数学第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算课堂检测

这是一份数学第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算课堂检测，共70页。试卷主要包含了定义，表示方法，相反向量，平行向量等内容，欢迎下载使用。

知识点01 空间向量
1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
2.模(或长度)：向量的大小．
3.表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq \(AB,\s\up7(→))，模为|eq \(AB,\s\up7(→))|．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【即学即练1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果a=0，则a=0
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果a=0，则a=0，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若a≠b，则a≠bB．若a>b，则a>b
C．若a=b，则a=bD．若a=b，则a=b
【答案】C
【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.
【详解】对于A;比如a=(0,0,1),b=(1,0,0),a,b不相等，但a=b=1，故A错误；
对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；
对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；
对于D；若a=(0,0,1),b=(1,0,0)，a=b=1，但a,b不相等，故D错误；
故选：C
知识点02几类特殊的向量
1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
2.单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
【即学即练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与向量AD1相反的向量是（ ）
A．C1BB．BC1C．B1AD．AB1
【答案】A
【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.
【详解】

如图所示，可知C1B是AD1的相反向量.
故选：A
【即学即练4】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与AB相等的所有向量．
(3)试写出AA1的相反向量．
【答案】(1)8
(2)A1B1,DC,D1C1
(3)A1A,B1B,C1C,D1D
【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可；
（2）根据相等向量的定义写出即可；
（3）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，单位向量有AA1,A1A,BB1,B1B,CC1,C1C,DD1,D1D共8个；
（2）由题意，与AB相等有A1B1,DC,D1C1；
（3）由题意，AA1的相反向量有A1A,B1B,C1C,D1D.
知识点03 空间向量的加法、减法与数乘
【即学即练5】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则AF-12(AB+AC)=（ ）
A．-EFB．BDC．EFD．-BD
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得.
【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则AB+AC=2AE，
所以AF-12(AB+AC)=AF-AE=EF.
故选：C
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，点M,G分别是BC和CD的中点，则AB+12BD+BC=（ ）
A．ADB．GAC．AGD．MG
【答案】C
【分析】根据已知可得BD+BC=2BG，代入即可得出答案.
【详解】
因为点G是CD的中点，
所以BD+BC=2BG，
所以AB+12BD+BC=AB+BG=AG.
故选:C.
知识点04 空间向量的加法和数乘运算律
1.加法交换律：
2.加法结合律：
3.数乘运算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μv；③λ(a＋b)＝λa＋λb；
【即学即练7】（21-22高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（ ）
A．a+b-(a+b)=2a
B．2(a+b)+c=2a+b+c
C．3(a-b)+3(a+b)=0
D．a+b-(b-3c)=a+3c
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算求解即可判断各选项．
【详解】对于A，a→+b→-(a→+b→)=0→，故A不正确；
对于B，2(a+b)+c=2a+2b+c，故B不正确；
对于C，3(a-b)+3(a+b)=6a，故C不正确；
对于D，a+b-(b-3c)=a+3c，故D正确．
故选：D．
【即学即练8】（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式：
(1)32a-b-4c-4a-2b+3c；
(2)OA-OB-AB-AC.
【答案】(1)2a+5b-24c；
(2)CA.
【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；
（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】（1）32a-b-4c-4a-2b+3c=6a-3b-12c-4a+8b-12c=2a+5b-24c.
（2）OA-OB-AB-AC=OA-OB+AB-AC=BA+AB+CA=CA.
知识点05 向量共线及共线定理
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.
【即学即练9】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知x,y,z是不共面的空间向量，若p=3x-2y-4z与q=(m+1)x+8y+nz（m,n是实数）是平行向量，则m+n的值为（ ）
A．16B．-13C．3D．-3
【答案】C
【分析】根据p∥q，结合q=λp，列出方程组，求解即可.
【详解】因为x,y,z是不共面的空间向量且p∥q，
故q=λp，则m+1=3λ8=-2λn=-4λ，
解得m=-13,n=16，所以m+n=3.
故选：C.
【即学即练10】（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量e1,e2不共线，则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为 .
【答案】－12/-0.5
【分析】根据空间共线向量可得2ke1-e2=λe1+2λ(k+1)e2]，建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题意知，存在实数λ使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]=λe1+2λ(k+1)e2]，
即λ=2k2λ(k+1)=-1，解得λ=-1k=-12.
故答案为：-12
知识点06 空间向量线性运算的理解
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．

图1 图2
(1)如图1，eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝a－b．
(2)如图2，eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(DD1,\s\up7(→))＝eq \(DB1,\s\up7(→))．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
【即学即练11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点，AG=2GE，则GC1=（ ）
A．13AB-23AC+AA1B．13AB+23AC+AA1
C．-13AB+23AC+AA1D．-13AB+23AC-AA1
【答案】C
【分析】依题意可得GE=13AE，再根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为AG=2GE，所以GE=13AE，
所以GC1=GE+EC+CC1=13AE+12BC+AA1
=13×12AB+AC+12AC-AB+AA1
=23AC-13AB+AA1.
故选：C
【即学即练12】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a,AB=b,AD=c，M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量：
(1)AP；
(2)A1N；
(3)MP.
【答案】(1)a+12b+c
(2)-a+b+12c
(3)12a+12b+c
【分析】
根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可.
【详解】（1）
∵P是C1D1的中点，
∴AP=AA1+A1D1+D1P=AA1+AD+12D1C1=AA1+AD+12AB=a+12b+c；
（2）
∵N是BC的中点，
∴A1N=A1A+AB+BN=A1A+AB+12BC=A1A+AB+12AD=-a+b+12c；
（3）
∵M是AA1的中点，
∴MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+(a+c+12b)=12a+12b+c.
知识点07 空间两个向量的夹角
夹角
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 相反;
（3）若〈a,b〉=π2,则向量a,b 互相垂直，记作a⊥b
【即学即练13】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，BC与CD的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
【答案】D
【分析】
根据正三角内角为60°求解.
【详解】
由正四面体每个面都是正三角形可知，
=180°-=180°-60°=120°
故选：D
【即学即练14】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分别与向量A'B'，B'A'，AD'，CD'，B'D'的夹角．
【答案】45°；135°；60°；120°；90°
【分析】
由图形特征求向量夹角.
【详解】
连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以AC,A'B'=AC,AB=45°，
AC,B'A'=180°-AC,AB=135°，
AC,AD=∠D'AC=60°，
AC,CD=120°，
AC,B'D'=AC,BD=90°.
知识点08 空间两个向量的数量积
空间向量的数量积的定义
2.空间向量数量积的运算律
3.空间向量数量积的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔ a·b=0 ;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=aa2
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若θ为a,b的夹角，则csθ=aaa·b|a||b|
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac⟹b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
【即学即练15】（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 CE = ED，AF =2 FD，则向量BE⋅CF=（ ）
A．- 13B．13C．- 12D．12
【答案】A
【分析】由向量的运算可得BE=12(BC+BD)，CF=13BA-BC+23BD，由向量数量积的定义即可得到答案.
【详解】由题得BA,BC夹角，BD,BC夹角，BD,BA夹角均为π3，
∵CE=ED,AF=2FD，
∴BE=12(BC+BD),AF=23AD，
∴CF=BF-BC=BA+AF-BC
=BA+23AD-BC=BA+23(BD-BA)-BC=13BA-BC+23BD，
∴BE⋅CF=12(BC+BD)⋅13BA-BC+23BD
=16BA⋅BC-12BC2-16BC⋅BD+16BA⋅BD+13BD2
=16×2×2×12-12×22-16×2×2×12+16×2×2×12+13×22=-13
故选：A.
【即学即练16】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体ABCD的棱长为1，点M是BC的中点，则AM⋅CD的值为 ．
【答案】-14/-0.25
【分析】根据空间向量线性运算，得AM=12AB+AC，CD=AD-AC，再计算AM⋅CD.
【详解】
正四面体ABCD的棱长为1，
∴AB⋅AC=AB⋅AD=AC⋅AD=1×1×cs60°=12，
又点M是BC的中点，∴AM=12AB+AC，
又∵CD=AD-AC，
∴AM⋅CD=12AB+AC⋅AD-AC
=12AB⋅AD-AB⋅AC+AC⋅AD-AC2=12×12-12+12-1=-14.
故答案为：-14.
知识点09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量OA=a，OB=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量.
②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=OA1b
2．向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=CD，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量C1D1.我们将上述由向量m得到向量C1D1的变换称为向量m向平面α投影，向量C1D1称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m∙n=C1D1∙n
【即学即练17】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为 .
【答案】BC
【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定BP在向量AD上的投影向量.
【详解】四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，则BC//AD,BC=AD，即AD=BC，
且BC⊥CD，由PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则PD⊥BC，
由PD∩CD=D，PD,CD⊂面PCD，则BC⊥面PCD，
又PC⊂面PCD，则BC⊥PC，故向量BP在向量BC上的投影向量为BC，
所以向量BP在向量AD上的投影向量为BC.
故答案为：BC
【即学即练18】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB在向量A1C1上的投影向量是 ，向量AB在平面BDD1B1上的投影向量是 ．

