2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十二（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十二（含解析），共15页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题十二
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和,裂项相消法求和
典例1、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前n项和，若________．
（1）求；
（2）记，已知数列的前n项和，求证：
随堂练习：在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求；（2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
典例2、在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______?
（1）求数列的通项公式:
（2）求证：.
随堂练习：设数列的前项和为，已知，__________.
（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：①数列是以为公差的等差数列；②.
典例3、已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：
①；②；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前n项和，并证明：．
随堂练习：已知等差数列与正项等比数列，满足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若______，求数列的前项和.（注：若多选，以选①评分）
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和
典例4、已知为数列的前项和,．
（1）证明:数列为等比数列;
（2）求数列的前项和．
随堂练习：已知数列中，，且满足.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
典例5、已知数列的前n项和为．
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．
随堂练习：已知数列中，，数列的前项和为满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
典例6、对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
（1）定义在R上的函数满足：对任意，，都有，且；又数列满足．
（Ⅰ）求证：是数列的母函数； （Ⅱ）求数列的前n项和．
（2）已知是数列的母函数，且．若数列的前n项和为，求证：．
随堂练习：已知数列
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．
人教A版数学--数列专题十二答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为d，
则，解得， 故；
选择条件②：，
当时，，即，
当时，，也适合上式，故；
选择条件③：设等差数列的公差为，则，
解得、或、（不合题意），故．
（2）证明：因为，所以，
故，得证.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）方法1：选①和③
，整理得，
设等差数列的公差为，则有，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，
设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，
设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，
故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
典例2、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择①
当时，， ，
两式作差得：， 整理得，
所以为常数列，因此， 所以.
选择②
得，
两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，
当时，，又，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，， 综合得：；
选择③
又，得. 当时，，
两式相减得：，即.
又因为，所以，故为公差为1的等差数列，
得.
（2）证明：由（1）可得
所以
因为 所以
因此.
随堂练习：答案： （1）选择①②，都有； （2）证明见解析.
解：（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为
故，故；
当时，，
当时，，满足. 故的通项公式为；
若选择②
即，整理得：
故，即数列是首项为，公差为的等差数列，
与选择①相同，故的通项公式为.
（2）根据（1）中所求可得：，则
故
又，故可得.
典例3、答案： （1）； （2）；证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为，
当时，， 两式相减得，
所以当时，当n＝1时符合， ∴；
若选择条件②：因为，
当时， 两式相减得，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴；
若选择条件③：∵，
∴时，， 两式相减得，
当n＝1时，，可得，， ∴时成立，
∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴；
（2）由（1）可知，
则， 所以，
因为， 所以各项均为正数， 所以，
又因为， 所以．
随堂练习：答案： （1）， （2）见解析
解：（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
由已知得，则，解得，
所以，；
（2）选①，则有
即.
选②，则有，设数列的前项和为，
，，
两式相减，，
解得.
选③，则由，
即.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明:由题知, ,
解得:故,
由, 可得,,
两式相减可得: ,,
所以,, 所以,,
所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列;
（2）由(1)得数列是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以,
故, 则,
设,其前n项和为,
则①, ②,
①-②可得: ,
所以,
所以,
综上:.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）
解：（1），
数列是以为首项，以5为公比的等比数列.
，
（2） ，
即①， ②，
由①②得： ，
， 化简得：.
典例5、答案： （1）证明过程见解析，； （2）；n为5．
解：（1）由，得，
即，
． 即， 又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）知．
，①
，②
①-②，得
，
， ，
因为 所以，所以是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）当时，，；
当时，，
则，
又满足，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，则，；
，
则，
，
.
典例6、答案： （1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）； （2）证明见解析.
解：（1）（Ⅰ）由题知，
且．
是数列的母函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首项和公差均为2的等差数列，故．
①
②
两式相减得： ；
（2）由题知：，．，
，从而是以为首项，
为公比的等比数列．
又．
故当时，
．
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）
解：（1）证明：因为，所以，即，
又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
， 则， ，
两式相减得， 所以．