初中数学第6章 图形的相似6.5 相似三角形的性质课后复习题

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考察题型一 相似三角形的性质
【对应角、对应边】
1．如图，，，，则的度数是
A．B．C．D．
【详解】解：，，，
，
．
故本题选：．
2．如图，已知、分别在的、边上，，则下列各式成立的是
A．B．
C．D．
【详解】解：，
，
推不出，错误；
，
，故正确；
推不出，错误；
推不出，错误．
故本题选：．
【周长、面积之比】
3．如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为 ．
【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为，
两个相似三角形的面积之比为，
两个相似三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比为，
设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为，
，解得：，
较小的三角形的周长为40．
故本题答案为：40．
4．如图是学生用具三角尺，，，其中，长为，长为，则这个三角尺中与的面积比为
A．B．C．D．
【详解】解：，，
，
，
面积：的面积，
，
面积：的面积．
故本题选：．
5．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为
A．6B．18C．54D．108
【详解】解：，
三边长为3，4，5的三角形是直角三角形，面积，
又与其相似的三角形的最长边为15，
两个三角形的相似比为，
两个三角形的面积比为，
较大的三角形的面积为．
故本题选：．
【对应线段之比】
6．若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为
A．B．C．D．不能确定
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，
这两个三角形的相似比为，
这两个相似三角形的周长比为．
故本题选：．
7．若两个相似三角形的面积比是，则它们对应边的中线之比为
A．B．C．D．
【详解】解：两个相似三角形的面积之比是，
这两个三角形的相似比为，
这两个相似三角形对应边上的中线之比为．
故本题选：．
8．△，，分别是和△的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有
①，
②，
③，
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：△，，分别是和△的角平分线，且，
，，故①②正确， ④错误；
，故③错误．
故本题选：．
考察题型二 射影定理
1．如图，中，，于点，下列结论中错误的是
A．B．C．D．
【详解】解：，于点，
，，．
故本题选：．
2．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为
A．8B．9C．10D．12
【详解】解：由射影定理可得：，
，，
．
故本题选：．
3．如图，在中，，于点，若，，则的长为
A．B．2C．4D．
【详解】解：，于点，
，即，
解得：或（舍）．
故本题选：．
4．如图，在中，，于，，，则的值是
A．B．6C．5D．4
【详解】解：中，，于点，
，
，
，，
，
．
故本题选：．
5．中，，点在上且，，，则 ．
【详解】解：如图，
中，，，
，
，
解得：或（舍），
中，，，
，
．
故本题答案为：．
6．如图，中，，于点．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
整理得：，
解得：（舍）或，
，
．
7．设，，称为，的“调和平均数”，如图，为线段上的点，且，，是的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，如：图中的线段的长度是，的算术平均数，则长度是，的“调和平均数”的线段是
A．B．C．D．
【详解】解：是圆的直径，
，又，
，
线段的长度是，的算术平均数，
，
，，
，
，
线段的长度是，的“调和平均数”．
故本题选：．
1．如图，在等腰中，，，于点，点是边上的一个动点，以为边向右作，连接，则的最小值为 ．
【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
的最小值即为．
故本题答案为：．
2．如图是一个由、、三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，、、的纸片的面积分别为、、，与，与的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若，则这个矩形的面积一定可以表示为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，设，，，
，，，
，
，
整理得：，
或（舍），
，，
，
这个矩形的面积．
故本题选：．
3．如图，在中，，，平分交于，于，则下列结论：①；②；③；④若为中点，则，其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：①、，，
，
，即，故①正确；
②，
，故②正确；
③如图，作，则，
平分，，
，
，故③正确；
④若为中点，则，
，，
，
，故④正确．
故本题选：．
4．如图，为半圆的直径，于点，且，若，，则的长为 ．
【详解】解：如图，连接，
是直径，
，
在直角中，由勾股定理可得：，
，
设，则，，
又，
，解得：，
，
，
，
连接，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
，
．
故本题答案为：．
5．如图，已知是半圆直径，点为半圆上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折，得到，交半于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，，求的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
将沿翻折，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
直线是的切线；
（2）解：连接，
是直径，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
在和中，
，
，
．
6．【问题情境】如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接，
（1）试利用射影定理证明；
（2）若，求的长．
【详解】【问题情境】
证明：如图1，
，
，
而，
，
，
；
【结论运用】
（1）证明：如图2，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，即，
而，
；
（2），而，
，，
在中，，
在中，，
，
，即，
．