【答案】 12A1C1； 12DB.
【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证AC⊥平面BDD1B1，再由投影向量的几何法确定投影向量.
【详解】空（1）法一：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知AB//A1B1，∠C1A1B1=45∘，
向量AB与向量A1C1夹角为45°，AB=1，A1C1=A1B12+B1C12=2，
所以向量AB在向量A1C1上的投影向量是AB⋅csAB,A1C1⋅A1C1A1C1=1×22×A1C12=12A1C1．
法二：设B1D1∩A1C1=O1，如图，由正方体的性质得AB//A1B1，AB=A1B1，B1O1⊥A1C1，
向量AB在向量A1C1上的投影向量是A1O1=12A1C1．
空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知AC⊥BD，线面垂直性质有AC⊥BB1，
由BB1∩BD=B，BB1,BD⊂平面BDD1B1，则AC⊥平面BDD1B1，
所以AB在平面BDD1B1上的投影向量就是OB，易知OB=12DB．

故答案为：12A1C1； 12DB
知识点1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。
3.空间四点共面的条件
已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+y OB+zOC，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.
注意：
共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
【即学即练19】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6OP=OA+2OB+3OC，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B
【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得AP,PB,PC三个向量共面，可得答案.
【详解】由6OP=OA+2OB+3OC，得OP-OA=2OB-OP+3OC-OP，
即AP=2PB+3PC，故AP,PB,PC共面.
又因为三个向量有同一公共点P，所以P,A,B,C共面.
故选：B.
【即学即练20】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A．OM=3OA-2OB-OCB．OM+OA+OB+OC=0
C．MA+MB+MC=0D．OM=14OB-OA+12OC
【答案】ABD
【分析】
根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.
【详解】
A：OM+2OB+OC=3OA，如下图OB'=2OB，OA'=3OA，

由|OB|,|OC|,|OM|的关系不定，则A不一定在面BCM上，满足；
B：OM+OA=-OB-OC，如下图OB=DB',OC=DC'，此时满足上式，

此时，M与A，B，C不共面，满足；
C：因为MA+MB+MC=0，所以MA=-MB-MC，所以M，A，B，C共面，不满足.
D：4(OM+OA)=OB+2OC，如下图4OA=OA',4OM=OM',2OC=DC'，

此时，M与A，B，C不共面，满足；
故选：ABD
难点：空间向量的线性运算
示例1：（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，MN=2NO，设OA=a，OB=b，OC=c，用a,b,c表示向量AN，则AN=
【答案】-a+16b+16c
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】AN=ON-OA=13OM-OA=16OB+OC-OA=-a+16b+16c，
故答案为：-a+16b+16c.
难点：向量共面问题
示例2：（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M、N、P三点的平面α交棱BC于Q，设BQ=λBC，则λ= .
【答案】34/0.75
【分析】设AB=a，AD=b，AA1=c，用基底a,b,c表示向量PM、NM、MQ，设MQ=mPM+nNM，可出关于m、n、λ的方程组，即可得解.
【详解】设AB=a，AD=b，AA1=c，则PM=PB1+B1M=34a-12c，
NM=ND+DB+BM=-12c+a-b+12c=a-b，
MQ=MB+BQ=λb-12c，
由题意可知，PM、NM、MQ共面，设MQ=mPM+nNM，
即λb-12c=m34a-12c+na-b=34m+na-nb-12mc，
所以，34m+n=0λ=-n-12m=-12，解得m=1n=-34λ=34.
故答案为：34.
【题型1：空间向量的基本概念】
例1．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．任意两个空间向量总是共面的
C．零向量没有方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】B
【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误，
对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确，
对于C，零向量的方向是任意的，故C错误，
对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误，
故选：B
变式1．（多选）（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．设a，b是两个空间向量，则a⋅b=b⋅a
B．若空间向量a，b满足a=b，则a=±b
C．若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p
D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C1
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：a⋅b=b⋅a=abcsa,b，故A为真命题；
对于选项B：根据向量的定义可知，a=b，但向量的方向无法确定，
所以a=±b不一定成立，故B为假命题；
对于选项C：根据向量相等的定义可知：若m=n，n=p，则m=p，故C真命题；
对于选项D：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC=A1C1，且AC,A1C1方向相同，
所以AC=A1C1，故D为真命题.
故选：ACD.
变式2．（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量AB,CD满足AB>CD，且AB与CD同向，则AB>CD
C．若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB,CD为相反向量
D．AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合
【答案】ABD
【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C.
【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不必相同，
对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误；
向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误；
由相反向量的定义可知C正确.
故选：ABD.
变式3．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)试写出与AB相等的所有向量．
(2)试写出AA1的相反向量．
【答案】(1)A1B1,DC,D1C1
(2)A1A,B1B,C1C,D1D
【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可；
（2）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，与AB相等有A1B1,DC,D1C1；
（2）由题意，AA1的相反向量有A1A,B1B,C1C,D1D.
变式4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱B1C1上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：

(1)AB的相等向量，A1B的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示BB1；
(3)用三个或三个以上向量的和表示BE．
【答案】(1)A1B1、DC、D1C1；BA1，CD1
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案.
（2）根据向量的加减运算即可得答案.
（3）利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案.
【详解】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，AB的相等向量有A1B1、DC、D1C1，
A1B的相反向量有：BA1、CD1．
（2）用“首尾规则”求解，如果只在含BB1的三角形中考虑，有BB1=BA1+A1B1，
BB1=BE+EB1，BB1=A1B1-A1B，BB1=EB1-EB．（答案不唯一）
（3）用“首尾规则”求解，则BE=BA1+A1B1+B1E，BE=BB1+B1A1+A1D1+D1C1+C1E．
（答案不唯一）
【方法技巧与总结】
1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
2.注意点：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
【题型2：空间向量的加减数乘运算】
例2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体OABC中，记OA=a，OB=b，OC=c，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则MN=（ ）
A．12a+12b+12cB．-12a+12b+12c
C．12a-12b+12cD．12a+12b-12c
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：MN=ON-OM=12(OB+OC)-12OA=-12a+12b+12c，
故选：B.
变式1．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列四式中错误的是（ ）
A．AB-CB=AC
B．AC'=AB+B'C'+CC'
C．AA'=CC'
D．AB+BB'+BC+C'C=AC'
【答案】D
【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：AB-CB=AB+BC=AC，故A正确；
对于B：因为B'C'=BC，所以AB+BC+CC'=AB+B'C'+CC'=AC'，故B正确；
对于C：AA'=CC'，故C正确；
对于D：因为BB'=CC'，所以AB+BB'+BC+C'C=AB+BC+BB'-CC'=AC，
故D错误.
故选：D
变式2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱AB,PC的中点，则12AB+12BC+12BP+NA=（ ）
A．BMB．MBC．BAD．MN
【答案】A
【分析】化简式子，即可得出结论.
【详解】由题意，
在三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱AB,PC的中点，
BM=12BA,NP=12CP,
∴12AB+12BC+12BP+NA=12AC+12BA+AP+12CP+PA
=12AC+12BA+12AP+12CP+PA=12AC+12BA+12PA+12CP
=12AC+12BA+12PA+CP=12AC+12BA+12CA=12BA=BM
故选：A.
变式3．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，N为BC的中点，若MN=-34a+12b+12c，则λ=（ ）
A．13B．3C．12D．2
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算即可得解.
【详解】如图，
因为OM=λMA，N为BC的中点，所以OM=λλ+1OA，
又因为ON=12OB+12OC，
所以MN=ON-OM=12OB+12OC-λλ+1OA=-λλ+1a+12b+12c，
又MN=-34a+12b+12c，所以-λλ+1=-34，解得：λ=3．
故选：B.
变式4．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON,AP=34AN，设向量OP=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=（ ）

A．1112B．1C．34D．56
【答案】C
【分析】写出OP的表达式即可求出x+y+z的值.
【详解】由题意，
在四面体OABC中，
MN=12ON,AP=34AN,M是四面体 OABC的棱BC的中点,
∴ON=23OM=23×12(OB+OC)=13OB+13OC,
∴OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34(ON-OA)=OA+34ON-34OA
=14OA+3413OB+13OC=14OA+14OB+14OC
∵OP=xOA+yOB+zOC，
∴x=y=z=14，
∴x+y+z=34，
故选：C.
变式5．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，则（ ）
A．PA=PB+PD-PCB．PA=PB+PC-PD
C．AB+AD+AP=AED．AB+AD+AP=2AE
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，四边形ABCD是平行四边形，
PA=PB+BA=PB+CD=PB+PD-PC，A正确，B错误；
AB+AD+AP=AC+AP =2AE，D正确，C错误.
故选：AD
变式6．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在直线OA上，且OM=2MA，N是BC的中点，则下列结论可能成立的是（ ）
A．ON=12(a+b)B．MN=-23a+12b+12c
C．NA=12(NO+NM)D．CM=-23a-c
【答案】BC
【分析】根据题意，结合点M的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为N是BC的中点，可得ON=12(OB+OC)=12(b+c)，所以A不正确；
对于B，当点M在线段OA上时，因为OM=2MA，此时OM=23OA，
则MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=-23a+12b+12c，所以B正确；
对于C，当点M在线段OA的延长线上时，因为OM=2MA，此时A为OM的中点，
可得NA=12(NO+NM)，所以C正确；
对于D，当点M在线段OA上时，可得CM=OM-OC=23a-c；
当点M在线段OA的延长线上时，CM=OM-OC=2a-c，
当点M在线段AO的延长线上时，OM=2MA不可能成立，所以D不正确.
综上可得，可能正确的结论为BC.
故选：BC.
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
【题型3：空间向量共线问题】
例3.（24-25高二上·上海·课后作业）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1-e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8B．-4C．-2D．8
【答案】A
【分析】利用空间向量共线定理求解即可.
【详解】因为A、B、D三点共线，所以∃λ∈R,使得AB=λAD,
又AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1-e2，
所以AD=AB+BC-DC=2e1+ke2+e1+3e2-2e1-e2=e1+k+4e2,
则2e1+ke2=λe1+k+4e2,
则λ=2, λk+4=k,解得：k=8.
故选：A.
变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据向量共线设AB=xBC，从而得到方程组，求出λ=1μ=1，得到答案.
【详解】因为A,B,C三点共线，所以AB=xBC，
即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3，故x=1xλ=1xμ=1，解得λ=1μ=1，
所以λ+μ=1+1=2.
故选：C
变式2．（20-21高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P满足OP=mOA+nOB，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈ABB．P∉AB
C．点P可能在直线AB上D．以上都不对
【答案】A
【分析】由已知化简可得AP=nAB，即可判断.
【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以OP=(1-n)OA+nOB，即OP-OA=n(OB-OA)，
即AP=nAB，所以AP与AB共线．
又AP，AB有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
故选：A.
变式3．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量AB，CD，满足AB+CD=0，则AB∥CD
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
【答案】ABD
【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C
【详解】对于A，若b=0，则a与b共线，b与c共线，但a与c不一定共线，所以A错误，
对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，
对于C，因为AB+CD=0，所以AB=-CD，所以AB与CD共线，所以AB∥CD，所以C正确，
对于D，若b=0，a≠0，则不存在λ，使a=λb，所以D错误，
故选：ABD
变式4．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一动点，若BP=λBC+μBB1λ,μ∈0,1，则（ ）

