2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题五（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题五（含解析），共19页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题五
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项的应用,
数列不等式能成立（有解）问题
典例1、已知数列中，，且满足．
（1）求的值；
（2）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
随堂练习：已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
典例2、已知数列、满足，，，﹒
（1）求证：为等差数列，并求通项公式；
（2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
随堂练习：已知数列满足，（为非零常数），且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，且；
（i）求数列的通项公式；
（ii）若对任意正整数i，，都成立，求实数的取值范围.
典例3、已知数列的前项和为，，数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，
，，且．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
知识点二 数列新定义
典例4、从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．
（1）若，，写出数列前项的所有可能情况；
（2）求证：数列存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数，都存在，使得．
随堂练习：给定正整数m，数列，且.对数列A进行T
操作，得到数列.
（1）若，，，，求数列；
（2）若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.
典例5、已知数列为无穷递增数列，且．定义： 数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）
（1）若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；
（2）若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；
（3）若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．
随堂练习：对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，
，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．
（1）若，写出，并求；
（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：
（3）若数列满足，求数列A的个数．
典例6、已知数列为有限数列，满足，则称满足性质.
（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由；
（2）若，公比为的等比数列，项数为12，具有性质，求的取值范围；
（3）若是的一个排列符合都具有性质，求所有满足条件的数列.
随堂练习：已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立．
（1）已知数列满足性质①，且，，试写出的值；
（2）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；
（3）若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列 是等差数列．
人教A版数学--数列专题五答案
典例1、答案：（1） （2）证明见解析； （3）
解：（1）由题意得：
（2）为常数
数列是首项为2，公差为1的等差数列
（3）
令，
当时，，递增 当时，，递减
当或n=3时，有最大值
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）∵ 则，解得或（舍去）
∴. 又∵，
当时，，则，
当时，，则，即，
则数列是以首项，公比为的等比数列，
∴.
（2）， ，
两式相减得：

∴
∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立
①当是奇数时，任意的'恒成立 ∴对任意的恒成立
②当是偶数时，对任意的恒成立 ∴对任意的恒成立
令，对任意的恒成立 ∴为递增数列
①当是奇数时，则，即 ②当是偶数时，则 ∴.
典例2、答案： （1）证明见解析；. （2）.
解：（1）∵，，两边同除以得： ，从而，，
是首项为1，公差为1的等差数列，， ∴；
（2）由，，
∴，∴， ∴，
∴， ，
两式相减得，，
∴ ＝，
中每一项，为递增数列，∴，
∵，∴， ， .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）
解：（1）由 可得
即，
因此是以为首项，为公比的等比数列.
（2）（i）因为
所以由可得
因此
即
（ii）当n为奇数时，单调递减，得；
当n为偶数时，单调递增，得；
因为，所以，
因此的最大值为，最小值为，
因为对任意正整数i，，都成立，所以，即
解得.
典例3、答案： （1），；（2）.
详解:（1）当时，，∴，
当时，由
得：，即，
∴数列是公差为2的等差数列，
∵，∴. 由条件得，，
∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴.
（2），设数列的前项和为，则，
∴，
∴，， ∴，
由得， 累加得，
即， ∴， ∴，
令，则，
∴，
∴， ∴.
随堂练习：答案：（1）（），（）， （2）
解：（1）由两边同除得：，
两边同除得：， 则，
所以
，（）
所以，又符合， 故（），
（2）由得：，解得：， 所以（）.
∵， ∴ ①
∴ ②
由①-②得：，
∴.
则，由得：
，
因为 所以当为偶数时，；当为奇数时，.
故 所以，即，
故的取值范围是.
典例4、答案： （1）、、、或、、、或、、、（2）证明见解析 （3）证明见解析
解：（1）由已知，即，可得或.
当时，由，即，因为，可得；
当时，由，即，因为，可得或.
因此，若，，
写出数列前项的所有可能情况为：、、、或、、、或、、、.
（2）证明：对于数列中的任意一项，
由已知得，或，即或．
若，则由可得；
若，则，此时，即．
设集合，、，且，
，，，，，，
则数列是数列一个无穷递增子列．
（3）证明：考察数列和．
①当或时，显然成立；
②当时，设，由（2）可知．
如果，那么，或，于是总有，
此时；
如果，那么，或，于是总有，
此时．
综上，当且时总有． 所以，
所以，，，，
叠加得，．
令，解得，
即存在，（其中表示不超过的最大整数），
使得． 又因为是的子列，令，则．
由①②可知，对于任意实数，都存在，使得．
随堂练习：答案： （1） （2） （3），证明见解析
解：（1）由题意时，，，，由，知，
所以，，，， 故.
（2）记数列的所有项和为S，
因为，且，所以，
则，故.
当，或，时取到等号，
所以当，或，时，
S取到最大值，为.
“数列为常数列”的充要条件是（）
证明如下：先证充分性：当（）时，，
所以为常数列； 再证必要性：当为常数列时，记，
设中有x个，则必有个，
将数列的所有项相加得：，由，且m为奇数，
所以，
所以，由得：，所以，
所以.
典例5、答案： （1）, （2）,, （3）
解：（1）数列是斐波那契数列,则的项分别是
当时,则;当时,则,当时,则;当时,
则
以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个,
所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以
（2）因为数列是公比为整数的等比数列,故公比
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以,
同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意.
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,,
（3）由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为,
设数列,的公差分别为,则
则,
当时,满足
由于是任意正整数,故可知
同理可知当时,满足
由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为,
所以可以是任意一个正整数.故
随堂练习：答案： （）1；；（2）不存在适合题意的数列；（3）.
解：（1）由， 可得，
， ∴；
（2）∵，
由数列A为数列，所以，
对于数列，，…，中相邻的两项，
令，若，则，若，则，
记中有个，有个，则，
因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列；
（3）首先证明，
对于数列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
∵，
，
∴， 故，
其次，由数列为数列可知，， 解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列中的个数为个，此时数列有个，所以数列的个数为个.
典例6、答案：（）1满足，不满足 （2） （3）共4个满足，分别是：和和和
解：（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质
对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.
（2）由题意可得， 两边平方得：
整理得：
当时，得， 此时关于恒成立，
所以等价于时，所以， 所以或者，所以取.
当时，得， 此时关于恒成立，
所以等价于时，所以， 所以，所以取.
当时，得.
当为奇数的时候，得，因为，故显然成立
当为偶数的时候，得，因为，故显然不成立，
故当时，矛盾，舍去.
当时，得. 当为奇数的时候，得，显然成立，
当为偶数的时候，要使恒成立，
所以等价于时，所以，
所以或者，所以取. 综上可得，.
（3）设，，
因为， 故， 所以可以取或者，
若，，则， 故或（舍，因为），
所以（舍，因为）.
若，，则， 故（舍，因为），或
所以（舍，因为）.
所以均不能同时使，都具有性质.
当时，即有， 故，故，
故有数列：满足题意.
当时，则且，故，
故有数列：满足题意.
当时，， 故，故，
故有数列：满足题意.
当时，则且， 故，
故有数列：满足题意. 故满足题意的数列只有上面四种.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
解：（1）因为数列满足性质①，且，所以，所以，
又因为，即，所以，同理可得：.
（2）因为数列的通项公式为，所以，对于任意的，令，则，
.
又，则，即.
又，所以， 即对于任意的.
所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，
所以，数列满足性质①.
（3）由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在,
即对于任意的，存在，当时，都有成立，
所以，当时，， 即.
对于任意的,有，
对于任意的,有,
，
又当时，同时满足性质①②的存在且唯一,
所以，当时，, 所以，满足条件的数列是等差数列.