表面积S=6+2 eq \r(3) .
    答案:6+2 eq \r(3)
    9.已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),求eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(BA,\s\up7(―→)),线段AB的中点坐标及线段AB的长.
    解:eq \(AB,\s\up7(―→))=(-5,-1,10),eq \(BA,\s\up7(―→))=(5,1,-10),AB的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(9,2),-2)) ,|eq \(AB,\s\up7(―→))|= eq \r((-5)2+(-1)2+102) =3 eq \r(14) .
    10.(1)已知A(1,5,-2),B(2,4,4),C(a,3,b+2),如果A,B,C三点共线,求a+b的值;
    (2)已知向量a=(3,4,2),b=(2,-1,0),当λ1a+λ2b与a垂直时,求λ1,λ2满足的关系式.
    解:(1)∵A,B,C三点共线,∴eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(AC,\s\up7(―→)),
    易求得eq \(AB,\s\up7(―→))=(1,-1,6),eq \(AC,\s\up7(―→))=(a-1,-2,b+4),
    则 eq \f(1,a-1) = eq \f(-1,-2) = eq \f(6,b+4) ,
    解得a=3,b=8,故a+b=11.
    (2)λ1a+λ2b=(3λ1+2λ2,4λ1-λ2,2λ1),
    若λ1a+λ2b与a垂直,
    则(3λ1+2λ2,4λ1-λ2,2λ1)·(3,4,2)=29λ1+2λ2=0.
    ∴所求的关系式是29λ1+2λ2=0.
    [B级 综合运用]
    11.(多选)已知空间三点A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确的是( )
    A.eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=3 B.eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(AC,\s\up7(―→))
    C.|eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|=2 eq \r(3) D.cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AC,\s\up7(―→))〉= eq \f(3,65)
    解析:选AC ∵A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),
    ∴eq \(AB,\s\up7(―→))=(0,2,1),eq \(AC,\s\up7(―→))=(-2,0,3),eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))=(-2,-2,2),
    ∵eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=0×(-2)+2×0+1×3=3,故A正确;∵不存在实数λ,使得eq \(AB,\s\up7(―→))=λeq \(AC,\s\up7(―→)),故eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AC,\s\up7(―→))不共线,故B错误;∵|eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|= eq \r((-2)2+(-2)2+22) =2 eq \r(3) ,故C正确;∵cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AC,\s\up7(―→))〉= eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→)),| eq \(AB,\s\up7(―→))|·|eq \(AC,\s\up7(―→))|) = eq \f(3,\r(5)×\r(13)) = eq \f(3\r(65),65) ,故D错误.
    12.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是________.
    解析:a·b=2x-2×3+2×5=2x+4,设a,b的夹角为θ,因为θ为钝角,所以cs θ= eq \f(a·b,|a||b|) <0,又|a|>0,|b|>0,所以a·b<0,即2x+4<0,所以x<-2,又a,b不会反向,所以实数x的取值范围是(-∞,-2).
    答案:(-∞,-2)
    13.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))的最小值为________,此时点Q的坐标为________.
    解析:设eq \(OQ,\s\up7(―→))=λeq \(OP,\s\up7(―→))=(λ,λ,2λ),
    故Q(λ,λ,2λ),
    ∴eq \(QA,\s\up7(―→))=(1-λ,2-λ,3-2λ),eq \(QB,\s\up7(―→))=(2-λ,1-λ,2-2λ),
    ∴eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))=6λ2-16λ+10=6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ-\f(4,3))) eq \s\up12(2) - eq \f(2,3) ,
    ∴eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))的最小值为- eq \f(2,3) ,此时λ= eq \f(4,3) ,Q点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),\f(4,3),\f(8,3))) .
    答案:- eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),\f(4,3),\f(8,3)))
    14.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).求:
    (1)△ABC的面积;
    (2)△ABC中AB边上的高.
    解:(1)由已知,得eq \(AB,\s\up7(―→))=(1,-3,2),eq \(AC,\s\up7(―→))=(2,0,-8),
    ∴|eq \(AB,\s\up7(―→))|= eq \r(1+9+4) = eq \r(14) ,
    |eq \(AC,\s\up7(―→))|= eq \r(4+0+64) =2 eq \r(17) ,
    eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,
    ∴cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AC,\s\up7(―→))〉= eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))||eq \(AC,\s\up7(―→))|) = eq \f(-14,\r(14)×2\r(17)) = eq \f(-\r(14),2\r(17)) ,
    ∴sin 〈eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AC,\s\up7(―→))〉= eq \r(1-\f(14,68)) = eq \r(\f(27,34)) .
    ∴S△ABC= eq \f(1,2) |eq \(AB,\s\up7(―→))|·|eq \(AC,\s\up7(―→))|·sin 〈eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AC,\s\up7(―→))〉
    = eq \f(1,2) × eq \r(14) ×2 eq \r(17) × eq \r(\f(27,34)) =3 eq \r(21) .
    (2)设AB边上的高为CD,则|eq \(CD,\s\up7(―→))|= eq \f(2S△ABC,|eq \(AB,\s\up7(―→))|) =3 eq \r(6) ,
    即△ABC中AB边上的高为3 eq \r(6) .
    [C级 拓展探究]
    15.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H满足BH⊥OA,求点H的坐标.
    解:设H(x,y,z),则eq \(OH,\s\up7(―→))=(x,y,z),eq \(BH,\s\up7(―→))=(x,y-1,z-1),eq \(OA,\s\up7(―→))=(-1,1,0).因为BH⊥OA,所以eq \(BH,\s\up7(―→))·eq \(OA,\s\up7(―→))=0,
    即-x+y-1=0①,又点H在直线OA上,
    所以eq \(OA,\s\up7(―→))=λeq \(OH,\s\up7(―→)),即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-1=λx,,1=λy,,0=λz)) ②,
    联立①②解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-\f(1,2),,y=\f(1,2),,z=0.))
    所以点H的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2),0)) .
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