A．若λ=μ，则点P的轨迹为线段BC1
B．若λ+μ=1，则点P的轨迹为线段B1C
C．存在λ,μ∈0,1，使得AP⊥BC
D．存在λ,μ∈0,1，使得AP ∥平面A1B1C1
【答案】ABC
【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可.
【详解】对于A：由BP=λBC+μBB1,λ,μ∈0,1，得点P在侧面BCC1B1内（含边界），
若λ=μ，则BP=λBC+BB1=λBC1λ∈0,1，故点P的轨迹为线段BC1，故A正确；
对于B：若λ+μ=1，则BP=λBC+1-λBB1，所以BP-BB1=λBC-BB1，即B1P=λB1C，
又λ∈0,1，故点P的轨迹为线段B1C，故B正确；
对于C：分别取棱BC,B1C1的中点D,E，连接DE，由题意易证BC⊥平面ADEA1，
当点P在线段DE上时，AP⊥BC，故存在λ,μ∈0,1，使得AP⊥BC，故C正确；
对于D：若使AP ∥平面A1B1C1，则点P必在棱BC上，此时μ=0，故不存在λ,μ∈0,1，
使得AP ∥平面A1B1C1，故D错误.
故选：ABC.

变式5．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.
（1）用a,b,c表示EB.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【答案】（1）EB=a-23b-c；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知得EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB，由此可得答案；
（2）由已知得FB =35EB，由此可得证.
【详解】解：（1）因为A1E=2ED1， AB=a,AD=b,AA1=c，
所以EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB=-23b-c+a，
所以EB=a-23b-c；
（2）A1F=23FC.
FB=FA1+A1A+AB=25CA1+A1A+AB
=25(CB+BA+AA1)+A1A+AB
=25(-b-a+c)-c+a
=35a-25b-35c=35(a-23b-c)=35EB，
又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.
变式6．（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c．求证：B，C，D三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.
【详解】因为AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c，
所以BC=AC-AB=2a+3b+c-4a+5b+3c=-2a-2b-2c，
BD=AD-AB=6a+7b+5c-4a+5b+3c=2a+2b+2c，
所以BC=-BD，
所以BC//BD，又B为公共点，
所以B，C，D三点共线．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
（2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使PA=λPB.
【题型4：向量的数量积】
例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⋅BC1=（ ）
A．22B．42C．2D．4
【答案】D
【分析】根据向量数量积定义计算即可.
【详解】
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
易知AA1=2，BC1=22
因为AA1=BB1，BB1与BC1的夹角为π4，
所以AA1与BC1的夹角为π4，
AA1⋅BC1=AA1⋅BC1csπ4=2×22×22=4.
故选：D
变式1．（19-20高二上·广东广州·期末）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（ ）
A．-1B．0C．1D．不确定
【答案】B
【分析】令AB=a,AC=b,AD=c，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令AB=a,AC=b,AD=c，
则AB·CD+AC·DB+AD·BC，
=a·c-b+b·a-c+c·b-a，
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
故选：B
变式2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量a,b的夹角为π3,|a|=2,|b|=3，则a⋅(a+3b)= ．
【答案】13
【分析】利用向量数量积运算律即可求得a⋅(a+3b)的值.
【详解】空间向量a,b的夹角为π3,|a|=2,|b|=3，
则a⋅(a+3b)=a2+3a⋅b=a2+3a⋅bcsπ3=22+3×2×3×12=13.
故答案为：13
变式3．（2023高二·全国·专题练习）正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF⋅DC= ．
【答案】-14/-0.25
【分析】得到EF=12BD，利用向量数量积公式求出答案.
【详解】如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AB、AD的中点，
所以EF=12BD，
故EF⋅DC=12BD⋅DC=12BD⋅DCcs120°=-12×12=-14
故答案为：-14
变式4．（21-22高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则EF⋅BA的值为 .
【答案】14/0.25
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】EF⋅BA=12BD⋅BA=12×1×1×csπ3=14.
故答案为：14
变式5．（22-23高二上·全国·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，则AB⋅DC1= ．
【答案】2
【分析】根据AB⋅DC1=DC⋅DC1即可得出答案.
【详解】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB=2，∠CDC1=45°，
所以AB⋅DC1=DC⋅DC1=DC⋅DC1cs∠CDD1=2．
故答案为：2.
变式6．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体ABCD-A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=6,点E在棱CC1的延长线上,且C1E=CC1.设AA1=a,AB=b,AD=c.

(1)试用a,b,c表示向量AE;
(2)求AD⋅BD1.
【答案】(1)AE=2a+b+c
(2)4
【分析】（1）根据题意得CE=2CC1=2AA1,再由空间向量的线性运算即可求解;
（2）先由空间向量的线性运算求得BD1,再根据空间向量的数量积公式求解即可.
【详解】（1）因为点E在棱CC1的延长线上,且C1E=CC1,
所以CE=2CC1=2AA1,
则AE=AB+BC+CE=AB+BC+2AA1=2a+b+c.
（2）由题意得AA1⋅AD=0,AB⋅AD=0,AD=AA1=2,AB=6,
则BD1=BA+AA1+A1D1=AA1+AD-AB,
所以AD⋅BD1=AD⋅AA1+AD-AB=AD⋅AA1+AD2-AD⋅AB=4.
变式7．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)EF·BA；
(2)EF·BD；
(3)AB·CD.
【答案】(1)1
(2)2
(3)0
【分析】分别将EF，BD，CD转化为AB，AC，AD后根据数量积定义计算即可.
【详解】（1）在正四面体ABCD中，|BD|=|BA|=2,cs〈BD,BA〉=60∘
EF⋅BA=12BD⋅BA=12|BD|⋅|BA|cs〈BD,BA〉=12×2×2cs60°=1
（2）EF⋅BD=12BD⋅BD=12|BD|2=2
（3）AB⋅CD=AB⋅(AD-AC)=AB⋅AD-AB⋅AC= |AB|⋅|AD|⋅cs〈AB,AD〉-|AB||AC|⋅cs〈AB,AC〉
在正四面体ABCD中，|AB|=|AD|=|AC|，cs〈AB,AD〉=cs〈AB,AC〉
故AB⋅CD=0
【方法技巧与总结】
1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由csθ的符号所决定.
2.两个向量的数量积写成a∙b；今后要学到两个向量的外积axb，而ab是两个数的积，书写时要严区分.
3.在数量积中，若 a≠0，且a∙b=0，不能推出（b=0），因为其中csθ有可能为0
4.在实数中，有abc=a(bc)，但是（a∙b）c=a（b∙c
【题型5：利用空间向量求夹角】
例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知a,b是两个空间向量，若|a|=2,|b|=2，|a-b|=7，则cs〈a,b〉＝ .
【答案】18/0.125
【分析】将|a-b|=7两边平方，求出a⋅b的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意得|a|=2,|b|=2，|a-b|=7，
则|a-b|2=7，即a2-2a⋅b+b2=7，则a⋅b=12
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=122×2=18，
故答案为：18
变式1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，且∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=45°，则直线CD1与直线AD所成角的余弦值为 .
【答案】0
【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量数量积计算即可得到答案.
【详解】因为A1D1//AD//BC,A1D1=AD=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
所以CD1//BA1，所以直线CD1与直线AD所成角和直线BA1与直线AD所成的角相等，
又因为BA1=AA1-AB，所以BA1⋅AD=AA1-AB⋅AD=AA1⋅AD-AB⋅AD
=AA1ADcs45∘-ABADcs45∘=0，
所以直线CD1与直线AD垂直，即直线CD1与直线AD所成角的余弦值为0.
故答案为：0.

