2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题八（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题八（含解析），共16页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题八
知识点一 等差数列的单调性,等比数列通项公式的基本量计算,求等比数列中的最大（小）项,
数列新定义
典例1、设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集和是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：，，…，是等差数列；
（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.
随堂练习：已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；
①；②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．
（1）分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；
（2）若数列具有性质，求证：；
（3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．
典例2、对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称 为“数列”．
（1）若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．
随堂练习：已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数
列如下：①； ②，其中．
（1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；
（2）当时，若，求证：；
（3）当时，若，求证：．
典例3、已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.
（1）设数列：1，1，0，0，写出的长度为3的全部子列，并求；
（2）设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由；
（3）对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.
随堂练习：若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具
有“性质”．
（1）判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由； ①1，2，4，3；②2，4，8，16．
（2）设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；
（3）已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值．

知识点一 利用定义求等差数列通项公式,由递推关系证明数列是等差数列,裂项相消法求和
典例4、设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
随堂练习：已知数列各项均为正数，且.
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求的取值范围.
典例5、记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，记，求数列的前项和．
随堂练习：数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，求数列的前项和．
典例6、已知正项数列的前项和为，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求证：.
随堂练习：已知数列满足
（1）证明：数列为等差数列：
（2）设数列满足，求数列的前项和.
人教A版数学--数列专题八答案
典例1、答案： （1）数集不具有性质，数集具有性质，证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）4
解：（1）证明：对于数集，，，所以数集不具有性质，
对于数集，任意，，所以数集具有性质.
（2）（i）当时，数集具有性质，
，所以，即，因为，
则，又因为，所以，
则，因为，
所以得，，，
因为，所以，则，
又因为，所以或，因为，
所以(舍去)，即，，
所以，即当时，，，…，是等差数列.
（ii）若数集且具有性质，
按照(1)推导的方式得出一般结论，具体如下：因为，
所以，即，
因为，
所以①，所以，，
因为，
所以，即，
因为，
根据， 分两种情况：
第一种情况为，，…，，
第二种情况为，，
先考虑第二种情况，与题意矛盾，
，与题意矛盾，
所以只能为第一种情况，可得②，
由①-②，得， 即，
即当时，，，…，是等差数列，
当时，，所以，即，
由前面得出，所以，，
当成立时，，，，不是等差数列， 所以的最大值为4.
随堂练习：答案：（1）数列、、、不具有性质，数列、、、不具有性质，见解析
（2）证明见解析 （3）
解：（1）对于数列、、、，因为，，
所以，数列、、、不具有性质；
对于数列、、、，当时，，，
所以，数列、、、不具有性质.
（2）证明：因为，
因为，则为数列中的项，所以，，
设且，因为，则不是数列中的项，
所以，为数列中的项，
因为， 所以，，，，，
上述等式全部相乘可得，因此，.
（3）解：当时，由（2）可知，
由题意可得，这与数列是等比数列矛盾；
当时，由（1）可知，数列、、、具有性质；
当时，由（2）可知，，①
当时，，所以，不是数列中的项，
因为，，
所以，，，，，所以，，
因为，所以，，，
所以，，，所以，，②
由①②可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意.
综上所述，.
典例2、答案： （1）是“数列”，不是“数列”；（2）①9,10,12,16；②证明见解析．
解：（1），对任意的，，，，，
取，则，∴是“数列”，
，对任意的，，，，
为偶数，而为奇数，因此不存在
使得，∴不是“数列”；
（2）数列为等差数列，
①若是“数列，，且，，， ，
对任意的，，，，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，，
，所以是8的正约数，即，2，4，8，
时，，；
时，，；
时，，；
时，，．
综上，的可能值为9，10，12，16；
②若对任意，存在，使得成立， 所以存在，，，
设公差为，则，， ，
对任意的，，，，
，取，则，
所以是“数列”．
随堂练习：答案：（1）； （2）见解析； （3）见解析.
解：（1）因为数列A：4，3，2，1，， 所以.
因为， 所以，，，
，. 故数列A的伴随数列为.
（2）当时，，显然有；
当时，只要证明. 用反证法，假设，
则，从而，矛盾. 所以.
再根据为正整数，可知. 故当时，.
当时，，有，此时，命题成立；
（3）当时，由（2）的结论，中至少有两个1，
现假设中共有个1，即 则.
因为若，则，矛盾. 所以.
根据的定义可知，，， ，
以此类推可知一直有，再由后面，可知；
另一方面与奇偶性相同，所以.
典例3、答案：（1）6 （2） （3）
解：（1）由的定义以及， 可得：的长度为3的子列为：，有2个，
的长度为的子列有个，的长度为的子列有个， 所以.
（2） 理由如下：
若是的一个子列，
则为的一个子列.
若与是的两个不同子列，
则与也是的两个不同子列.
所以. 同理， 所以.
同理 所以有
（3）由已知可得，数列中恰有个1，个0.
令， 下证：.
由于，
所以的子列中含有个0，个1 的子列有且仅有1 个，
设为：.
因为数列的含有个0，个1的子列至少有一个， 所以.
数列中， 不含有0的子列有个，
含有1个0的子列有k个， 含有2个0的子列有个，，
含有个0的子列有个， 所以.
所以的最小值为.
随堂练习：答案： （1）数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，4，8，16具有“性质M”
（2）证明见解析 （3）或5
解：（1），该数列不具有“性质”；
，该数列具有“性质”；
（2）证明：充分性，若数列是常数列，则，
即，或
又数列且各项互不相同，，数列为等差数列；
必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列；
（3）数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，当时，，
，不符合题意；
当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意；当时，
数列2，3，4，5，1满足，符合题意；
当时，令，2，，，则，
且，的取值有以下三种可能
①，②，③，
当时，，
由（2）知，，，是公差为1或的等差数列，
若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意；
若公差为，同上述方法可得不符合题意；
当满足②，③时，同理可证不符合题意，
故：或5．
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）设的公差为，因为，是，的等比中项，
所以，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，
所以.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为，所以
所以，
因为各项均为正数，， 所以，
所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，
， 所以数列的通项公式为.
（2）因为 所以，
则，
因为，故， 所以，又，所以，
所以的取值范围为.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）当且时，，
，
整理可得：，，
数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）得：，
， .
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）
解：（1）证明：因为， 所以，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，
，
则
.
典例6、答案： （1） （2）见解析
解：（1）当时，，所以，
由， 得， 两式相减得，
又，所以，
所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
又， 所以数列是以为首项为公差的等差数列， 所以；
（2）， 则，
所以，
所以.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）方法1：由，
两边同除以得，，（）为常数，
∴数列为等差数列，首项，公差为1，
方法2：由得，
∴（）为常数，
∴数列为等差数列，首项，公差为1. 由，∴，
（2）方法1：，
则.
方法2：，
则.