初中数学苏科版（2024）九年级下册6.3 相似图形同步练习题

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考察题型一 相似图形的概念辨析
1．下列是关于两个图形相似的叙述，不正确的选项是
A．位置可以不同B．大小可以不同C．形状可以不同D．颜色可以不同
【详解】解：我们把形状相同的图形称为相似图形，观察选项，只有选项不正确．
故本题选：．
2．下列关于“相似形”的说法中正确的是
A．相似形形状相同、大小不同
B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形
D．相似形是全等形的特例
【详解】解：、相似形形状相同，大小可以相同，也可以不同，故错误；
、图形的放缩运动可以得到相似形，正确；
、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，故错误；
、全等形是相似形的特例，故错误．
故本题选：．
考察题型二 相似图形的判断
1．下面各组图形中，不是相似图形的是
A．B．
C．D．
【详解】解：、两个图形相似；
、两个图形相似；
、五角星和六角星不相似；
、所有的圆都相似．
故本题选：．
2．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙
【详解】解：甲：邻边的比为，
乙：邻边的比为，
丙：邻边的比为，
相似图形是甲和丙．
故本题选：．
3．下列说法正确的是
A．有一个角等于的两个等腰三角形相似
B．两个菱形一定相似
C．有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
【详解】解：、只能是等腰三角形的顶角，
有一个角等于的两个等腰三角形相似，正确；
、两个菱形的对应角不一定相等，
两个菱形不一定相似，故错误；
、顶角的等腰三角形与底角的等腰三角形不相似，故错误；
、相似比为1时，相似三角形是全等三角形，故错误．
故本题选：．
4．下列说法中正确的是
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应角相等，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①②B．②③C．③④D．②④
【详解】解：①虽然各对应角相等，但是各对应边不一定成比例，不相似，
比如：所有矩形的对应角都相等，但是它们不一定相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例就可以得出四条边对应成比例，并且矩形的角都是，相似；
③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，不一定相似；
④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，相似．
故本题选：．
5．如图，在矩形、锐角三角形、正方形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图不一定相似的是
A．矩形B．锐角三角形C．正方形D．直角三角形
【详解】解：、两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似；
、两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似；
、两正方形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似；
、两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似．
故本题选：．
6．下列每组图形是相似图形吗？试说明理由．
（1）等边三角形和等边三角形；
（2）正方形和正方形．
【详解】解：（1）是相似图形，理由如下：
等边三角形的每个角都等于，
，，．
等边三角形的三边相等，
，
由相似多边形的定义可得：等边三角形和等边三角形相似；
（2）是相似图形，理由如下：
正方形的每个角都等于，
，，，．
正方形的四条边相等，
，
由相似多边形的定义可得：正方形和正方形相似．
7．如图1，将纸2次折叠，发现第一次的折痕与纸较长的边重合，如图2，将1张纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张纸．
（1）纸较长边与较短边的比为 ；
（2）纸与纸是否为相似图形？请说明理由．
【详解】解：（1）如图1，由折叠过程可知：第一次折叠，与重合，
四边形为正方形，折痕为对角线，
由勾股定理可得：，
第二次折叠，第一次的折痕与纸较长的边重合，即与较长边重合，
较长边，
纸较长边与较短边的比为，
故本题答案为：；
（2）纸与纸是相似图形，理由如下：
纸较长边与较短边的比为，
设纸较短边的长为，则较长边为，
由图2可知：纸的长边与纸的短边重合，短边等于纸的长边的一半，
纸的长边为，短边为，
纸的长边与短边的比为，
纸较长边与较短边的比纸的长边与短边的比，
又纸与纸的四个角均为直角，
纸与纸相似．
考察题型三 相似图形的性质
1．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是
A．边的长度B．图形的周长C．图形的面积D．角的度数
【详解】解：将图形甲通过放大得到图形乙，没有被放大的是角的度数．
故本题选：．
2．两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，
其相似比为，
其面积比为．
故本题答案为：．
3．下列说法中正确的个数是
①每条直线有2个黄金分割点；
②两个相似三角形面积的比等于对应角平分线的比的平方；
③对于反比例函数，当时，的值随的值的增大而增大；
④已知四边形相似于四边形，且对应边之比为，则它们的面积比为．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：①每条线段有2个黄金分割点，直线不能度量长度，故错误；
②两个相似三角形面积的比等于对应角平分线的比的平方，正确；
③对于反比例函数，当时，的值随的值的增大而减少，故错误；
④己知四边形相似于四边形，且对应边之比为，则它们的面积比为，故错误；
综上，说法正确的只有②．
故本题选：．
4．如图，四边形和相似，求，的度数和的长度．
【详解】解：（1）四边形和相似，
，，
，
四边形和相似，
，
，
．
5．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么 度．
【详解】解：如图，
平分，
，
若，且公共，则与全等，与相似对角线的概念相矛盾，
，，
又，
，
，即．
故本题答案为：155．
6．开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸这些开本纸都是相似的图形，则这些相似的矩形的长与宽的比值是 ．
【详解】解：如图，设矩形的长，宽，则，
矩形与矩形相似，
，即，
，
这些相似的矩形的长与宽的比值是．
故本题答案为：．
7．如图，矩形被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形矩形，那么的值为
A．B．C．D．
【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
则，，，，
，，
矩形矩形，
，即，
，
，，
．
故本题选：．
1．一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2），，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式 ．
【详解】解：设的面积是，
则，，，
，
，，三者之间关系式是．
故本题答案为：．
2．平面图形相似的概念可以推广到空间立体图形．例如：任意两个球体都是相似的；任意两个正方体都是相似的；等等．立体相似也有平面相似图形相类似的性质．
（1）猜想性质：棱长为1的正方体的体积，棱长为2的正方体的体积，棱长为3的正方体的体积，，可得：，，，，由此猜想立体相似具有下列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的 ；
（2）问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长的每条1元，鱼长的每条1.5元．买哪种鱼合算呢小强数学成绩非常棒，只见他稍做思考，立即做出了合理的决定．你知道小强买的是哪种鱼？为什么呢？
【详解】解：（1）立方；
（2）小强买的是的鱼，理由如下：
设长度为和的鱼的体积分别为、，
两种鱼相似，
，
又，
购买的鱼更合算．
3．甲、乙是两个形状相同，大小不相同的五棱柱．像这样，两个形状相同，大小不一定相同的几何体称为相似体．两个相似体的一切对应线段之比都等于相似比．
解答下列问题：
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是 ．
．两个正方体 ．两个圆锥体
．两个圆柱体 ．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体一切对应线段（或弧）长的比等于 ；
②相似体表面积的比等于 ；
③相似体体积的比等于 ．
（3）据新华社报道：一头特殊的体内带有抗疯牛病基因体细胞的克隆牛犊，于2006年5月25日在山东省莱阳农学院自然诞生．这头转基因体细胞克隆牛出生时体重，身高．假定在完全正常发育的条件下，不同时期的这头牛的身体是相似体，经过若干月后，这头小牛的身高为时，它的体重将是多少？（精确到个位，不考虑不同时期牛的身体平均密度的变化）
【详解】解：（1）正方体的棱长都相等，形状都相同，
两个正方体一定属于相似体，
故本题选：；
（2）①由题意可知：相似体一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；
②由可得：，
相似体表面积的比等于相似比的平方；
③由可得：，
相似体体积的比等于相似比的立方；
故本题答案为：相似比，相似比的平方，相似比的立方；
（3）设它的体重将是千克，
由题意可得：，解得：（千克），
答：它的体重是217千克．