变式2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则OE与BF的夹角的余弦值为 ．

【答案】-23
【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解.
【详解】解：设正四面体OABC棱长为1，
设OA=a，OB=b，OC=c，则a=b=c=1，
∵∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，
∴a⋅b=abcs∠AOB=12，b⋅c=bccs∠BOC=12，c⋅a=cacs∠AOC=12.
∵E，F分别为AB，OC的中点，△OAB，△OBC是等边三角形，
∴OE=12a+b，BF=OF-OB=12c-b，OE=BF=32，
∴csOE,BF=OE⋅BFOEBF=12a+b⋅12c-b322
=14a⋅c+14b⋅c-12a⋅b-12b234=-23．
∴OE与BF的夹角的余弦值为-23．
故答案为：-23.
变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知a,b是异面直线，A∈a,B∈a,C∈b,D∈b，AC⊥b,BD⊥b，且AB=2,CD=1，则a与b所成的角为 ．
【答案】π3
【分析】利用AB=AC+CD+DB，求出AB⋅CD，再应用两向量的夹角公式即可求解.
【详解】设AB,CD=θ，由已知AC⊥b,BD⊥b，
得AC⋅CD=0,BD⋅CD=0，又CD=1，
则AB⋅CD=AC+CD+DB⋅CD
=AC⋅CD+CD⋅CD+DB⋅CD=CD2=1，
又AB=2，∴csθ=AB⋅CDABCD=12×1=12.
又θ∈[0,π]，∴θ=π3.所以异成直线a,b的夹角为π3.
故答案为：π3.
变式4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA'的长为2，且∠A'AB=∠A'AD=120°. 求：
(1)AC'的长；
(2)直线BD'与AC所成角的余弦值.
【答案】(1)2
(2)33
【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解；
（2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解.
【详解】（1）AB2=1,AD2=1,AA'2=4,AB⋅AD=0,
AB⋅AA'=AB⋅AA'cs∠A'AB=-1，AD⋅AA'=AD⋅AA'cs∠A'AD=-1，
因为AC'=AB+AD+AA',
所以
|AC'|=AB+AD+AA'2=AB2+AD2+AA'2+2AB⋅AD+AB⋅AA'+AD⋅AA'
=1+1+4+20-1-1=2.
（2）BD'=BA+BC+BB',
BD'=BA+BC+BB' =BA2+BC2+BB'2+2BA⋅BC+BA⋅BB'+BC⋅BB'
=1+1+4+20+BA⋅BB'cs60∘+BC⋅BB'cs120∘=6,
AC=2,
BD'⋅AC=BA+BC+BB'⋅AB+AD
=-AB2+AB⋅BC+AB⋅BB'+BA⋅AD+BC⋅AD+BB'⋅AD=-1+0-1+0+1-1=-2,
所以cs=BD'⋅ACBD'⋅AC=-26×2=-33,
因为直线BD'与AC所成角∈0,π2，
所以直线BD'与AC所成角的余弦值为33.
变式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空间四边形OABC中，OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3，求csOA,BC的值.
【答案】0
【分析】根据空间向量的运算，结合空间向量数量积的定义及夹角余弦公式即可得结论.
【详解】∵OB=OC，BC=OC-OB
∴csOA,BC=OA⋅BCOABC=OA⋅OC-OBOABC=OA⋅OC-OA⋅OBOABC=OAOCcsπ3-OAOBcsπ3OABC=0
变式6．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=4，AD=2，AA1=2．

(1)求AC1；
(2)求AC1与BD所夹角θ的余弦值．
【答案】(1)AC1=26
(2)-3010
【分析】（1）设AB=a，AD=b，AA1=c，则可用前者表示AC1，利用数量积可求其模长.
（2）先求AC1,BD的模长及其数量积，利用公式可求夹角的余弦值.
【详解】（1）设AB=a，AD=b，AA1=c，
则a=4，b=2，c=2，
AC1=AB+BC+CC1=a+b+c，
BD=AD-AB=b-a．
因为AC12=a+b+c⋅a+b+c
=a+b⋅a+b+2a+b⋅c+c⋅c =a⋅a+2a⋅b+b⋅b+2a⋅c+2b⋅c+c⋅c
=a2+0+b2+0+0+c2 =42+22+22=24，所以AC1=26．
（2）因为BD2=b-a⋅b-a =b2-2b⋅a+a2=42+22=20，
所以BD=25．因为AC1⋅BD=a+b+c⋅b-a
=b2-a2+c⋅b-c⋅a=22-42=-12，
所以AC1与BD所夹角θ的余弦值为csθ=AC1⋅BDAC1BD=-1226×25=-3010．
变式7．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是a，CD1和DC1相交于点O．
(1)求CD1⋅CD；
(2)求AO与CB的夹角的余弦值
(3)判断AO与CD1是否垂直．
【答案】(1)a2
(2)63
(3)垂直
【分析】
（1）利用数量积的公式可得；
（2）先用AB,AD,AA1表示AO，利用数量积运算律可得AO⋅CB、AO进而利用公式可得AO与CB的夹角的余弦值.
（3）利用数量积运算律得AO⋅CD1=0，进而可得AO与CD1是否垂直．
【详解】（1）正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD1=2a,CD1,CD=π4，
故CD1⋅CD=2a×a×csπ4=a2.
（2）由题意知，AB⋅AD=0,AB⋅AA1=0,AA1⋅AD=0，
AO=AD+DO=AD+12AB+AA1 ，
AO=AD+12AB+AA12=AD2+14AB2+14AA12=6a2，
故AO⋅CB=-AO⋅AD=-AD+12AB+AA1⋅AD=-a2，
故csAO,CB=AO⋅CBAOCB=-a262a⋅a=-63 .
（3）由题意，AB⋅AD=0,AB⋅AA1=0,AA1⋅AD=0 ，
AO⋅CD1=AD+12AB+AA1⋅AA1-AB
=12AA12-12AB2=0 ，
故AO与CD1垂直.
【方法技巧与总结】
1.两异面直线所成角的范围是（0，π2]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化；
2.利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量
②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小
④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小
【题型6：利用空间向量求长度】
例6．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，AP=3，cs∠BAP=cs∠CAP=13，cs∠BAC=14，E为BC的中点，F为AE的中点，O为△BCP的重心，AO与PF相交于点G，则AG的长为（ ）
A．45B．1C．54D．335
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得AG=35AO，即可根据模长公式求解.
【详解】设AG=λAO(0<λ<1)，由题意得PO=2OE，
则AG=λAO=λAP+PO=λAP+23PE=λAP+23AE-23AP=λ13AP+23AE =13λAP+23λAE.
设PG=μPF(0<μ<1)，
则AG-AP=μAF-AP,故AG=1-μAP+μAF=1-μAP+12μAE.
由13λ=1-μ,23λ=12μ,得λ =35，
得AG=15AP+25AE=15AP+2512AB+12AC=15AP+15AB+15AC，
所以
AG=15(AP+AB+AC)2=15AP2+AB2+AC2+2AP⋅AB+2AP⋅AC+2AB⋅AC =1532+22+22+2×3×2×13+2×3×2×13+2×2×2×14=335，
故选：D
变式1．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使AO⊥OC，OC⊥CB.已知AO=4，CB=3，AB=7，则线段OC的长为（ ）

A．6B．8C．23D．3
【答案】AC
【分析】依题意，AB=AO+OC+CB，两边同时平方后，利用空间向量的数量积，代入已知数据计算，即可求解．
【详解】依题意，AB=AO+OC+CB，
平方得AB2=(AO+OC+CB)2 =AO2+OC2+CB2+2AO⋅OC+2OC⋅CB+2CB⋅AO.
因为a，b所成的角为60°，CB,AO=60°或CB,AO=120°.
当CB,AO=60°时，AO⊥OC，OC⊥CB，
代入数据可得72=42+OC2+32+2×4×3×12，
所以，OC2=12，所以OC=23；
当CB,AO=120°时，AO⊥OC，OC⊥CB，
代入数据可得72=42+OC2+32-2×4×3×12，
所以，OC2=36，所以OC=6.
综上所述，OC=23或OC=6，即OC的长为6或23.
故选：AC.
变式2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120∘,PA=AB=BC=6，则PC= ．

【答案】12
【分析】首先表示向量PC=PA+AB+BC，平方后，利用数量积公式，即可求解.
【详解】PC=PA+AB+BC，
PC2=PA+AB+BC2=PA2+AB2+BC2+2PA⋅AB+PA⋅BC+AB⋅BC,
因为PA⊥平面ABC，AB,BC⊂平面ABC，
所以PA⊥AB,PA⊥BC，PA→·AB→=0，PA→·BC→=0
所以PC2=36+36+36+2×6×6×cs60∘=144，
则PC=12.
故答案为：12
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知向量a,b,c两两夹角为60°，且a=b=c=1，则a+b-c= ．
【答案】2
【分析】利用空间向量数量积公式计算出a+b-c2，从而求出答案.
【详解】由题意可得：a+b-c2=a+b-c2=a2+b2+c2+2a⋅b-2b⋅c-2a⋅c
=a2+b2+c2+2a⋅bcs60°-2b⋅ccs60°-2a⋅ccs60°
=1+1+1+2×12-2×12-2×12=2，
故a+b-c=2.
故答案为：2.
变式4．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=π3，则四棱柱对角线AC1的长为 ．
【答案】10
【分析】由空间向量线性运算及数量积的定义及性质运算即可得答案.
【详解】如图，

