初中数学苏科版（2024）九年级下册6.2 黄金分割练习题

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考察题型一 黄金分割的概念辨析
1．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了
A．轴对称B．旋转C．平移D．黄金分割
【详解】解：0.618是黄金分割数，
体现了黄金分割．
故本题选：．
2．已知点把线段分成两条线段，，下列说法错误的是
A．如果，那么线段被点黄金分割
B．如果，那么线段被点黄金分割
C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比
D．0.618是黄金比的近似值
【详解】解：根据黄金分割的定义可知：、、正确；
、如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比，故错误．
故本题选：．
3．人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
【详解】解：为的黄金分割点，
．
故本题选：．
考察题型二 与黄金分割有关的计算
1．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长25米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是
A．B．C．D．
【详解】解：由题意可得：，
．
故本题选：．
2．（1）如图，这是一个鹦鹉螺外壳．经研究发现，点是线段的黄金分割点．若线段长为，则长的近似值约为 （精确到0.01）．
（2）点在线段上，且，若，那么线段的值是
A．B．C．D．
【详解】解：（1）点是线段的黄金分割点，
．
故本题答案为：1.24．
（2）点在线段上，且，
点是线段的黄金分割点，
，
，
．
故本题选：．
3．在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即脚底到肚脐的长度与身高的比值越接近0.618越给人以美感．小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
A．B．C．D．
【详解】解：设她应该穿高的高跟鞋看起来会更美，
小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为，
小明的妈妈脚底到肚脐的长度为，
由题意可得：，解得：，
经检验：是原方程的根，
她应该穿高的高跟鞋看起来会更美．
故本题选：．
4．（1）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是
A．B．C．D．
（2）已知线段的长度为2，点是线段的黄金分割点，则的长度为
A．B．C．或D．或
（3）点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是
A．1B．C．D．
【详解】解：（1）为的黄金分割点，，
，
．
故本题选：．
（2）线段，点是线段的黄金分割点，
当时，；
当时，，
；
综上，的长度为或．
故本题选：．
（3）如图，
点，点是线段的黄金分割点，，
，
，
．
故本题选：．
5．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点、、分别是线段、、的黄金分割点，，，，若，则的长是
A．B．C．D．
【详解】解：如图（1），
点是线段的黄金分割点，
令，则，
如图（2），
同理：，
．
故本题选：．
6．（1）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为
A．B．C．D．
（2）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是
A．B．C．D．
【详解】解：是线段的黄金分割点，且，
，
，
．
故本题选：．
（2）点是线段的黄金分割点，且，
，
，，，
故选项、、不合题意，选项符合题意．
故本题选：．
7．（1）如图，已知点是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为 ．
（2）如图，在四边形中，，为边的黄金分割点，，，、将四边形分为四个部分，它们的面积分别用、、、表示，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【详解】解：（1）是线段的黄金分割点，且，
，
表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，
，，
．
故本题答案为：．
（2）设，
是的黄金分割点，，
，，
，，
，即，
．
故本题选：．
考察题型三 黄金三角形与黄金矩形
1．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为
A．B．C．D．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
是“黄金三角形”，
，
，
．
故本题选：．
2．顶角为的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为 ．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，，
，，
，
是“黄金三角形”，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
3．两个底角为，顶角为的等腰三角形，叫做“黄金三角形”，这种三角形既美观又标准．如图，在中，，，，为的角平分线，则图中“黄金三角形”的个数是
A．1B．4C．5D．6
【详解】解：在等腰中，，，
，
，分别是的角平分线，
，，
，
，，
，
，，
图中“黄金三角形”有：，，，，，共5个．
故本题选：．
4．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则
A．B．C．D．
【详解】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
，解得：，
经检验：是原方程的根，
．
故本题选：．
5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以折叠出一个黄金矩形．第一步，在一张矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为；第四步，如图4，展平纸片，按照所得的点折出，使．则下列是黄金矩形的是
A．矩形B．矩形C．矩形D．矩形
【详解】解：由题意可得：四边形为正方形、四边形、、、为长方形，且，，
令正方形为2，则，
、分别为、的中点，
，
，
，
，
矩形为黄金矩形．
故本题选：．
6．如果是我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段．
（1）求的度数：
（2）在第（1）题图中，延长交于，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，求的长．
【详解】解：（1）如图，连接，
由折叠可得：，，垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
四边形为矩形，
，
；
（2）如图，
是矩形纸片，，
，
黄金矩形以为宽，，
，
，
，
，
由勾股定理可得：，
．
1．一个篮球从一定高度自由下落到水平地面上，弹起后会到达一个低于初始高度的最高点位置，又落回地面，接着继续弹起，整个过程中篮球的轨迹都在同一直线上，且篮球每次弹起达到最高点时，其具有的重力势能都大于该篮球前一次弹起达到最高点时的一半．小英将该篮球从距离水平地面10米处的点处扔下，使之自由下落，落到水平地面上的点处后弹起，第一次弹起后到达最高点时，篮球位于点处，第二次位于点处，且，分别为，的黄金分割点，以此类推．同时，小英发现对于实数，，若，当越大，越接近0，则整个运动过程中，篮球的总路程最接近
A．B．C．D．
【详解】解：篮球的总路程为：
．
故本题选：．
2．如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；以此类推，第2023个黄金三角形的腰长是
A．B．C．D．
【详解】解：，，是第一个黄金三角形，
底边与腰之比等于，即，
，
同理：是第二个黄金三角形，是第三个黄金三角形，
则，
即第一个黄金三角形的腰长为，
第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为，
第三个黄金三角形的腰长为，
，
第2023个黄金三角形的腰长是，即．
故本题选：．
3．如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
（1）填空：等边三角形 （填“存在”或“不存在” ） “分割线”；顶角为钝角的等腰三角形 （填“存在”或“不存在” ） “黄金分割线”．
（2）在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能 ．
【详解】解：（1）等边三角形不存在“分割线”；
顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，如图所示：
故本题答案为：不存在，存在；
（2）①如图，，，
则，
，
；
②如图，，，
，，
，
；
③如图，，，
，，
，
，
；
综上，所有可能的角度为：或或．
故本题答案为：或或．