可得AC1=AA1+A1C1=AA1+AC=AA1+AB+AD.
则AC1=AA1+AB+AD2=AA12+AB2+AD2+2AA1⋅AB+2AB⋅AD+2AA1⋅AD
=22+12+12+2×2×1×csπ3+2×1×1×csπ2+2×2×1×csπ3=10.
故答案为：10
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°，其模均为1，则a+2b-3c= .
【答案】7
【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得.
【详解】单位向量a,b,c两两夹角均为60°，则a⋅b=b⋅c=c⋅a=1×1×cs60°=12，
所以a+2b-3c=(a+2b-3c)2=a2+4b2+9c2+4a⋅b-6a⋅c-12b⋅c
=1+4+9+2-3-6=7.
故答案为：7
变式6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，A1C1上的点，且2BM=A1M,C1N=2A1N,设AB=a，AC=b，AA1=c．

(1)试用a,b,c 表示向量MN；
(2)若∠BAC=90∘，∠BAA1=∠CAA1=60∘，AB=AC=AA1=2，求线段MN的长．
【答案】(1)-23a+13b+23c
(2)273．
【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，求得a⋅b=0且b⋅c=a⋅c=2，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解.
【详解】（1）解：因为2BM=A1M,C1N=2A1N，
根据空间向量的运算法则，可得MN=A1N-A1M=13AC-23(AB-AA1) =-23AB+13AC+23AA1=-23a+13b+23c.
（2）解：因为∠BAC=90∘，∠BAA1=∠CAA1=60∘，AB=AC=AA1=2，
可得a⋅b=0且b⋅c=a⋅c=2，
则MN2=(-23a+13b+23c)2=19(4a2+b2+4c2-4a⋅b+4b⋅c-8a⋅c)
=19(16+4+16-0+8-16)=289，所以MN=273，
即线段MN的长273．
【方法技巧与总结】
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=aa求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.
【题型7：投影向量】
例7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量a在向量e方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2B．-2C．-12D．12
【答案】A
【分析】由空间向量a在向量e方向上的投影数量为a⋅ee，运算即可得解.
【详解】由题意，a=4，e=1，a,e=2π3，
则空间向量a在向量e方向上的投影数量为a⋅ee=a⋅ecs2π3e=4×-12=-2.
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
变式1．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,B1D=3DC1，则向量AD在向量AB上的投影向量为（ ）
A．23ABB．13AB
C．34ABD．14AB
【答案】D
【分析】利用几何关系作出向量AD在向量AB上的投影即可.
【详解】如图，过D作DE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，DE//CC1，CC1⊥平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，所以DE⊥AB．
又EF,DF⊂平面DEF，EF∩DF=F，所以AB⊥平面DEF，
又DF⊂平面DEF，则AB⊥DF．
所以向量AD在向量AB上的投影向量为AF，
由B1D=3DC1，DE//CC1，得BE=3EC，
EF⊥AB，AB⊥AC,所以EF//AC,
则AFAB=CECB=14，即AF=14AB，
即向量AD在向量AB上的投影向量为14AB.
故选：D
变式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量e1，e2满足e1=2e1+e2=3，则e1在e2方向上投影的最大值是（ ）
A．3B．0C．-332D．-32
【答案】C
【分析】设向量e1,e2的夹角为θ，根据题意，求得csθ=-e22+2712e2，得到所以e1在e2方向上的投影为e1csθ=-e22+274e2=-(e24+274e2)，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为e1=2e1+e2=3，设向量e1,e2的夹角为θ，
所以e22+4e12+4e1e2csθ=9，可得e22+12e2csθ+27=0，
解得csθ=-e22+2712e2，
所以e1在e2方向上的投影为e1csθ=-e22+274e2=-(e24+274e2)≤-2e24+274e2
=-22716=-332，当且仅当e24=274e2时，即e2=33时，等号成立，
所以e1在e2方向上的投影的最大值为-332．
故选：C.
变式3．（多选）（2023·湖北十堰·二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，B1D=2DC1，则（ ）．
A．AD=AA1+23AB+13AC
B．AD=AA1+13AB+23AC
C．向量AD在向量AB上的投影向量为23AB
D．向量AD在向量AC上的投影向量为23AC
【答案】BD
【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项.
【详解】因为AD=AA1+A1B1+B1D=AA1+A1B1+23B1C1
=AA1+A1B1+23A1C1-A1B1 =AA1+13AB+23AC，故A不正确，B正确．
如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量AD在向量AB上的投影向量为AV,向量AD在向量AC上的投影向量为AW，
由题意易得AVAB=13,AWAC=23,故AV=13AB，C不正确． AW=23AC，D正确．
故选：BD
变式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量a,b,|a|=1,|b|=2,m=a+b,n=λa+b,=60°，若m⊥n，则λ的值为 ．
【答案】-52/-2.5
【分析】根据向量间的垂直关系和向量的数量积即可求解.
【详解】由题知，因为m⊥n，所以m⋅n=0，
即a+bλa+b=λa2+b2+λ+1a⋅b
=λ+4+2λ+1cs60°=2λ+5=0，
所以λ=-52.
故答案为：-52
变式5．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为 .
【答案】BC
【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定BP在向量AD上的投影向量.
【详解】四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，则BC//AD,BC=AD，即AD=BC，
且BC⊥CD，由PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则PD⊥BC，
由PD∩CD=D，PD,CD⊂面PCD，则BC⊥面PCD，
又PC⊂面PCD，则BC⊥PC，故向量BP在向量BC上的投影向量为BC，
所以向量BP在向量AD上的投影向量为BC.
故答案为：BC
变式6．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知a=4，向量e为单位向量，=120∘，则空间向量a在向量e方向上投影为 ．
【答案】-2
【分析】
根据投影的定义结合已知条件求解即可.
【详解】
因为a=4，向量e为单位向量，=120∘，
所以向量a在向量e方向上投影为acs120∘=4×(-12)=-2．
故答案为：-2
变式7．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量PC在向量BC上的投影向量为 （用向量BC来表示）.

【答案】32BC
【分析】写出PC表达式，求出PA⋅BC,AB⋅BC,BC⋅BC，即可得出向量PC在向量BC上的投影向量.
【详解】由题意，
在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，
PC=PA+AB+BC,
∵BC⊂面ABC，
∴PA⊥BC,PA⋅BC=0，
在△ABC中，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，
∴BC⋅BC=BC2=36,
AB⋅BC=AB⋅BCcs180°-∠ABC=6×6cs180°-120°=18，
∴向量PC在向量BC上的投影向量为：PC⋅BCBC2BC=PA+AB+BC⋅BCBC2BC=PA⋅BC+AB⋅BC+BC⋅BCBC2BC
=0+18+3636BC=32BC，
故答案为：32BC.
变式8．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．
(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【答案】(1)PC在平面ABC上的投影向量为AC，PC⋅AB=a2；
(2)PC在AB上的投影向量为AB，PC⋅AB=a2.
【分析】（1）根据PA⊥平面ABC可得PC在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得PC⋅AB的值.
【详解】（1）因为PA⊥平面ABC，所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，
因为PA⊥平面ABC，AB⊂面ABC，可得PA⊥AB，所以PA⋅AB=0，
因为CB⊥AB，所以BC⋅AB=0，
所以PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB
=0+a2+0=a2.
（2）由（1）知：PC⋅AB=a2，AB=a，
所以PC在AB上的投影向量为：
PC⋅csPC,AB⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB，
由数量积的几何意义可得：PC⋅AB=AB⋅AB=a2.
【方法技巧与总结】
类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量AB， 在轴l上投影（空间称为射影）的过程.
已知图形向量AB=a，l为轴，向量e是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则A'B’称为向量AB在轴l上或在e的方向上的正射影；可以证明A’B’=|AB|cs。
注意：轴l上的正射影A'B’对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量
AB与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度.
【题型8：共面问题】
例8．（23-24高二上·广东江门·期中）若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．c+b，b，c-bB．a+b，a，a-b
C．a+c，a-c，bD．a+c，b，a+b+c
【答案】C
【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为b=12(c+b)-12(c-b)，所以c+b，b，c-b三个向量共面，所以A错误，
对于B，因为a=12(a+b)+12(a-b)，所以a+b，a，a-b三个向量共面，所以B错误，
对于C，假设a+c，a-c，b三个向量共面，则存在实数x,y，使b=x(a+c)+y(a-c)=(x+y)a+(x-y)c，
所以a,b,c三个向量共面，
因为{a,b,c}是空间的一个基底，所以a,b,c三个向量不共面，
所以假设错误，所以a+c，a-c，b三个向量不共面，所以C正确，
对于D，因为a+b+c=(a+c)+b，所以a+c，b，a+b+c三个向量共面，所以D错误，
故选：C
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面α内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面α内存在一点D满足PD=xPA+2-x PB+3xPC，则x的值为（ ）
A．0B．-19C．-13D．-23
【答案】C
【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.
【详解】∵空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，
∴x+2-x+3x=1，解得：x=-13.
故选：C
变式2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在四面体OABC中，空间的一个点M满足OM=14OA+15OB+λOC，若M,A,B,C四点共面，则λ等于（ ）
A．1221B．1120C．35D．12
【答案】B
【分析】根据空间四点共面可得14+15+λ=1，解之即可.
【详解】因为M,A,B,C四点共面，OM=14OA+15OB+λOC，
所以14+15+λ=1，解得λ=1120.
故选：B.
变式3．（22-23高二上·江西·阶段练习）已知点P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若OP=mOA+nOB+2OC，则m+n的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出m+n的值.
【详解】因为点P为△ABC所在平面内一点，设AP=λAB+μAC，其中λ、μ∈R，
即OP-OA=λOB-OA+μOC-OA，
所以，OP=1-λ-μOA+λOB+μOC=mOA+nOB+2OC，
所以，m+n+2=1-λ-μ+λ+μ=1，所以，m+n=-1.
故选：B.
变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体PABC中，对空间内任意一点Q，满足PQ=xPA+13PB+14PC，则下列条件中可以确定点Q与A，B，C共面的为（ ）
A．x=512B．x=712C．x=12 D．x=18
【答案】A
【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解.
【详解】因为PQ=xPA+13PB+14PC，
所以点Q与A，B，C共面等价于x+13+14=1，即x=512.
故选：A.
变式5．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是（ ）
A．OM=2OA-OB-OCB．OM=14OA+14OB+14OC
C．OM+OA+OB+OC=0D．OM=16OA+13OB+12OC
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得.
【详解】对于A，OM=2OA-OB-OC中，2+(-1)+(-1)=0≠1，A不是；
对于B，OM=14OA+14OB+14OC中，14+14+14=34≠1，B不是；
对于C，OM+OA+OB+OC=0化为OM=-OA-OB-OC，-1+(-1)+(-1)=-3≠1，C不是；
对于D，OM=16OA+13OB+12OC中，16+13+12=1，D是.
故选：D
变式6．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知PA，PB，PC不共面，PM=3-x-yPA+xPB+y-2PC，则（ ）
A．∀x，y∈R，A，B，C，M四点共面B．∀x，y∈R，A，B，C，M四点不共面
C．∀x，y∈R，A，B，C，P四点共面D．∃x，y∈R，A，B，C，四点共面
【答案】A
【分析】根据共面的推论即可求解.
【详解】∵3-x-y+x+y-2=1，∴∀x，y∈R，A，B，C，M四点共面.
故选:A.
变式7．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）O为空间任意一点，若OP=34OA+18OB+tOC，若A、B、C、P四点共面，则t=（ ）
A．1B．12C．18D．14
【答案】C
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出t的值.
【详解】空间向量共面的基本定理的推论：OP=xOA+yOB+zOC，且A、B、C不共线，
若A、B、C、P四点共面，则x+y+z=1，
因为O为空间任意一点，若OP=34OA+18OB+tOC，且A、B、C、P四点共面，
所以，34+18+t=1，解得t=18.
故选：C.
【方法技巧与总结】
利用向量法证明向量共面的策略
（1）若已知点P在平面ABC内，则有OP=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOBzOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
【题型9：最值取值范围问题】
例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，球O是正方体的内切球，点G是内切球O表面上的一个动点，则GB⋅GC的取值范围为（ ）
A．0,4B．2-22,0
C．4,2+22D．2-22,2+22
【答案】D
【分析】根据题意，取BC中点为H，则GB⋅GC=GH2-HC2=GH2-1，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
取BC中点为H，因为GB=GH+HB，GC=GH+HC，
所以GB⋅GC=GH2-HC2=GH2-1，
又GH=GO+OH，则GH2=GO2+OH2+2GO⋅OH，
又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则GO=1，OH=2，
所以GH2=3+22csGO,OH，
所以GB⋅GC=GH2-1=2+22csGO,OH，
所以当GO，OH反向时，csGO,OH=-1，GB⋅GC有最小值为2-22；
当GO，OH同向时，csGO,OH=1，GB⋅GC有最大值为2+22.
故选：D.
变式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中点，H是△ABD内的动点（含边界），且EH//平面ACD，则CA⋅EH的取值范围是（ ）
A．0,3B．12,3C．12,112D．3,112
【答案】B
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面EFG//平面ACD，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABD，进而有EG⊥FG，cs∠EFG=FGEF，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得FG//AD，EF//AC，EG//CD，
因为FG⊂平面EFG，AD⊄平面EFG，所以AD//平面EFG，
同理AC//平面EFG，
又因为AC,AD⊂平面ACD，AC∩AD=A，所以平面EFG//平面ACD.
因为EH//平面ACD，所以H为线段FG上的点.
由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD，
又∠BDC=90°，则BD⊥CD，
由AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD，得CD⊥平面ABD，
因为EG//CD，所以EG⊥平面ABD，EG⊥FG，cs∠EFG=FGEF.
因为BD=2AB=2CD=2，
所以FG=12AD=52，BC=5，EF=12AC=62.
所以CA⋅EH=2EF⋅EF+FH=2EF2+2EF⋅FH
=2EF2+2EF⋅FHcsπ-∠EFG=2EF2-2EF⋅FHcs∠EFG
=2EF2-2FH⋅FG=3-5FH.
因为FH∈0,52，所以CA⋅EH∈12,3.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到CA⋅EH=3-5FH，从而得解.
变式2．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1中，点P是AA1的中点，点M，N是矩形BB1D1D内（包括边界）的任意两点，则PM⋅PN的取值范围是（ ）
A．[14,54]B．[-14,54]C．[12,54]D．[-12,54]
【答案】B
【分析】设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，连接OP，OM，ON，根据向量的线性运算可得PM⋅PN=12+OM⋅ON，再分析OM⋅ON的范围求解即可.
【详解】设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知，OP⊥OM，OP⊥ON，那么PM⋅PN=PO+OM⋅PO+ON=PO2+PO⋅ON+OM⋅PO+OM⋅ON，又PO=22，所以PM⋅PN=12+OM⋅ON.
当OM与ON反向，且OM=ON=12BD1=32时，OM⋅ON有最小值，此时PM⋅PN=12-34=-14；
当OM与ON同向，且OM=ON=12BD1=32时，OM⋅ON有最大值，此时PM⋅PN=12+34=54，即PM⋅PN的取值范围为-14,54．
故选：B
变式3．（多选）（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体ABCD中，棱长为22．点P满足PA+PB=2，则AP⋅AD的（ ）
A．最小值为4-22．
B．最大值为2+22
C．最小值为2-22
D．最大值为4+22
【答案】BC
【分析】由题意，确定点P在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得AP⋅AD的表达式，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】设AB的中点O，则PO=12PA+12PB，即2PO=PA+PB，
又PB+PA=2，所以PO=1，
即点P落在以O为球心，以1为半径的球上.
因为AP=AO+OP，所以AP⋅AD=(AO+OP)⋅AD=AO⋅AD+OP⋅AD.
由正四面体ABCD的棱长为22，得AO=2，
所以AO⋅AD=AOADcs60°=2×22×12=2，
设OP,AD=θ，则AP⋅AD=AO⋅AD+OP⋅AD=2+OPADcsθ=2+22csθ，
又-1≤csθ≤1，所以2-22≤2+22csθ≤2+22，
即AP⋅AD的最大值为2+22，最小值为2-22.
故选：BC
变式4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球O的半径为1,AB是球O的直径，点D在球O的球面上.若空间中一点C与点D间的距离为3，则CA⋅CB的最小值为 .
【答案】3-23
【分析】利用向量的四则运算可得CA⋅CB=CD+DA⋅CD+DB，再根据数量积的公式和运算律求解即可.
【详解】由题意可得点C在以D为球心，3为半径的球上，
所以CA⋅CB=CD+DA⋅CD+DB=CD2+CD⋅DB+DA⋅CD+DA⋅DB
=3+CD⋅DB+DA+0=3-2DC⋅DO=3-2CDDOcs∠CDO，
因为∠CDO∈0,π，所以CDDOcs∠CDO=3cs∠CDO∈-3,3，
所以CA⋅CB∈3-23,3+23，所以CA⋅CB的最小值为3-23，
故答案为：3-23
变式5．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM⋅PN的最大值是 ，最小值是 .
【答案】 2 0
【分析】先利用正方体的性质求得PS的取值范围，再利用空间向量的数量积即可得解.
【详解】设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1，
当点P在正方体的面的中心时，PS取得最小值1；
当点P在正方体的顶点时，PS取得最大值3，所以1≤PS≤3；
故PM⋅PN=(PS+SM)⋅(PS+SN)
=PS+SM⋅PS-SM=PS2-1∈0,2，
所以PM⋅PN的最大值是2，最小值是0.
故答案为：2；0.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将PM⋅PN转化为PS2-1，从而得解.
变式6.（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量a,b,c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若ka+b+c>6，则k的取值范围为 ．
【答案】-∞,-3∪1,+∞
【分析】利用向量数量积运算求解.
【详解】因为a→，b→，c→的模均为1，他们之间的夹角均为60°，所以：a→2=b→2=c→2=1，a→·b→=c→·b→=a→·c→=12.
又ka→+b→+c→2=k2a→2+b→2+c→2+2ka→·b→+2ka→·c→+2c→·b→ =k2+2k+3 >6
所以：k2+2k-3>0 ⇒ k+3k-1>0 ⇒ k<-3或k>1.
故答案为：-∞,-3∪1,+∞
变式7．（22-23高二·浙江温州·阶段练习）正四面体A-BCD的棱长为2，空间动点P满足|PB+PC|=2，则PA⋅PD的取值范围是 .
【答案】[2-22,2+22]
【分析】由向量的线性运算公式化简|PB+PC|=2，结合数量积的运算律化简AP⋅PD，由此求出其取值范围即可.
【详解】取BC的中点为E，AD的中点为F，
因为|PB+PC|=2，所以2|PE|=2，即|PE|=1，
又AP⋅PD=-PA⋅PD=-(PF+FA)⋅(PF+FD)=-PF2-FA2=FA2-PF2，
因为PF=PE+EF，
所以|PF|=|PE+EF|⩽|PE|+|EF|，当且仅当PE,EF方向相同或PE为零向量时等号成立；
|PF|=|PE+EF|≥PE-EF，当且仅当PE,EF方向相反或PE为零向量时等号成立；
因为正四面体A-BCD的棱长为2，
所以在△ADE中，EA=3,ED=3,AD=2，
所以EF=2，即EF=2，故2-1≤|PF|≤1+2，
所以3-22≤|PF|2≤3+22，又|FA|=1，
所以-2-22≤FA2-PF2≤22-2，即2-22≤PA⋅PD≤22+2.
故答案为：[2-22,2+22].
一、单选题
1．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，P为A1B1中点，Q为PC中点，设AB=a,，AC=b，AA1=c，则AQ可用a，b，c表示为（ ）
A．14a+12b+12cB．18a+12b+12cC．18a+14b+14cD．18a+18b+12c
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算法则直接计算.
【详解】由题意可得AP=AA1+A1P=AA1+12A1B1=AA1+14AB=c+14a，
而AQ=12AC+12AP=12b+12c+14a=18a+12b+12c，
故选：B.
2．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB，CD的中点，则AB+CF等于（ ）
A．AD'B．AC'C．DED．AE
【答案】D
【分析】根据向量加法，减法的几何意义及相等向量的定义进行化简即可.
【详解】解：AB+CF=AB+BE=AE，所以D正确，A，B，C错误.
故选：D
3．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知a=2i-2j+λk，b=4i-j+5k（i，j，k为两两互相垂直的单位向量），若a⊥b，则λ=（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】C
【分析】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可.
【详解】a⋅b=2i-2j+λk⋅4i-j+5k =8i2+2j2+5λk2-10i⋅j+10+4λi⋅k+-10-λj⋅k
∵i，j，k为两两互相垂直的单位向量，
∴i2=1，j2=1，k2=1，i⋅j=0，i⋅k=0，j⋅k=0，
∴a⋅b=8+2+5λ=10+5λ，
∵a⊥b，∴a⋅b=0，∴10+5λ=0，
解得λ=-2，
故选：C.
4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在三棱锥O-ABC中，设OA=a,OB=b,OC=c，若AN=NB，2BM=5MC，则MN=（ ）
A．12a+16b-23cB．12a-16b+23cC．12a+314b-57cD．12a+514b-37c
【答案】C
【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解.
【详解】连接OM,ON，
MN=ON-OM=12OA+OB-OC+CM=12OA+OB-OC-27CB
=12OA+OB-OC-27OB-OC
=12OA+314OB-57OC
=12a+314b-57c.
故选：C
5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知a=3p-2q,b=p+q，p,q是相互垂直的单位向量，则a⋅b＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案.
【详解】p,q是相互垂直的单位向量，故p⋅q=0,p=q=1，
故a⋅b=3p-2q⋅p+q=3p2+p⋅q-2q2=3+0-2=1.
故选：A
6．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则AB+12(BD+BC)＝（ ）
A．AGB．CGC．BCD．12BC
【答案】A
【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解.
【详解】如图，四面体ABCD，G是CD的中点，

因为G是CD的中点，所以BG→=12(BD→+BC→)
所以AB+12(BD+BC)=AB+BG=AG.
故选：A.
7．（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则AC1的长为（ ）
A．23B．25C．26D．6
【答案】C
【分析】先将AC1用AB,AD,AA1表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，所以AC12=AB+AD+AA12=AB2+AD2 +AA12+2AB⋅AD+2AB⋅AA1+2AD⋅AA1
=4+4+4+2×2×2×cs60°+2×2×2×cs60°+2×2×2×cs60°
=4+4+4+4+4+4=24，
从而AC1=26，即AC1的长为26．
故选：C.
8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则(AB+AD)⋅AD+AA1=（ ）
A．1B．0C．-1D．2
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解.
【详解】(AB+AD)⋅AD+AA1=AB⋅AD+AB⋅AA1+AD2+AD⋅AA1=0+0+1+0=1,
故选：A
二、多选题
9．（23-24高一下·吉林·期末）已知a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．a+2c，a+2b，b-c
B．a+2b，a-b，b-c
C．a-b，a+c，b-c
D．a+b，a+b+c，b+c
【答案】BCD
【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项.
【详解】A选项：令a+2c=xa+2b+yb-c，则x=12x+y=0-y=2，解得x=1y=-2，即a+2c，a+2b，b-c共面，故A选项不符合题意；
B选项：设a+2b=xa-b+yb-c，则x=1-x+y=2-y=0，此方程组无解，即a+2b，a-b，b-c不共面，故B选项符合题意；
C选项：设a-b=xa+c+yb-c，则x=1y=-1x-y=0，此方程组无解，即a-b，a+c，b-c不共面，故C选项符合题意；
D选项：设a+b=xa+b+c+yb+c，则x=1x+y=1x+y=0，此方程组无解，a+b，a+b+c，b+c不共面，故D选项符合题意；
故选：BCD.
10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知a，b，c是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．若a=b，则a=b或a=-b
B．若a+b=a-b，则a⋅b=0
C．若a=b=a+b，则a与a-b的夹角为π3
D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC=A1C1
【答案】BD
【分析】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。
【详解】对于A，若a=b，但a，b的方向不确定，A错误；
对于B，若a+b=a-b，两边平方得a2+b2+2a⋅b=a2+b2-2a⋅b，
则a⋅b=0，B正确；
对于C，a=b=a+b，则a2=a+b2，即得a⋅b=-12a2，
故a⋅a-b=a2-a⋅b=32a2，a-b=a-b2=a2-2a⋅b+b2=3a，
故cs〈a,a-b〉=a⋅a-baa-b=32a2a⋅3a=32，
而〈a,a-b〉∈[0,π]，故a与a-b的夹角为π6，C错误；
对于D，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1,AA1=CC1，
故四边形AA1C1C为平行四边形，故AC∥A1C1,AC=A1C1，
故AC=A1C1，D正确，
故选：BD
11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2,M为A1D1的中点，动点P在正方形ABCD内（包含边界）运动，且MP=5.下列结论正确的是（ ）
A．动点P的轨迹长度为π；
B．异面直线MP与BB1所成角的正切值为2；
C．MP⋅AB的最大值为2；
D．三棱锥P-MAD的外接球表面积为25π4.
【答案】ACD
【分析】取AD的中点N，分析可知MN⊥平面ABCD.对于A：分析可知动点P的轨迹是以点N为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线MP与BB1所成角即为∠PMN，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知O∈MN，进而求球的半径和表面积.
【详解】取AD的中点N，连接MN,NP，
因为M,N分别为A1D1,AD的中点，则MN∥AA1，且MN=AA1=2，
又因为AA1⊥平面ABCD，则MN⊥平面ABCD，
由NP⊂平面ABCD，可得MN⊥NP.
对于选项A：在Rt△MNP中，NP=MP2-MN2=1，
可知动点P的轨迹是以点N为圆心，半径为1的半圆，
所以动点P的轨迹长度为12×2π×1=π，故A正确
对于选项B：因为MN∥AA1，BB1∥AA1，则MN∥BB1，
可知异面直线MP与BB1所成角即为∠PMN，其正切值为tan∠PMN=NPMN=12，故B错误；
对于选项C：因为线段MP在平面ABCD内的投影为NP，
结合选项A可知：MP在AB方向上的投影数量的最大值为1，
所以MP⋅AB的最大值为1×AB=2，故C正确；
对于选项D：设三棱锥P-MAD的外接球的球心为O，半径为R，
因为MN⊥平面ABCD，且N为△PAD的外接圆圆心，可知O∈MN，
则R2=2-R2+1，解得R=54，
所以三棱锥P-MAD的外接球表面积为4πR2=25π4，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量a,b的夹角的余弦值为14,a=2,b=4，则a⋅b-a=
【答案】-2
【分析】
先根据数量积的定义可得a⋅b=2，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】
由题意可得a⋅b=2×4×14=2，
所以a⋅b-a=a⋅b-a2=2-22=-2．
故答案为：-2.
13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体 ABCD中，AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,E,F分别为AC,BD的中点，则EF=
【答案】3a+3b-5c
【分析】根据空间向量的运算，将EF用AB,CD来表示，即可求得答案.
【详解】由题意得EF=EA+AB+BF=12CA+AB+12BD
=12CD+DA+AB+12BA+AD
=12CD+AB+12BA
=12CD+12AB
=125a+6b-8c+a-2c=3a+3b-5c，
故答案为：3a+3b-5c
14．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120∘，若异面直线A1B和AD1所成的角的大小是90∘，则AA1的长度是 .
【答案】2
【分析】利用基底表示向量A1B和AD1，利用数量积公式，即可求解.
【详解】由题意可知，AA1⊥AB，AA1⊥AD，且∠BAD=60∘，
A1B⋅AD1=AB-AA1⋅AD+AA1，
=AB⋅AD+AB⋅AA1-AD⋅AA1-AA12，
=2×2×cs60∘+0-0-AA12，
由题意可知，A1B⋅AD1=0，所以AA12=2，所以AA1=2.
故答案为：2
四、解答题
15．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=60°，求：
(1)AA'⋅AB；
(2)AB'的长.
【答案】(1)10
(2)61
【分析】（1）利用数量积的定义即可求解；
（2）根据模长公式即可求解.
【详解】（1）AA'⋅AB=|AA'||AB|cs∠A'AB=5×4×12=10．
（2）因为AB'=AA'+AB，
所以|AB'|=(AA'+AB)2=(AA')2+2AA'⋅AB+(AB)2=25+20+16=61．
16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5，∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC.
(1)求BA⋅BC；
(2)求CD的长.
【答案】(1)-6
(2)77
【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可；
（2）先利用加法法则表示CD=CB+BA+AD，然后利用数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）因为AB=3，BC=4，∠ABC=120°，
所以BA⋅BC=BABCcsBA,BC=3×4×cs120°=-6；
（2）因为CD=CB+BA+AD，
所以CD2=CB+BA+AD2=CB2+BA2+AD2+2CB⋅BA+BA⋅AD+CB⋅AD
=16+9+25+24×3×cs60°+3×5×cs60°+4×5×cs90°=77，
所以CD=CD=77.
17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN.
(1)用向量OA，OB，OC表示OP；
(2)求|OP|.
【答案】(1)OP=14OA+14OB+14OC
(2)|OP|=64
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算OP2=14OA+14OB+14OC2，再开方即可求解.
【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN.
所以OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34ON-OA=14OA+34ON=14OA+34×23OM =14OA+12×12OB+OC=14OA+14OB+14OC；
（2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，
所以OA=OB=OC=1，∠AOB=∠AOC=∠BOC=π3，
所以OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC=1×1×12=12，
所以OP2=14OA+14OB+14OC2
=116OA2+116OB2+116OC2+2⋅14⋅14OA⋅OB+2⋅14⋅14OB⋅OC+2⋅14⋅14OA⋅OC
=116+116+116+116+116+116=38，所以|OP|=64.
18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=1，CC1=2．
(1)求A1C的长．
(2)求异面直线CA1与DC1所成的角的余弦值．
【答案】(1)11
(2)73366
【分析】（1）利用CA2=CD+CB+CC12及向量的运算律和数量积求解即可.
（2）利用CA1⋅DC1=CD+CB+CC1⋅CC1-CD及向量的数量积求夹角即可.
【详解】（1）CA12=CD+CB+CC12=CD2+CB2+CC12+2CD⋅CB+CD⋅CC1+CB⋅CC1
=1+1+4+21×1×cs60°+1×2×cs60°+1×2×cs60°=11，
所以CA1=11，
即A1C的长为11.
（2）CA1⋅DC1=CD+CB+CC1⋅CC1-CD
=CD⋅CC1-CD⋅CD+CB⋅CC1-CB⋅CD+CC1⋅CC1-CC1⋅CD
=1-1+1-12+4-1=72，
又由余弦定理得DC1=DC2+CC12-2DCCC1cs60°=3，
所以设所求异面直线所成角为θ，csθ=csCA1,DC1=CA1⋅DC1CA1⋅DC1=73366.
19．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD=π4，∠A1AB=π4，∠BAD=π3，AB=6，AD=4，AA1=32，AC与BD相交于点O．

(1)求AB⋅AD；
(2)求A1O的长．
【答案】(1)12
(2)7
【分析】（1）根据AB⋅AD=AB⋅AD⋅csAB,AD，代入数值直接求得结果；
（2）化简可得A1O=12AB+12AD-AA1，然后采用先平方再开方的方法求解出A1O，则A1O的长可知.
【详解】（1）AB⋅AD=AB⋅AD⋅csAB,AD=6×4×csπ3=12.
（2）因为A1O=AO-AA1=12AC-AA1=12AB+AD-AA1=12AB+12AD-AA1，
所以A1O=12AB+12AD-AA1=12AB+12AD-AA12
=14AB2+14AD2+AA12+12AB⋅AD-AB⋅AA1-AA1⋅AD
=14×36+14×16+18+12×6×4×csπ3-6×32×csπ4-32×4×csπ4
=9+4+18+6-18-12=7，
所以A1O的长为7.
20．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形ABCD中，E为BC中点，AD=2AB.以DE为折痕将四边形ABED折起，使A，B分别达到A1，B1，当异面直线CD，B1E成角为π3时，异面直线CD，A1B1成角余弦值为（ ）
A．12B．33C．22D．32
【答案】A
【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】不妨设AD=2AB=2，
由于B1E//A1D，所以∠A1DC即为直线CD，B1E所成的角,
故DC⋅DA1=1×2×12=1,DC⋅B1A1=DC⋅B1E+ED+DA1=DC⋅B1E+DC⋅ED+DC⋅DA1 =DC⋅-12DA1-DC⋅DE+DC⋅DA1=12DC⋅DA1-DC⋅DE=12-1×2×22=-12又DC=B1A1=1，
所以csDC,B1A1=-12，因此异面直线CD，A1B1成角余弦值为12，
故选：A
21．(多选) （23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是（ ）
A．AA1+AD+AB2=3AB2
B．A1C⋅AB1=0
C．AD1与AB1夹角为60°
D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为AB⋅AA1⋅AD
【答案】ABC
【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设正方体的棱长为a，
A选项，AA1+AD+AB2=AA12+AD2+AB2+2AA1⋅AD+AA1⋅AB+AD⋅AB
=3a2=3AB2，A选项正确；
B选项，A1C⋅AB1=AC-AA1⋅AB+AA1
=AB+AD-AA1⋅AB+AA1=AB-AA1⋅AB+AA1+AD⋅AB+AA1
=AB2-AA12+AD⋅AB+AD⋅AA1=a2-a2=0，B选项正确；
C选项，由于三角形AB1D1是等边三角形，所以AD1与AB1夹角为60°，C选项正确；
D选项，AB⋅AA1⋅AD=0，所以D选项错误.
故选：ABC
22.（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角α－l－β的大小为60°，其棱l上有两个点A,B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝3,AC＝2,BD＝2,则C,D两点间的距离为 ．

【答案】13
【分析】利用向量的线性关系可得CD=CA+AB+BD，两边平方可求CD的长度.
【详解】因为二面角α－l－β的大小为60°，CD=CA+AB+BD，
CD2=CA+AB+BD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2AB⋅BD+2CA⋅BD
=4+9+4+2CABDcs120°=17-4=13.
|CD|=13,即C,D两点间的距离为13.
故答案为：13
23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1=4，且∠A1AD=∠A1AB=60°，M为BD中点，P为BB1中点，设AB=a，AD=b，AA1=c.

(1)用向量a，b，c表示向量PM；
(2)求线段PM的长度．
【答案】(1)PM=12(b-a-c)
(2)6
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，
（2）根据向量的模长公式，即可代入求解.
【详解】（1）因为M为BD中点，P为BB1中点， AB=a，AD=b，AA1=c，
所以PM=PB+BM=12B1B+12BD =-12BB1+12(AD-AB)
=12AD-12AB-12BB1 =12(AD-AB-AA1) =12(b-a-c)
（2）因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1=4，且∠A1AD=∠A1AB=60°，
所以a=b=2，c=4，a⋅b=0,a⋅c=b⋅c=2×4×12=4，
所以PM2=14(b-a-c)2=14(b2+a2+c2-2a⋅b-2b⋅c+2a⋅c)
=14×(4+4+16-0-8+8)=6
所以PM=6，即线段PM长为6
24．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a，OB=b，OC=c.
(1)试用向量a，b，c表示向量OE；
(2)若OA=OC=3，OB=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求OE⋅AC的值.
【答案】(1)12a+13b+16c；
(2)-32
【分析】（1）根据向量的线性运算求出OE即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1）∵ 2BD=DC，
∴BD=13BC=13(OC-OB)=13(c-b)，
故OD=OB+BD=b+13(c-b)=23b+13c→,
∵点E为AD的中点，
故OE=12(OA+OD)=12a+13b+16c.
（2）由题意得a⋅c=92,a⋅b=3,c⋅b=3，
故AC=OC-OA=c-a，
故OE⋅AC=(12a+13b+16c)⋅(c-a)
=-12a2+16c2+13a⋅c+13b⋅c-13b⋅a
=-12×9+16×9+13×92+13×3-13×3
=-32.
课程标准
学习目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及远算律，
3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法
4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。
1.理解空间向量的观点，掌握其表示方法:
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律:
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
名称
运算法则
特点
图示
加法运算
三角形法则
首尾相接首尾连（通过平移）
平行四边形法则
起点相同（共起点）（通过平移）
减法运算
平行四边形法则
起点相同连终点，被减向量定指向。
数乘运算
实数λ的作用：正负定方向，数值定模比
定义
a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示

表示
〈a,b〉.
范围
[0,π]
定义
已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cs〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作 a·b .即a·b=|a||b|cs〈a,b〉.
规定
零向量与任意向量的数量积为 0
交换律
a·b= b·a
结合律
(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律
a·(b+c)= a·b+a·c